1、一、無窮小一、無窮小1. 定義與形式定義與形式 說明說明 1) 極限為零的極限為零的變量變量稱為稱為無窮小無窮小, 常用常用 等表示等表示;1.5 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 2) 零是可以作為無窮小看待的唯一的數零是可以作為無窮小看待的唯一的數.例例1, 0sinlim0 xx.0sin時的無窮小時的無窮小是當是當函數函數xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數函數 xx, 其中其中 為為0 xx 時的無窮小量時的無窮小量 . 2.無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系axfxx)(lim0 axf)(,證明證明axfxx)(lim0,0,0當當00 xx時時,

2、,有有 axf)(axf)(0lim0 xx附注附注 對自變量的其它變化過程類似可證對自變量的其它變化過程類似可證 .定理定理 1特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大: :)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意不能與不能與很大的數很大的數相混淆相混淆;2)無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量, 但是但是 無界量未必是無窮大無界量未必是無窮大!1)無窮大是指絕對值無限增大的無窮大是指絕對值無限增大的變量變量, 二、無窮大二、無窮大3) 無窮大必定無界無窮大必定無界, 但反之不真但反之不真 !所以所以x時時,)(xf不是無窮大不是無

3、窮大!oxyxxycos),(,cos)(xxxxf而函數而函數11xy垂直漸近線垂直漸近線1xyo例例2 函數函數11( )g xg xx x當當1x x 時是時是 .幾何意義幾何意義 以以x = 1為垂直漸近線；為垂直漸近線；)2(nf)(n當當n2雖有雖有 但是但是0)(2nf；三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系若若)(xf為無窮大為無窮大,)(1xf為無窮小為無窮小 ;若若)(xf為無窮小為無窮小, 且且,0)(xf則則)(1xf為無窮大為無窮大.則則證明證明 (用定義可證用定義可證, 留為練習留為練習)據此定理據此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為關于無窮大的問題都可

4、轉化為 無窮小來討論無窮小來討論.定理定理2 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明 四、無窮小比較及其意義與方法四、無窮小比較及其意義與方法1.引例引例xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 這里比值的極限不同這里比值的極限不同, ,反映了原來函數趨向于反映了原來函數趨向于零的零的“快慢快慢”速度不同速度不同. .;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx稱不可比較稱不可比較. ., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限型）

5、型）（00lim,0, )0(c,1,0lim ck設設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小對同一自變量的變化過程為無窮小, 且且 是是 的的高階高階無窮小無窮小 是是 的的同階同階無窮小無窮小 是是 的的等價等價無窮小無窮小 是是 的的 k 階階無窮小無窮小2. 定義定義30, 則則 例例30 x時時, 有有)(o3x26xxsin;xxtan;x特別是特別是 例例4 證明證明:0 x11nxxn1證明證明 lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb20cos1limxxx而由而由21知知:

6、xcos1是是 x 的二階無窮小的二階無窮小,xcos1221x且且 定理定理3 )(o證證1lim, 0)1lim(0lim即即, )(o即即)(o3. 等價無窮小的充要條件等價無窮小的充要條件 此時此時, ,亦稱亦稱 是是 的主要部分的主要部分. . 常用等價無窮小有常用等價無窮小有: :)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax例例5解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則當則當uuu10)1ln(1lim uuu10

7、)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時，時，即，當即，當定理定理4 設設,且且lim存在存在 , 則則lim lim證明證明limlim limlimlim lim例例6 由上面已知的等價無窮小由上面已知的等價無窮小,有有xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0524.等價無窮小代換及其應用等價無窮小代換及其應用例例7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 1)若未定式的分子或分母是若干個因子的乘積若未定式的分子或分母是若干個因子的乘積時時, ,

8、可對其中任意一個或幾個無窮小可對其中任意一個或幾個無窮小因子因子作作( (整體整體性的性的) )等價代換等價代換, ,這是非常簡便的極限求法這是非常簡便的極限求法注意事項注意事項: : 切記切記: :只可對函數的因子作等價無窮小代換只可對函數的因子作等價無窮小代換; ;對于對于代數和中的各個無窮小代數和中的各個無窮小, ,不能簡單地不能簡單地分別分別作代換作代換. .2)不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換. .sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例8 求求解解 原式原式 1. 無窮小與無窮大的概念無

9、窮小與無窮大的概念2. 無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系3. 無窮小比較的意義與方法無窮小比較的意義與方法 四、小結與練習四、小結與練習五、作業五、作業1.課堂練習：習題課堂練習：習題1-5：思考題；：思考題；1；3；2.課后作業：習題課后作業：習題1-5：1；2；3；4. 等價無窮小的應用及常用的等價無窮小等價無窮小的應用及常用的等價無窮小若在同一變化條件下若在同一變化條件下, , 為無窮小為無窮小 ,無窮小的性質無窮小的性質, 和差取大規則和差取大規則 由等價由等價可得簡化某些極限運算的下述規則可得簡化某些極限運算的下述規則:若若 = o( ) , 和差代替規則和差代替規則 ,

10、不等價與且若,則例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則,limlim且.時此結論未必成立但附錄附錄1 關于代數和中等價無窮小的代換方法關于代數和中等價無窮小的代換方法 因式代替規則因式代替規則 極限存在或有且若)(,x界界, 則則)(limx)(limx例如例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2例例9.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 迫斂法則迫斂法則 附錄附錄2 求極限的方法總結求極限的方法總結初等變形法初等變形法( (四則運算、四則運算、復合運算復合運算、無窮大量消無窮大量消去法、零化因子消去法）去法、零化因子消去法）