1、第二講數(shù)列的綜合應(yīng)用考情分析明確方向V年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)20i8n卷等差數(shù)列的前n項和最值問題Ti7命題分析數(shù)列在解答題中的考查常從數(shù)列的相關(guān) 項以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與 等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的通項、前n項和，有時與參數(shù)的求解、 數(shù)列、不等式的證明等加以綜合.試題難 度中等.學(xué)科素養(yǎng)通過遞推關(guān)系求通項，根據(jù)通項結(jié)構(gòu)選擇 恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蠛?20i7n卷等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用Ti7出卷已知遞推關(guān)系求通項與裂項求和Ti720i6n卷等差數(shù)列的基本運算T i7出卷數(shù)列的通項公式Ti7講練結(jié)合由遞推關(guān)系求通項授

2、課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁悟通 方法結(jié)論求數(shù)列通項常用的方法(1)定義法：形如 an+i=an+C(C為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列.形如 an+i=kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列.(2)疊加法:形如 an+1 = an+f(n),利用 an = ai+(a2 ai)+(a3a2)+ (anan-i),求 其通項公式.(3)疊乘法：形如an" = f(n)w0,利用an=a1里當(dāng)/n,求其通項公式. anai a2an i(4)待定系數(shù)法：形如an+i= pan+q(其中p, q均為常數(shù)，pq(pi)w0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

3、an+i-t= p(an-t),其中t=q一,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.i-p(5)構(gòu)造法：形如an+i= pan+qn(其中p, q均為常數(shù)，pq(p-i) 0),先在原遞推公式兩邊同除以qn+i ,得an4=p an + i,構(gòu)造新數(shù)列bn其中bn=an；,得bn+i=pbn+；接下來q q q qqq qi用待定系數(shù)法求解.全練一一快速解答11111. （2018洛陽四校聯(lián)考）已知數(shù)列an滿足條件2a+'22a2 + 23a3+ 2nan=2n+5，則數(shù)列an的通項公式為（）on+ 1B.14, an = i n+ 1 2C. an= 2nD.an= 2n+2A. an= 24111

4、1一 一斛析：由題思可知，數(shù)列an滿足條件2a1 + 2a2+23a3+2nan=2n+5,則n>2時,有2a1+ 2232+ 2393+ + 21nBn 1= 2(n- 1)+5， n> （2018潮州月考）數(shù)列an的前n項和記為,兩式相減可得，|n = 2n+5-2(n- 1) 5=2, .an=2n+1, n>2, nC N*.當(dāng) n = 1 時，y=7,a1=14,綜上可知，數(shù)列an的通項公式為an =14, n= 1,，2n+1, nR2.答案：BSn, a=1, an+1 = 2Sn+1(n>1, n N*),則數(shù)列an的通項公式是 .解析：法一：由 an+

5、1 = 2Sn+1 可得 an=2Sn1+1（n>2）,兩式相減得 an+一an = 2an,即 an+1= 3an(n>2).又 a2=2§ + 1=3,.a2=3a1,故an是首項為1,公比為3的等比數(shù)歹U,an=3n 1.法一:由于 an + 1 = Si+1 Si, an +1 = 2Sn + 1 ,所以 Sn+1&=2&+1, &+1 = 3&+1,所以 Sn+1+2= 3|Sn+2 i,-1 , , .1所以數(shù)列Sn + 21-2十s3,公比為3的等比數(shù)列，故& + 2 = "3X31=2*3答案：an = 3

6、ni3. (2018福州模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=2an1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn=(2n-1)an,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析：(1)證明：當(dāng) n = 1 時，a1= S1 = 2a1 1,所以 a1=1,當(dāng) n>2 時,an= Sn- Sn 1= (2an 1) (2an 1 - 1),所以 an=2an-1,所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，an=2nT,所以 bn=(2n1)X2nT,所以 Tn= 1 + 3X2+5X22+- + (2n-3)X 2n 2+ (2n 1)X 21 2Tn= 1 X 2+ 3X 22

