1、常系數(shù)非齊次線性微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九節(jié)型)()(xpexfmxxxpexflxcos)()(型sin)(xxpn一、一、二、二、 第十二章 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xqex )()2(xqp)()(2xqqp)(xpemx一、一、 型)()(xpexfmx 為實(shí)數(shù) ,)(xpm設(shè)特解為,

2、 )(*xqeyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xq )()(*xqxqeyx )()(2)(*2xqxqxqeyx 代入原方程 , 得 )(xq (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xqm從而得到特解形式為. )(*xqeymx)()2(xqp)()(2xqqp)(xpm為 m 次多項(xiàng)式 .q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xq則為m 次多項(xiàng)式, 故特解形式為xmexqxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xq 則是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為x

3、mexqxy)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程,)2, 1, 0()(*kexqxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解:

4、本題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxececy3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxececy3221.)(2221xexx ,2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321ccc21322cc2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為

5、1cy xec2xec23原方程通解為x211cy xec2xec23由初始條件得0432cc,0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321ccc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型xxpxxpexfnlxsin)(cos)()(ximexpxf)()()(ximexp)()(第二步第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解ximexpyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)ximexp)()(機(jī)動(dòng) 目錄

6、上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixpxpnl2)(2)(xie)(ixpxpnl2)(2)(xie)(ximexpxf)()()(ximexp)()(ximexp)()(ximexp)()(則令,maxlnm )(xpl2xixiee)(xpnieexixi2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexqxy)(1)()(次多項(xiàng)式為mxqm故ximexpyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexpyqypy)(111)(1y這說明為方

7、程 的特解 .ximexpyqypy)()( ximexpyqypy)()( 設(shè)則 有特解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeqeq原方程 yqypy xxpxxpenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixqm)sin(cosxixqm xkexxrmcosxrmsinmmrr,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析的特點(diǎn)yxrxrexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmrr,因此均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式

8、 .11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,11yy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxpxxpenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxrxrexymmxksincos*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(01

9、2r,)(xxpl, 0)(xpn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad0 cb機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xcxcy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexpyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexqxy)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(. 2xxpxxpeyqypynlx 為特征方程的 k