1、人教版高中數學必修精品教學資料第三課平面向量核心速填1向量的運算(1)加法：,若四邊形oabc為平行四邊形,則.(2)減法：.(3)數乘：|a|a|.(4)數量積：a·b|a|b|cos (a與b的夾角為)2兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數,使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數1,2,使a1e12e2,其中e1,e2是一組基底3兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1,y1)b(x2,y2),則：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)aba&

2、#183;b0x1x2y1y20.4平面向量的三個性質(1)若a(x,y),則|a|.(2)若a(x1,y1),b(x2,y2),則|.(3)若a(x1,y1),b(x2,y2),為a與b的夾角,則cos .體系構建題型探究平面向量的線性運算(1)平面上有a(2,1),b(1,4),d(4,3)三點,點c在直線ab上,且,連接dc延長至e,使|,則點e的坐標為_圖2­1(2)如圖2­1,在正五邊形abcde中,若a,b,c,d,e,求作向量acbde. 【導學號：84352275】(1)(1),()2(3,6),點c坐標為(3,6)由|,且e在dc的延長線上,.設e(x,y

3、),則(x3,y6)(4x,3y),得解得即e.(2)acbde(ab)(cde)()().如圖,連接ac,并延長至點f,使cfac,則,所以,即為所求作的向量acbde.規律方法1.向量加法是由三角形法則定義的,要點是“首尾相連”,即.向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點,分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點對角線的向量即為向量的和加法滿足交換律、結合律2向量減法實質是向量加法的逆運算,是相反向量的作用幾何意義有兩個：一是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量注意兩向量要移至共起點3數乘運算即通過實數與向量的乘積,實現同向或反向上

4、向量長度的伸縮變換跟蹤訓練1如圖2­2所示,在abc中,p是bn上的一點,若m,則實數m的值為_圖2­2設,則m(m1).與共線,(m1)0,m.平面向量數量積的運算(1)已知點a(1,1)、b(1,2)、c(2,1)、d(3,4),則向量在方向上的投影為()abcd(2)如圖2­3,在梯形abcd中,abcd,ab4,ad3,cd2,2.若·3,則·_. 【導學號：84352276】圖2­3(1)a(2)(1)(2,1),(5,5),向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos,|·.(2)因為··2&

5、#183;3,所以·.規律方法向量數量積的求解策略(1)利用數量積的定義、運算律求解.在數量積運算律中,有兩個形似實數的完全平方公式在解題中的應用較為廣泛,即(ab)2a22a·bb2,(ab)2a22a·bb2,上述兩公式以及(ab)·(ab)a2b2這一類似于實數平方差的公式在解題過程中可以直接應用.(2)借助零向量.即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進行向量的移項以及平方等變形,求解數量積.(3)借助平行向量與垂直向量.即借助向量的拆分,將待求的數量積轉化為有垂直向量關系或平行向量關系的向量數量積,借助ab,則a

6、83;b0等解決問題.(4)建立坐標系,利用坐標運算求解數量積.跟蹤訓練2在邊長為1的菱形abcd中,bad60°,e是bc的中點,則·等于()a. b.c. d.d建立如圖平面直角坐標系,則a,c,b.e點坐標為,(,0),·×.平面向量的平行與垂直問題(1)已知向量m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),則()a4 b3c2d1(2)設a,b,c,d為平面內的四點,且a(1,3),b(2,2),c(4,1)若,求d點的坐標設向量a,b,若kab與a3b平行,求實數k的值. (1)b(1)因為mn(23,3),mn(1,1),且(mn)(mn)