7、 + + (2n- 3) X 2n 1 + (2n- 1)X 2n由一得-Tn=1 + 2X (21 + 22+ +2n1) (2n 1) 2n= 1 + 2* 2-j j 2-(2n-1)X2n= (3-2n)X 2n 3,所以 Tn=(2n-3)X2n+3.【類題通法】由an與Sn關(guān)系求通項公式的注意事項(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分 n=1和n>2兩種情況討論，特別注意an=Sn-SnT 中需 n > 2.(2)由SnSn-1=an推得an,當(dāng)n=1時，a1也適合，則需統(tǒng)一 “合寫”.由SnSn-1=an推得an,當(dāng)n= 1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分

8、S1, n = 1, 寫”)，即 an= 悟通方法結(jié)論SnSn 1, n>2.常用求和方法(1)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的數(shù)列.把Sn= ai + a2+ an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q,得到qSn= a1q+a2q + anq,兩式錯位相減即可求出Sn.(2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中 f- c間若干項的萬法.裂項相消法適用于形如，藐；3 (其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.(3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和.

9、出1口工, I (2n- ) alt = 2 rk典網(wǎng)(2017高考全國卷出)(12分)設(shè)數(shù)列an滿足。(1)求an的通項公式；12«+1 /(2)求數(shù)列的前n項和.學(xué)審題條件信息想到方法注意什么? ? a +3a2+ (2n 1)an二 2nan與Sn的關(guān)系求解分n= 1, n>2討論口？ *'an 二 2n + 1 j卜根據(jù)通項結(jié)構(gòu)選裂項求和裂項時消去項與保留項的首尾對應(yīng)規(guī)范解答(1)因為 aI+3a2+ (2n 1)an= 2n ,故當(dāng) n42 時，a1 +3a2 + + (2n 3)an 1= 2(n 1).(2 分)兩式相減得(2n 1)an=2, d2 所以

10、 an=2n_1 (n>2). (4分)又由題設(shè)可得a1 = 2,滿足上式，2從而an的通項公式為 an= 0*.*.” (6分)2n 1由(1)知an2n+ 1化)記2naT?的前n項和為Sn.2_1_ 12n+ 1 2n- 1 -2n 1 -2n+ 1.1111則 Sn=T-o+7-7+ +1 3 3 52n2n 1 2n+ 1 2n+ 1(12分)【類題通法】1 .分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用(1)當(dāng)數(shù)列通項中含有(-1)n時，在求和時要注意分 n為奇數(shù)與偶數(shù)處理.an+2(2)對已知數(shù)列滿足 -=q,在求 an的前n項和時分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和. an2 .學(xué)科素養(yǎng)：通過數(shù)列

11、求和著重考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力.練通一一即學(xué)即用n2(當(dāng)n為奇數(shù)時1.已知函數(shù) f(n)="2 r , 且 an=f(n) + f(n+1),則 a+a2+a3+ + a00-n2(當(dāng)n為偶數(shù)時)=()A. 0B. 100C. - 100D. 10 200解析：由題意,a+a2 + a3 + +a00= 12 2之一22 -|- 32+ 32 42一4之 + 5? + + 992一1002 - 1002+ 1012 = - (1 + 2)+ (3+ 2)- - -(99 + 100)+(101 + 100)= (1 +2+ + 99+ 100) + (2+3+ 100+ 10

12、1) = 1+ 101 = 100,故選 B.答案：B2.已知數(shù)列an的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a+a2+十周。等于()A. 15B. 12C. 12D. 15解析：an= ( 1)n(3n 2), . . a+ a2+ + a0= 1+47+ 1025 + 28= ( 1 +4)+(7+ 10)+ +(-25+28) = 3X5= 15.答案：A3. (2018張掖診斷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若an=3&+4, bn=iog2an+1.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式； bn1(2)令cn=2bni +n(n+1 j其中ne N ,若數(shù)列Cn的前n項和為Tn

13、,求Tn.解析：(1)由 a1 = 3a + 4,得 a1=1,由 an=- 3Sn + 4,知 an+1= 3&+1+4,兩式相減并化簡得an+1 = ：an,17bn=- 10g2an+l = - 10g2(； = 2n.(2)由題意知,nCn = 2 +1n(n+ 1 .1,23 n令 Hn=2+2+23+ + 1,mt1112 n-1 n 小則2$= 22+2?+-2 + 2m, 得，1111 1n , n 22Hn=2+ 2+ +2T ” =1 一丁1.-Hn=2-n+ 2nF'又 Mn= 1_；+；_1+ +1-=1- 223 nn+1n+1 n+1n+ 2 n.T

