1、人教版高中數學必修精品教學資料第一章 三角函數學習目標1.理解任意角的三角函數的概念.2.掌握同角三角函數基本關系及誘導公式.3.能畫出ysin x,ycos x,ytan x的圖象.4.理解三角函數ysin x,ycos x,ytan x的性質.5.了解函數yasin(x)的實際意義,掌握函數yasin(x)圖象的變換.1.任意角三角函數的定義在平面直角坐標系中,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點p(x,y),那么：(1)y叫做的正弦,記作sin ,即sin y；(2)x叫做的余弦,記作cos ,即cos x；(3)叫做的正切,記作tan ,即tan (x0).2.同角三角函數的基本關系

2、式(1)平方關系：sin2cos21.(2)商數關系：tan .3.誘導公式六組誘導公式可以統一概括為“k·±(kz)”的誘導公式.當k為偶數時,函數名不改變；當k為奇數時,函數名改變,然后前面加一個把視為銳角時原函數值的符號.記憶口訣為“奇變偶不變,符號看象限”.4.正弦函數、余弦函數和正切函數的性質函數ysin xycos xytan x圖象定義域rr值域1,11,1r對稱性對稱軸：xk(kz)；對稱中心：(k,0)(kz)對稱軸：xk(kz)；對稱中心：(kz)對稱中心：(kz),無對稱軸奇偶性奇函數偶函數奇函數周期性最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：單調性在

3、(kz)上單調遞增；在 (kz)上單調遞減在2k,2k(kz)上單調遞增；在2k,2k(kz)上單調遞減在開區間(k,k)(kz)上遞增最值在x2k(kz)時,ymax1；在x2k(kz)時,ymin1在x2k(kz)時,ymax1；在x2k(kz)時,ymin1無最值類型一三角函數的概念例1已知角的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸.若p(4,y)是角終邊上一點,且sin ,則y .答案8解析r,且sin ,所以sin ,所以為第四象限角,解得y8.反思與感悟(1)已知角的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種：先利用直線與單位圓相交,求出交點坐標,然后再利用正弦、余弦函數的定義求出相應三

4、角函數值.在的終邊上任選一點p(x,y),p到原點的距離為r(r0).則sin ,cos .已知的終邊求的三角函數值時,用這幾個公式更方便.(2)當角的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.跟蹤訓練1已知角的終邊在直線3x4y0上,求sin ,cos ,tan 的值.解角的終邊在直線3x4y0上,在角的終邊上任取一點p(4t,3t)(t0),則x4t,y3t.r5|t|.當t0時,r5t,sin ,cos ,tan ；當t0時,r5t,sin ,cos ,tan .綜上可知,sin ,cos ,tan 或sin ,cos ,tan .類型二同角三角函數的基本關

5、系式及誘導公式的應用例2已知關于x的方程2x2(1)xm0的兩根為sin ,cos ,(0,2).求：(1)；(2)m的值；(3)方程的兩根及此時的值.解由根與系數的關系,得sin cos ,sin cos .(1)原式sin cos .(2)由sin cos ,兩邊平方可得12sin cos ,12×1,m.(3)由m可解方程2x2(1)x0,得兩根和. 或 (0,2),或.反思與感悟(1)牢記兩個基本關系式sin2cos21及tan ,并能應用兩個關系式進行三角函數的求值、化簡、證明.在應用中,要注意掌握解題的技巧.比如：已知sin ±cos 的值,可求cos sin

6、.注意應用(cos ±sin )21±2sin cos .(2)誘導公式可概括為k·±(kz)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是：奇變偶不變,符號看象限.跟蹤訓練2已知f().(1)化簡f()；(2)若f(),且<<,求cos sin 的值；(3)若,求f()的值.解(1)f()sin ·cos .(2)由f()sin ·cos 可知,(cos sin )2cos22sin ·cos sin212sin ·cos 12×.又<<,cos <sin ,即cos sin <

7、;0,cos sin .(3)6×2,fcos·sincos·sincos·sin×.類型三三角函數的圖象與性質例3將函數yf(x)的圖象向左平移1個單位長度,縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的倍,然后向上平移1個單位長度,得到函數ysin x的圖象.(1)求f(x)的最小正周期和單調遞增區間；(2)若函數yg(x)與yf(x)的圖象關于直線x2對稱,求當x0,1時,函數yg(x)的最小值和最大值.解(1)函數y sin x的圖象向下平移1個單位長度得ysin x1,再將得到的圖象上的點的橫坐標伸長為原來的倍,得到ysinx1的圖象,然后向右平移1

