1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第八章第四節(jié)第四節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡.那么, 方程f(x, y, z)0就叫做曲面s的方程, 而曲面s就叫做方程f(x, y, z)0的圖形. (1)曲面s上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程f(x, y, z)0; (2)不在曲面s上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程f(x, y, z)0,曲面方程的定義 如果曲面s與三元方程 f(x, y, z)0有下述關(guān)系: 2202020rzzyyxx 展開展開關(guān)于球面方程的說明關(guān)于球

2、面方程的說明: :; 0222 dczbyaxzyx,反之反之? 0 222的圖形的圖形任給任給 dczbyaxzyx),4(41)2()2()2(222222dcbaczbyax , 04 222 dcba若若方方程程的的圖圖形形是是, 04 222 dcba若若方方程程的的圖圖形形是是, 04 222 dcba若若方方程程的的圖圖形形;球球面面;一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn).不不存存在在定義定義2. 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 .例如例如 :; 0),(22 zxyf 0, yxf軸軸繞繞x, 0),

3、(22 zyxf軸軸繞繞y; 0) ,(22 yzxf 0, zyf軸軸繞繞z, 0),(22 zyxf軸軸繞繞y 0, zxf軸軸繞繞x, 0),(22 zyxf軸軸繞繞z. 0) ,(22 zyxf旋轉(zhuǎn)曲面的方程的一般結(jié)果：旋轉(zhuǎn)曲面的方程的一般結(jié)果：.2)1(2軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的拋物線面上的拋物線zpzyyoz ,不變不變z22yxy pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面例如例如解解.1)2(2222軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的橢圓面上的橢圓ybzayyoz ,不變不變y22zxz 122222 bzxay解解旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面.1)3(2222軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的雙曲線面上的雙曲線zb

4、zaxzox ,不變不變z22yxx 122222 bzayx解解單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面.1)4(2222軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的雙曲線面上的雙曲線xbzaxzox ,不變不變x22zyz 122222 bzyax解解雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面. 所形成的曲面叫做柱面所形成的曲面叫做柱面移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線定曲線定曲線沿沿平行于定直線并平行于定直線并lc, 叫做柱面的準(zhǔn)線叫做柱面的準(zhǔn)線定曲線定曲線c. 叫做柱面的母線叫做柱面的母線動(dòng)直線動(dòng)直線 l三、柱面方程與圖形三、柱面方程與圖形cl. 0),(, , yxfxoycz其方程為其方程為條曲線條曲線面上的一面上的一是是準(zhǔn)線準(zhǔn)線軸軸

5、的母線平行于的母線平行于設(shè)柱面設(shè)柱面. , ),( , )0 ,( , 0),( ),( 11上上在柱面在柱面即即的母線上的母線上在過在過是點(diǎn)是點(diǎn)于于上上在準(zhǔn)線在準(zhǔn)線則點(diǎn)則點(diǎn)滿足方程滿足方程和縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)如果其橫坐標(biāo)如果其橫坐標(biāo)對(duì)空間中的點(diǎn)對(duì)空間中的點(diǎn) mmzyxmcyxmyxfyxzyxm. 0),( , )0 ,( ),( ,1 yxfyxmcyxmxoyzyxm滿足方程滿足方程和縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)故點(diǎn)故點(diǎn)上上在準(zhǔn)線在準(zhǔn)線面上的垂足面上的垂足它在它在上的任一點(diǎn)上的任一點(diǎn)對(duì)柱面對(duì)柱面反之反之xyzoc),(zyxm)0 ,(1yxm. 0),( yxf的方程是的方程是柱面柱面.

6、 0),(: , 0),( , yxfcxoyzyxfzyx面上的曲線面上的曲線其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是軸的柱面軸的柱面行于行于角坐標(biāo)系中表示母線平角坐標(biāo)系中表示母線平在空間直在空間直的方程的方程而缺而缺、只含只含一般地一般地. 0),( ,軸的柱面軸的柱面母線平行于母線平行于表示表示的方程的方程而缺而缺、只含只含類似地類似地yzxgyzx . 0),( 軸的柱面軸的柱面行于行于表示母線平表示母線平的方程的方程而缺而缺、只含只含xzyhxzy xyzoc),(zyxm)0 ,(1yxm12222 byax橢圓柱面橢圓柱面-2-1012-202-202-2-1012-202. 1 2222 byaxxo

7、yz面上的橢圓面上的橢圓線為線為軸，準(zhǔn)軸，準(zhǔn)母線平行于母線平行于.2 2pzx 拋物柱面拋物柱面.2 , 2pzxxozy 面上的拋物線面上的拋物線為為準(zhǔn)線準(zhǔn)線軸軸母線平行于母線平行于-4-202402.557.51001234-4-2024. 0 yx平面平面. 0 , yxxoyz面上的直線面上的直線準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是軸軸母線平行于母線平行于. 0 zx平面平面. 0 , zxxozy面上的直線面上的直線準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是軸軸母線平行于母線平行于xyzo0 yxxyzo0 zx四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次

8、曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. fzxeyxdxyczbyax2220jizhygx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo1. zyx1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng)

9、 ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z. , , 圍成的長方體內(nèi)圍成的長方體內(nèi)面面橢球面包含在由平橢球面包含在由平czbyax 用平行于坐標(biāo)面的平面截橢球面用平行于坐標(biāo)面的平面截橢球面, ,得到的截痕得到的截痕都是橢圓都是橢圓. ., , ,短半軸短半軸中半軸中半軸面的長半軸面的長半軸按其大小分別叫做橢球按其大小分別叫做橢球在橢球面方程中在橢球面方程中cbaozyxxzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x =