14、n=Hn+Mn=2-+不.講練結(jié)合考點三數(shù)列的綜合應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 32頁悟通一一方法結(jié)論數(shù)列中的綜合問題， 大多與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何交匯， 考查利用函數(shù)與方程的思想及分類討論思想解決數(shù)列中的問題，用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與解析幾何交匯，主要涉及點列問題.典例(1)(2018德州模擬)已知點O為坐標(biāo)原點，點An(n, an)(nCN*)為函數(shù)f(x)=W的圖象上的任意一點，向量i=(0,1), «是向量OAn與i的夾角，則數(shù)列.cos e sin L酌前2 015項的和為(A. 22 014B.2 015C20152 016D. 1解析:因為an1n+

15、 1,所以 oAn=(nOAn in . 1),所以 cos 6= 一 |OAn|i |1n+1 L1，因n2(n+1 )所以 sin 0n= <Jl - cos2 On =一,n 二,所以cos 6sin On111=n(n+ 1)n n +1以 cos 0 cos也 cos 也 015 _ 1_11 _11112 015以 sin 91 十 sin也十十 sin 也 015 - - 2十 23十十 2 015 2016 2 016 2 016.答案：C（2）（2018日照卞莫擬）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：2Sn + an = 1.求數(shù)列an的通項公式；設(shè)bn =（1+a2；!a

16、n + 1 ）'數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn<4解析：因為 2Sn+an=1,所以 2Sn+ +an+1= 1 ,兩式相減可得2an+1+ an+1 an= 0,即3an+1=an,即更= an3又 2sl+ a1 = 1,所以 a1 = ；31所以數(shù)列an是首項、公比均為1的等比數(shù)列.3故an= 3（3）n 1=（1）"數(shù)列 an的通項公式為an=（3）n.證明：因為2an+11 an 1 an+123n+13n+ 1 3n+1 + 13n, 3n+12 3n1 _1(3n+ 1 )(3n+1 + 1 3n+ 1 3*1 + 1.1 n+ 12(3J所以 bn

17、= -111 + (3川 +(31111111故 Tn=b1 + b2+bn=(/什爐口尹)+ ' + (3n+l 371 )=4113n+1+1<4.所以Tn<1.4【類題通法】數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明，在求解時要注意等價轉(zhuǎn)化即分離參數(shù)法與放縮法的技巧應(yīng)用.練通一一即學(xué)即用2411. （2018 玉雞摸底）正項等比數(shù)列 an中，a2 017 =a2 016+ 2a2 015,右 aman=16a1,則巾+n的最小值等于（）A.1B.3C.3c 13D.?解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,且q>0, 2 c, c a2 oi5q =a2 oi5q +2a

18、2 015,，q2q2=0,，q=2 或 q= 1(舍去)，又 aiqmTaiqnT=16a2,，2m+n 2=i6, . m+n-2 = 4, m+n=6,. 11 m±n 15 4n m環(huán) n / 6 6©+m 十 nJ:15+ 2A /也m j= 3,當(dāng)且僅當(dāng)m=4, n=2時等號成立.故，+1的最小值為目.6m n 2m n2答案：B2. (2018 煙臺模擬)設(shè)函數(shù) f(x)=|+1(x>0),數(shù)列an滿足 ai=1, aK，), nCN*, 3 xan 1且 n>2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對 nC N*,設(shè) Sn = + + + -+ 1

19、,若 Sn>-3t-恒成立，求實數(shù) t 的取值aia2 a2a3 a3a4anan+i4n解析:由十）得,an- an 1 = 2, n N , n>2,32所以an是首項為1,公差為Z的等差數(shù)列.3 .2 2n+ 1*所以 an=1 + 3(n-1) = -3-, nC N .(2)因為 an=2nzp,所以 an+i = 33所以1anan+i9_ 91_1(2n+ 1 0n+ 3 f 2(2n+ 1 2n+ 3),則 Sn= + + + + -1-aia2 a2a3 a3a4anan+i3n2n+3.一 3t故Sn,恒成立等價于4n2-n->Tt,即tw上一恒成立.2n