8、個單位長度,得到ysin(x)1的圖象,函數yf(x)的最小正周期為t6.由2kx2k,kz,得6kx6k,kz,函數yf(x)的單調遞增區間是6k,6k,kz.(2)函數yg(x)與yf(x)的圖象關于直線x2對稱,當x0,1時,yg(x)的最值即為x3,4時,yf(x)的最值.當x3,4時,x,sin(x)0,f(x)1,.當x0,1時,yg(x)的最小值是1,最大值為.反思與感悟研究yasin(x)的單調性、最值問題,把x看作一個整體來解決.跟蹤訓練3函數f(x)3sin的部分圖象如圖所示.(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值；(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值.解(

9、1)f(x)的最小正周期為,x0,y03.(2)因為x,所以2x,于是,當2x0,即x時,f(x)取得最大值0；當2x,即x時,f(x)取得最小值3.類型四三角函數的最值和值域命題角度1可化為yasin(x)k型例4求函數y2sin(x)3,x0,的最大值和最小值.解x0,x,sin(x)1.當sin(x)1,即x時,y取得最小值1.當sin(x),即x時,y取得最大值4.函數y2sin(x)3,x0,的最大值為4,最小值為1.反思與感悟利用yasin(x)k求值域時要注意角的取值范圍對函數式取值的影響.跟蹤訓練4已知函數yasin(2x)b在x0,上的值域為5,1,求a,b的值.解x0,2x

10、,sin(2x),1.當a0時,解得當a0時,解得a,b的取值分別是4,3或4,1.命題角度2可化為sin x或cos x的二次函數型例5已知|x|,求函數f(x)cos2xsin x的最小值.解yf(x)cos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x,|x|,sin x.則yt2t1(t)2(t),當t,即x時,f(x)有最小值,且最小值為()2.反思與感悟在換元時要立刻寫出新元的范圍,否則極易出錯.跟蹤訓練5已知函數f(x)sin2xasin xb1的最大值為0,最小值為4,若實數a>0,求a,b的值.解令tsin x,則g(t)t2atb12b1,且t1,1.根據對稱軸

11、t0與區間1,1的位置關系進行分類討論.當1,即a2時,解得當1<<0,即0<a<2時,解得(舍)或(舍),綜上所述,a2,b2.類型五數形結合思想在三角函數中的應用例6已知方程sin(x)在0,上有兩個解,求實數m的取值范圍.解函數ysin(x),x0,的圖象如圖所示,方程sin(x)在0,上有兩個解等價于函數y1sin(x),y2在同一平面直角坐標系中的圖象在0,上有兩個不同的交點,所以1,即m2. 反思與感悟數形結合思想貫穿了三角函數的始終,對于與方程解有關的問題以及在研究yasin(x)(a0,0)的性質和由性質研究圖象時,常利用數形結合思想.跟蹤訓練6設函數f

12、(x)asin(x)(a,是常數,a0,0).若f(x)在區間,上具有單調性,且f()f()f(),則f(x)的最小正周期為 .答案解析記f(x)的最小正周期為t.由題意知.又f()f()f(),且,可作出示意圖如圖所示(一種情況),x1()×,x2()×,x2x1,t.1.若一個角的終邊上有一點p(4,a),且sin ·cos ,則a的值為()a.4 b.±4c.4或 d.答案c解析由三角函數定義可知,r,sin ,cos ,sin ·cos ,得a4或.2.已知f(),則f()的值為()a. b. c. d.答案c解析f()cos ,f()

13、cos()cos(10)cos.3.函數y|sin x|sin|x|的值域為()a.2,2 b.1,1 c.0,2 d.0,1答案c解析f(x)0f(x)2.故選c.4.函數f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示,則,的值分別是()a.2, b.2, c.4, d.4,答案a解析從圖象可得t,t,2.又f2sin2sin2,且,.5.已知函數f(x)sin2xsin xa,若1f(x)對一切xr恒成立,求實數a的取值范圍.解令tsin x,則t1,1,則函數可化為f(t)t2ta(t)2a.當t時,f(t)maxa,即f(x)maxa；當t1時,f(t)mina2,即f(x)mina2.故函