10、c截曲面截曲面(1). zqypx22222 2. 拋物面拋物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). .zqypx22222 2. 拋物面拋物面.,)0()1(截痕為原點(diǎn)截痕為原點(diǎn)去截去截面面用用 zxoy-505x-505y05101520z-505x,)0(去截去截用用 hhz-505x-505y05101520z-505x原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn)原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn). . .,2222hzhbyax截痕為橢圓截痕為橢圓 . 0,)0()2(22yzaxyzox截痕為拋物線截痕為拋物線去截去截面面用用-505x-50

11、5y05101520z-505x .),(,2222kybkzaxky截痕也為拋物線截痕也為拋物線去截去截用平面用平面-505x-505y05101520z-505x . 0,)0()3(22xzbyxyoz截痕為拋物線截痕為拋物線去截去截面面用用-505x-505y05101520z-505x .),(,2222lxalzbylx截痕也為拋物線截痕也為拋物線去截去截用平面用平面-505x-505y05101520z-505x用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （馬鞍面）（馬鞍面）(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面

12、 截痕法截痕法.(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法.(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222, )0( )1(去截去截用平面用平面 hhz. , 0 軸軸實(shí)軸平行于實(shí)軸平行于截痕是雙曲線截痕是雙曲線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xh 平面上兩條相交于平面上兩條相交于截痕是截痕是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 xoyh . , 0 軸軸實(shí)軸平行于實(shí)軸平行于截痕也是雙曲線截痕也是雙曲

13、線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yh ., 2222hzhbyax截痕為截痕為-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x).0(0 zbyax原點(diǎn)的直線原點(diǎn)的直線, )2(去截去截用平面用平面tx ., , 0 張口朝下張口朝下拋物線拋物線平面上頂點(diǎn)在原點(diǎn)的平面上頂點(diǎn)在原點(diǎn)的截痕是截痕是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yozt . , 0 增大而升高增大而升高線的頂點(diǎn)隨線的頂點(diǎn)隨且拋物且拋物物線物線截痕都是張口朝下的拋截痕都是張口朝下的拋時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)kt ., 2222txzatby截痕為截痕為

14、-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x, )3(去截去截用平面用平面ly .物線物線截痕都是張口朝上的拋截痕都是張口朝上的拋雙曲拋物面又叫馬鞍面雙曲拋物面又叫馬鞍面. . ., 2222lyblzax截痕為截痕為-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024xxyzo. 1 222222 czbyax

15、3. 雙曲面雙曲面(1)單葉雙曲面單葉雙曲面 .,1 , )1(222222hzchbyaxhz橢圓橢圓截痕為截痕為去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 byaxxoyh面上的橢圓面上的橢圓截痕為截痕為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xyzo. 1 222222 czbyax. 1222222 czbyax .,1 , )( )2(222222kybkczaxbkky截痕為雙曲線截痕為雙曲線去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 czaxzoxk面上的雙曲線面上的雙曲線截痕為截痕為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). , , 22軸軸于于虛軸平行虛軸平行軸軸雙曲線的實(shí)軸平行于雙曲線的實(shí)軸平行于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zxbk . , , 22軸

16、軸于于虛軸平行虛軸平行軸軸雙曲線的實(shí)軸平行于雙曲線的實(shí)軸平行于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xzbk ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程為程為方方的直線的直線一對(duì)相交于點(diǎn)一對(duì)相交于點(diǎn)截曲面的截痕為截曲面的截痕為平面平面 ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程為程為方方的直線的直線一對(duì)相交于點(diǎn)一對(duì)相交于點(diǎn)截曲面的截痕為截曲面的截痕為平面平面. , ) ( 0 ,)3(交的直線交的直線曲面所得截痕是兩對(duì)相曲面所得截痕是兩對(duì)相截截兩平面兩平面也是雙曲線也是雙曲線的平面截曲面所得截痕的平面截曲面所得截痕面面和平行于和平行于面面用平面用平面類似地類似

17、地axyozyozx (2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到 )xyz內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空

18、間曲面三元方程0),(zyxf 球面2202020)()()(rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxf表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同號(hào)qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面2222xyzpq 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax2222xyzpq 了解了解( (畫畫) )曲面的形狀的一種方法：曲面的形狀的一種方法： 用坐標(biāo)面和平行

19、于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，通用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，通過考察其交線（即過考察其交線（即截痕截痕）的形狀來了解曲面的形狀）的形狀來了解曲面的形狀幾種特殊的二次方程的曲面：幾種特殊的二次方程的曲面：3、二次曲面總結(jié)、二次曲面總結(jié)截痕法。截痕法。1、方程、方程1222222 czbyax 曲面與坐標(biāo)面的交線：曲面與坐標(biāo)面的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓曲面與平面曲面與平面 的交線的交線1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax橢球面橢球面2、方程、方程1222222 czbyax 曲面與坐標(biāo)面的交線：

20、曲面與坐標(biāo)面的交線：,yczax 012222.xczby 012222,012222 zbyax橢圓曲面與平面曲面與平面 的交線的交線1zz 12122222122221zz)zc(cby)zc(cax單葉雙曲面單葉雙曲面雙曲線3、方程、方程1222222 czbyax 曲面與坐標(biāo)面的交線：曲面與坐標(biāo)面的交線：,yczax 012222,zbyax 012222雙曲線的的交交線線曲曲面面與與平平面面 11)a|x(|xx 橢圓雙葉雙曲面雙葉雙曲面 12212222212221)()(xxaxaczaxaby4、方程、方程qypxz2222 曲面與坐標(biāo)面的交線：曲面與坐標(biāo)面的交線：,ypxz 0