1、常系數非齊次線性微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九節型)()(xpexfmxxxpexflxcos)()(型sin)(xxpn一、一、二、二、 第十二章 )(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法待定系數法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(xqex )()2(xqp)()(2xqqp)(xpemx一、一、 型)()(xpexfmx 為實數 ,)(xpm設特解為,

2、 )(*xqeyx其中 為待定多項式 , )(xq )()(*xqxqeyx )()(2)(*2xqxqxqeyx 代入原方程 , 得 )(xq (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xqm從而得到特解形式為. )(*xqeymx)()2(xqp)()(2xqqp)(xpm為 m 次多項式 .q (x) 為 m 次待定系數多項式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xq則為m 次多項式, 故特解形式為xmexqxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xq 則是 m 次多項式,故特解形式為x

3、mexqxy)(*2小結小結 對方程,)2, 1, 0()(*kexqxyxmk此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解:

4、本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxececy3221設非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxececy3221.)(2221xexx ,2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321ccc21322cc2, 1, 0321rrr故對應齊次方程通解為

5、1cy xec2xec23原方程通解為x211cy xec2xec23由初始條件得0432cc,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321ccc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、型xxpxxpexfnlxsin)(cos)()(ximexpxf)()()(ximexp)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解ximexpyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點ximexp)()(機動 目錄

6、上頁 下頁 返回 結束 第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixpxpnl2)(2)(xie)(ixpxpnl2)(2)(xie)(ximexpxf)()()(ximexp)()(ximexp)()(ximexp)()(則令,maxlnm )(xpl2xixiee)(xpnieexixi2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexqxy)(1)()(次多項式為mxqm故ximexpyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexpyqypy)(111)(1y這說明為方

7、程 的特解 .ximexpyqypy)()( ximexpyqypy)()( 設則 有特解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeqeq原方程 yqypy xxpxxpenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixqm)sin(cosxixqm xkexxrmcosxrmsinmmrr,其中均為 m 次多項式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四步第四步 分析的特點yxrxrexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmrr,因此均為 m 次實多項式

8、 .11yyy本質上為實函數 ,11yy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 小小 結結:xxpxxpenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數qpxrxrexymmxksincos*則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(01

9、2r,)(xxpl, 0)(xpn比較系數 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數, 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xcxcy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結xmexpyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexqxy)(*則設特解為sin)(cos)(. 2xxpxxpeyqypynlx 為特征方程的 k