14、數f(x)的值域為a2,a.所以解得3a4.故實數a的取值范圍為3,4.三角函數的性質是本章復習的重點,在復習時,要充分利用數形結合思想把圖象與性質結合起來,即利用圖象的直觀性得到函數的性質,或由單位圓中三角函數線表示的三角函數值來獲得函數的性質,同時也能利用函數的性質來描述函數的圖象,這樣既有利于掌握函數的圖象與性質,又能熟練運用數形結合的思想方法.課時作業一、選擇題1.已知角的終邊上一點的坐標為,則角的最小正值為()a. b.c. d.答案d解析因為sin sinsin ,cos coscos,所以點在第四象限.又因為tan tantan ,所以角的最小正值為.故選d.2.若sin(),且

15、(,),則sin()等于()a. b.c. d.答案c解析sin(),sin ,又(,),cos ,sin()cos ,故選c.3.已知函數f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|,則f(x)的值域為()a.1,1 b.,1c.1, d.1,答案c解析f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|函數f(x)的圖象如圖所示,由f(x)的圖象,知f(x)的值域為1,.4.設函數f(x)4sin(2x1)x,則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是()a.4,2 b.2,0c.0,2 d.2,4答案a解析由數形結合的思想,畫出函數y4sin(2x1)與yx的圖象,觀察可知

16、選a.5.將函數y3sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數()a.在區間上單調遞減b.在區間上單調遞增c.在區間上單調遞減d.在區間上單調遞增答案b解析y3sin向右平移個單位長度得到y3sin3sin的圖象.x,則2x,y3sin在上單調遞增.6.函數f(x)asin(x)(a0,0)的部分圖象如圖所示,則f(x)等于()a.sin b.sinc.sin d.sin答案a解析由圖象知a,t,t,2.2×2k(kz),可取,f(x)sin.7.同時具有性質：“最小正周期是；圖象關于直線x對稱；在區間,上是單調遞增函數”的一個函數可以是()a.ycos(2x) b.ysin

17、(2x)c.ysin(2x) d.ysin()答案b解析由t知,2,d錯；圖象與對稱軸的交點為最值點,即當x時,函數值為最值,a錯；由b的單調遞增區間,可得2k2x2k(kz),即為k,k(kz),當k1時,故選b.二、填空題8.設x(0,),則f(x)cos2xsin x的最大值是 .答案解析f(x)cos2xsin xsin2xsin x12.又x(0,),0sin x1,當sin x時,f(x)的最大值是.9.函數yf(x)asin(x)的部分圖象如圖所示,則f(1)f(2)f(3)f(2 014)的值等于 .答案解析由圖知a2,0,f(x)2sinx,f(1)f(2)f(8)0.又f(

18、x)的周期為8,f(1)f(2)f(2 014).f(1)f(2)f(6).10.設函數f(x)sin(2x),下列命題：f(x)的圖象關于直線x對稱；f(x)的圖象關于點(,0)對稱；把f(x)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數的圖象；f(x)的最小正周期為,且在0,上為增函數.其中正確命題的序號為 .答案解析f(x)sin(2x)的圖象的對稱軸方程滿足2xk(kz),解得x(kz)；f(x)sin(2x)的圖象的對稱中心的橫坐標滿足2xk(kz),解得x(kz)；f(x)的周期為t,由(2x)2k,2k(kz),得f(x)的增區間為k,k(kz)；把f(x)的圖象向左平移個單位長度,

19、得到f(x)sin2(x)sin(2x)cos 2x的圖象,為偶函數.故只有正確.11.已知函數f(x)sin(2x),若f(x)對xr恒成立,且f>f(),則f(x)的單調遞增區間是 .答案(kz)解析由題意可知,當x時,f(x)取最值.fsin±1,k(kz),k(kz).又f>f(),sin()>sin(2),即sin >sin ,sin <0.不妨取,則f(x)sin.令2k2x2k(kz),則2k2x2k(kz),kxk(kz),f(x)的單調遞增區間為(kz).三、解答題12.若sin cos 0,sin tan 0,且 2,求tan .解sin cos 0,sin tan 0,是第二象限角, 2,cos ,則sin ,ta