20、+3 4n'2n+ 3人4x2令 g(x)=27(x>0)，2X I 38xfx+ 31- 則 g' (x)=%二n > 0，2x-I- 3 |4x2所以g（x）=;工（x。）為單調(diào)遞增函數(shù).2x-I- 32 2所以當(dāng)1時票取得最小值且（日）川.J所以tW4,即實數(shù)t的取值范圍是（一8, 4. 55J瞟后訓(xùn)練:提升能力授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第120頁、選擇題1 .已知數(shù)列an滿足ai = 5B. 4A. 2C. 55D.2解析:an+1an + 2an+3an+4 因為an+4 2n+1 2n+3anan +an + 2an + 3an 2 2= 22,所以令I(lǐng),得

21、22=4,故選B.答案:2 .在數(shù)列an中)a1=1, a2 = 2, an+2an= 1 + (-1)n)那么 S100的值為()B. 2 600A. 2 500C. 2 700D. 2 800解析：當(dāng)n為奇數(shù)時，an+2an=0? an=1,當(dāng) n 為偶數(shù)時，an +2 - an = 2? an= n,故an=J, n為奇數(shù), n, n為偶數(shù),是 S100= 50+(2+100 戶 50 =2 600.答案：B3. （2018海淀二模）在數(shù)列an中,an = 2an 1n= 2,3,4,”是“ an是公比為2的等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

22、必要條件解析：當(dāng)an=0時，也有an=2an 1n= 2,3,4,，但an不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當(dāng)an是公比為2的等比數(shù)列時,_ an有 an.1=2.n = 2,3,4 , 即 an=2an1,n = 2,3,4 ,所以必要性成立.答案：B4.若數(shù)列an滿足 ai= 15,且 3an+i = 3an 2,則使 ak ak+1<。的 k 值為（）A. 22B. 21C. 24D. 23解析：因為3an+i=3an2,所以an+i-an=- 2,所以數(shù)列an是首項為15,公差為一32的等差數(shù)列，所以 斗=15 2 （n1）= |n+47,令 an= + ¥>0,得

23、 n< 23.5,所以 333333使ak ak+1<0的k值為23.答案：D5.已知數(shù)列an滿足a1 = 1,an+ 1 ,2an（n為正奇數(shù)_an+1（n為正偶數(shù)則其前6項之和為（）B. 20A. 16C. 33D. 120解析：a?= 2a1 = 2, a3 = a2 + 1 = 3, a4=2a3 = 6, a5 = a4+ 1 = 7, a6 = 2a5= 14,所以前 6 項和 S6=1 + 2+ 3+6+7+ 14=33,故選 C.答案：C6.已知等差數(shù)列an的公差為d,關(guān)于x的不等式dx2+2a1x>0的解集為0,9,則使數(shù)列an的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的

24、值是（）A. 4B. 51 . 6D. 7解析：.關(guān)于x的不等式dx2+2a1x>0的解集為0,9 ，.:0,9是一元二次方程dx2+ 2ax=0 的兩個實數(shù)根，且 d<0,，- 2乎=9, a1= - 9T.an = a1 + （n- 1）d= （n-d,可得 a5 d22=2d>0, a6=1d<0.，使數(shù)列an的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是5.答案：B7 . （2018湘中名校聯(lián)考）若丁口是等差數(shù)列,首項 a1>0, a2 016+a2 017>0, a2 016 a2017V 0,則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù) 門是（）A. 2 01

25、6B, 2 017C. 4 032D. 4 033解析：因為 a1>0, a2 016 + a2 017>0, a2 016 a2 0170,所以 dV0, a2 016>0, a2 017<0, 所以 S4。k 4 032（廣 03" = 4 032嗎16+電 017 ）> 0, & 033 = 4 033（al + a4 033 ）= 4 033a2 017 <0,所以使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032.答案：C8 .已知數(shù)列an, “an+i|>an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件C.充要條

