1、第十八講 平面應力狀態分析圖解法 湖南理工學院曾紀杰一一 應力圓應力圓2222sincos)(xyxyx222cossinxyx2222sincosxyxyx(1)(2)對對(1) (2)(1) (2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用式兩邊平方，將兩式相加，并利用12222cossin消去消去 和和 ，得，得2sin2cos222222xyxyx)()(3)rxyyxr222)(),(02yxxyr),( 0a 比照解析幾何的曲線方程比照解析幾何的曲線方程 是一個圓心在是一個圓心在(a.0),(a.0),半徑為半徑為r r的圓的圓，222ryax )(222222xyxyx)()(則則 是個應力

2、圓的方程是個應力圓的方程應力圓是個信息源應力圓是個信息源( (從力學觀點分析）從力學觀點分析）（1 1）若已知一個應力單元體兩個互相垂直面上的）若已知一個應力單元體兩個互相垂直面上的應力就一定可以作一個圓，圓周上的各點坐標值，應力就一定可以作一個圓，圓周上的各點坐標值，就是該單元體任意斜截面就是該單元體任意斜截面 上的應力。上的應力。（2 2）平面應力狀態下任意斜截面）平面應力狀態下任意斜截面 上的應力相上的應力相互制約在圓周上變化。互制約在圓周上變化。 在在- -坐標系中，標定與微元坐標系中，標定與微元a a、d d面上面上 應力對應應力對應的點的點a a和和d d 連連adad交交 軸于軸

3、于c c點，點，c c即為圓心，即為圓心，cdcd為為應應力圓半徑。力圓半徑。 yyxada( x , x)d( y , y)cr xy 2應力圓的畫法應力圓的畫法xyx222)(x點面對應點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著微元某應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向一方向面面上的正應力和切應力上的正應力和切應力幾種對應關系幾種對應關系 yyxxcaa),(aa轉向對應轉向對應半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應二倍角對應半徑轉過的角度是方向面旋轉角度的兩倍。半徑轉過的角度是方向面旋轉角度的兩倍。 adn dxa2b(y ,y) oca(x

4、 ,x) yybxax yybxax x xad odacxyy45x245245bebe二.應力圓的應用 o a (0, )d(0,- )a adbec245245 45o be45平面應力狀態下求任意截面上的應力（證明平面應力狀態下求任意截面上的應力（證明p215p215）點面相對應，首先找基準。點面相對應，首先找基準。轉向要相同，夾角兩倍整。轉向要相同，夾角兩倍整。 yyxxn),(e),(xx),(yye2 x x y y oc2 0ada ad主平面：主平面： = 0,= 0,與應力圓上和橫軸交點對應的面與應力圓上和橫軸交點對應的面1a1b平面應力狀態下主平面、主應力及主方向平面應力

5、狀態下主平面、主應力及主方向 x x y ya ad主應力的確定主應力的確定 oc2oad1a1b1oa10cac 2yxxyyx22)2( 1ob10cbc 2yxxyyx22)2(平面應力狀態下主平面、主應力及主方向平面應力狀態下主平面、主應力及主方向主應力排序：主應力排序： oc2 pad12 o13 o23 xy x y yxa ad oc2 oad o( x , xy) 主方向的確定主方向的確定22yxxxytg負號表示從主應力的正方向負號表示從主應力的正方向 到到x x軸的正方向為軸的正方向為順時轉向順時轉向g對應應力圓上的最高點對應應力圓上的最高點的面上切應力最大，稱為的面上切應

6、力最大，稱為“ “ 面內最大切應力面內最大切應力”。 max 224212xyyx 面內最大剪應力面內最大剪應力 oc2 oad1a1b 例題例題1:1: 試用應力圓法計算圖示單元體試用應力圓法計算圖示單元體e-fe-f截面上的應力。圖中截面上的應力。圖中應力的單位為應力的單位為mpampa。4 . 42 . 2n030ef oadcmpa2 . 5030mpa8 . 003006040mpa30mpa60 例題例題2 2 一點處平面應力狀態如圖所示。已知一點處平面應力狀態如圖所示。已知 ,30,60mpax.30mpaxy試求試求（1 1） 斜面上的應力；斜面上的應力；（2 2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3 3）繪出主應力單元體。）繪出主應力單元體。,40mpaya ad用應力圓解法用應力圓解法40mpa30mpa60 o )30,60(b)30,40(acd60) 3 .58,02. 9(mpa3 .681mpa3 .483feo2)0,10(mpar31.58)23030()2)40(60(226 . 022yxxyptg48.15p解：