7、,所以(mn)·(mn)2330,解得3.(2)設d(x,y)因為,所以(2,2)(1,3)(x,y)(4,1),化為(1,5)(x4,y1),所以解得所以d(5,4)因為a(2,2)(1,3)(1,5),b(4,1)(2,2)(2,3),所以kabk(1,5)(2,3)(k2,5k3),a3b(1,5)3(2,3)(7,4)因為kab與a3b平行,所以7(5k3)4(k2)0,解得k.所以k.母題探究：1.將例3(2)中的“”改為“”,“平行”改為“垂直”,求實數k的值解因為a(1,5),b(3,2),所以kab(k3,5k2),a3b(10,11),因為(kab)(a3b),所以

8、(kab)·(a3b)10(k3)11(5k2)65k520,解得k.2在例3(2)中若a,b,d三點共線,且accd,求點d的坐標解設點d的坐標為(x,y),則(1,5),(x1,y3),(3,2),(x4,y1),由題意得,所以整理得解得x2,y2,所以點d的坐標為(2,2)規律方法1.證明共線問題常用的方法(1)向量a,b(a0)共線存在唯一實數,使ba.(2)向量a(x1,y1),b(x2,y2)共線x1y2x2y10.(3)向量a與b共線|a·b|a|b|.(4)向量a與b共線存在不全為零的實數1,2,使1a2b0.2證明平面向量垂直問題的常用方法aba·

9、;b0x1x2y1y20,其中a(x1,y1),b(x2,y2).平面向量的模、夾角(1)已知向量a,b夾角為45°,且|a|1,|2ab|,則|b|_.(2)已知cmanb,c(2,2),ac,b與c的夾角為,b·c4,|a|2,求實數m,n的值及a與b的夾角. 【導學號：84352278】(1)3(1)因為向量a,b夾角為45°,且|a|1,|2ab|,所以,化為4|b|24|b|cos 45°10,化為|b|22|b|60,因為|b|0,解得|b|3.(2)c(2,2),|c|4.ac,a·c0.b·c|b|c|cos|b|&#

10、215;4×4,|b|2.cmanb,c2ma·cnb·c,16n×(4),n4.在cmanb兩邊同乘以a,得08m4a·b.在cmanb兩邊同乘以b,得ma·b12.由,得m±,a·b±2,cos ±,或.規律方法1.解決向量模的問題常用的策略(1)應用公式：|a|(其中a(x,y)(2)應用三角形或平行四邊形法則(3)應用向量不等式|a|b|a±b|a|b|.(4)研究模的平方|a±b|2(a±b)2.2求向量的夾角設非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),

11、兩向量夾角(0)的余弦cos .跟蹤訓練3已知向量a(1,2),b(2,4),|c|,若(cb)·a,則a與c的夾角為()a30° b60°c120°d150°ca·b10,則(cb)·ac·ab·ac·a10,所以c·a,設a與c的夾角為,則cos ,又0°,180°,所以120°.平面向量在平面幾何和物理中的應用(1)用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個物體,如圖2­4所示,已知物體的重力大小為10 n,則每根繩子的拉力大小是_圖

12、2­4(2)如圖2­5所示,在正方形abcd中,p為對角線ac上任一點,peab,pfbc,垂足分別為e,f,連接dp,ef,求證：dpef. 【導學號：84352279】圖2­5(1)10 n因繩子等長,所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根繩子的拉力大小都是10 n(2)證明：法一：(基向量法)設正方形abcd的邊長為1,aea(0a1),則epaea,pfeb1a,apa,·()·()····1×a×cos 180°1×(1a

13、)×cos 90°a×a×cos 45°a×(1a)×cos 45°aa2a(1a)0,即dpef.法二：(坐標法)設正方形邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標系,設p(x,x),則d(0,1),e(x,0),f(1,x),所以(x,x1),(1x,x),由·x(1x)x(x1)0,所以,即dpef.規律方法平面向量兩個方面的應用(1)平面幾何應用向量幾何問題共線向量點共線問題、直線與直線平行數乘向量求線段長度之比數量積線段的長度、直線與直線的夾角(2)物理應用：速度、位移、力、功跟蹤訓練4已知點o,n,p在abc所在平面內,且|,0,···