1、人教版高中數學必修精品教學資料2.2.3向量數乘運算及其幾何意義學習目標：1.了解向量數乘的概念并理解數乘運算的幾何意義(重點)2.理解并掌握向量數乘的運算律,會進行向量的數乘運算(重點)3.理解并掌握兩向量共線的性質及判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關向量共線問題(難點)4.理解實數相乘與向量數乘的區別(易混點)自 主 預 習·探 新 知1向量的數乘運算定義實數與向量a的乘積是一個向量記法a長度|a|a|方向0方向與a的方向相同0方向與a的方向相反思考：(1)何時有a0?(2)從幾何角度考慮,向量2a和a與向量a分別有什么關系？提示(1)若0或a0則a0.(2)2a與a方向相

2、同,2a的長度是a的長度的2倍,a與a方向相反,a的長度是a的長度的.2向量的數乘運算的運算律設,為任意實數(a)()a；()aaa；(ab)ab.3共線向量定理向量a(a0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數,使得ba.4向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算對于任意向量a,b,以及任意實數,1,2,恒有(1a±2b)1a±2b.基礎自測1思考辨析(1)對于任意的向量a,總有0·a0.()(2)當0時,|a|a.()(3)若a0,0,則a與a的方向相反()解析(1)錯誤.0·a0；(2)錯誤|a|a|(0)(3)錯誤當0時,0,a與a的

3、方向相同答案(1)×(2)×(3)×2點c是線段ab靠近點b的三等分點,下列正確的是()a.3b.2c. d.2d由題意可知：3；22.故只有d正確3如圖2­2­27,在平行四邊形abcd中,對角線ac與bd交于點o,則_.圖2­2­272由向量加法的平行四邊形法則知.又o是ac的中點,ac2ao,2,2,2.合 作 探 究·攻 重 難向量的線性運算(1)若3(xa)2(x2a)4(xab)0,則x_.(2)化簡下列各式：3(6ab)9；2；2(5a4bc)3(a3bc)7a.(1)4b3a(1)由已知得3x3a2

4、x4a4x4a4b0,所以x3a4b0,所以x4b3a.(2)原式18a3b9a3b9a.原式ababab0.原式10a8b2c3a9b3c7abc.規律方法向量數乘運算的方法(1)向量的數乘運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數.(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解代數方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.跟蹤訓練1(1)化簡；(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,向量a,b,x,y滿足關系式3x2

5、ya,4x3yb,求向量x,y.解(1)原式ab.(2)由×3×2得,x3a2b,代入得3×(3a2b)2ya,所以x3a2b,y4a3b.用已知向量表示未知向量(1)如圖2­2­28,abcd中,e是bc的中點,若a,b,則()圖2­2­28aabbabcabdab(2)如圖2­2­29所示,d,e分別是abc的邊ab,ac的中點,m,n分別是de,bc的中點,已知a,b,試用a,b分別表示,. 圖2­2­29思路探究先用向量加減法的幾何意義設計好總體思路,然后利用平面圖形的特征和數

6、乘向量的幾何意義表示(1)d(1)ab.(2)由三角形中位線定理,知de綊bc,故,即a.abaab.abaab.母題探究：1.本例(1)中,設ac與bd相交于點o,f是線段od的中點,af的延長線交dc于點g,試用a,b表示.解因為dgab,所以dfgbfa,又因為df×bdbd,所以,所以ab.2本例(1)中,若點f為邊ab的中點,設a,b,用a,b表示.解由題意解得所以ab.規律方法用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程提醒：用已知向量表示

7、未知向量的關鍵是弄清向量之間的數量關系.向量共線問題探究問題1已知m,n是不共線向量,a3m4n,b6m8n,判斷a與b是否共線？提示：要判斷兩向量是否共線,只需看是否能找到一個實數,使得ab即可若a與b共線,則存在r,使ab,即3m4n(6m8n)m,n不共線,不存在同時滿足此方程組,a與b不共線2設兩非零向量e1和e2不共線,是否存在實數k,使ke1e2和e1ke2共線？提示：設ke1e2與e1ke2共線,存在使ke1e2(e1ke2),則(k)e1(k1)e2.e1與e2不共線,只能有則k±1.(1)已知非零向量e1,e2不共線,如果e12e2,5e16e2,7e12e2,則共

8、線的三個點是_(2)已知a,b,p三點共線,o為直線外任意一點,若xy,求xy的值思路探究(1)將三點共線問題轉化為向量共線問題,例如可推出a,b,d三點共線(2)先用共線向量定理引入參數得,再用向量減法的幾何意義向xy變形,最后對比求xy.(1)a,b,d(1)e12e2,5e16e27e12e22(e12e2)2.,共線,且有公共點b,a,b,d三點共線(2)由于a,b,p三點共線,則,在同一直線上,由共線向量定理可知,必存在實數使得,即(),(1).x1,y,則xy1.規律方法1.證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說,要判定a,b,c三點是否共線,只需看是否存在實數,使得(或等)即可(

9、2)利用結論：若a,b,c三點共線,o為直線外一點存在實數x,y,使xy且xy1.2利用向量共線求參數的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數,使得ab(b0)而已知向量共線求,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解若兩向量不共線,必有向量的系數為零,利用待定系數法建立方程,從而解方程求得的值 當 堂 達 標·固 雙 基1設a,b是兩個不共線的向量若向量ka2b與8akb的方向相反,則k()a4b8c4d8a因為向量ka2b與8akb的方向相反,所以ka2b(8akb)k4(因為方向相反,所以0k0)2(2018·全國卷)在abc中,ad為bc邊上的中線,e為ad的中點,則()a. b.c. d.a由題可得().3對于向量a,b有下列表示：a2e,b2e；ae1e2,b2e12e2；a4e1e2,be1e2；ae1e2,b2e12e2.其