26、件an+1 > 0,解析： |an+i|>an,|an+ 1 > anB .必要不充分條件D.既不充分也不必要條件an + 1 W 0, 或.an + 1 > an.又二.數(shù)列an為遞增數(shù)列，an+l>an,，“|an+l|>an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件 答案：D、填空題9 .(2018 沈陽模擬)在數(shù)列J an中，a1= 1 ,a2=2,an+i= 3an2an-i(nA2),貝 U an =5 r 、r E、>an+1 an一|牛析：法一:因為 an+1=3an 2an-1(n>2), 所以=2(n>2), 所以

27、 an+1 an=(a2an an-1a1)2n1 = 2n 1(n > 2),又a2a1=1,所以an - an1 = 2n2 , an 1 - an2= 2n3,，a2- a1=1,累加，得 an=2nT(nCN*).法一：因為 an+1= 33n 2an-(n > 2),所以 an+1 2an = an2an-1 ,得 an+1 2an= an- 2an 1= an 1 -2an 2=' = a2 2a1=0,即 an= 2an-1(n > 2),所以數(shù)列an是以 1 為首項，2 為公 比的等比數(shù)列，所以 an = 2n 1(n N*).答案：2n 1(n N*

28、)10. (2018遼寧五校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=3且當(dāng)n>2時，2an=Sn Sn -1,則an的通項公式 an =.解析：當(dāng) n>2 時，由2% = & Sn 1 可得 2(Sn Sn 1)= Sn Sn-1 ,一 E ，即三Sn 1 Sn 2Sn Sn 1=1,數(shù)列是首項為3，公差為一2的等差數(shù)列，, £ = 3+ (-2)(n- 1)= 5 63n, 又 a1 = 3,anWxX=一菖一,an 2SnSn 1 2 5 3n 53(n 1) (5-3n1(8- 3n j3, n= 1,n>2.an= 18(5-3n18-3n j3,

29、 n = 1答案：18(5-3n 8- 3n j11 . （2018廣州調(diào)研）已知數(shù)列 an滿足a1=1, an + 1=a2+an,用x表示不超過X的最大整數(shù)，則”'=解析：因為an+i = a2+an,所以=an+11=工an(an + 1 ) an1an+ 11 _ 1anan + 1于是 1 + 1 +1f1_l% CL_1 . +1 111 _ 1a1 + 1a2+1a2 017+1Q1a2，02a3，2 017 a2 018/ a1a2 018.因為 a1=1, a2=2>1, a3=6>1,，可知(0,1),則工一e(0,1), a2 018a1 a2 018

30、 一 11 1所以=0.a a2 018-答案：012. 已知數(shù)列an滿足a1=40,且nan+1 (n+1)an = 2n2 + 2n,則an取最小值時n的 值為.解析：由 nan+1 (n+ 1)an= 2n2+2n = 2n(n+1),兩邊同時除以n(n+1),得型一郎=2, n+1 n所以數(shù)列an是首項為40、公差為2的等差數(shù)列，所以 ann= 40+(n 1)X2= 2n-42,所以 an=2n2-42n,對于二次函數(shù) f(x)= 2x2- 42x,b 42在x= 一 2a= 一10.5時，f(x)取得最小值，因為n取正整數(shù)，且10和11至IJ 10.5的距離相等，所以n取10或11

31、時，an取得最小值.答案：10或11三、解答題13. (2018棗莊模擬)已知方程anx2-an+1x+ 1=0(an>0)有兩個根 方、%，a1 = 1,且滿足(1 ；)。1)= 1 2、其中 nC N*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若 bn=lOg2(an+ 1), Cn = anbn,求數(shù)列5的前 n 項和 Tn.an+ 1方+露=c an解析：(1)由已知可得，(1On比一ano(n印=1- 2n,整理得，an+1 an=2n,其中 nCN*.an= (an an-1)+ (an 1 an 2)+ + (a3 a2)+ (a2 a1)+ a1 = 2n 1+ 2n 2+ 2、+ 2 +n1 = " "T(2)由(1)知，bn=log2(2n-1 + 1)=n,cn= n(2n- 1)= n 2n n.，Tn =