1、典型時間函數典型時間函數拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換 系統的數學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系統的數學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系。經典控制理論的系。經典控制理論的：時域法、頻域法。：時域法、頻域法。2. 數學模型與傳遞函數 頻域分析法是經典控制理論的核心，被廣泛采用，該方頻域分析法是經典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運用系統的開環頻率特性分析閉環響應。法間接地運用系統的開環頻率特性分析閉環響應。復數和復變函數復數和復變函數 復數復數 （有一個實部（有一個實部 和一個虛部和一個虛部 ， 和和 均為實數）均為實數） 兩個復數相等：當且僅當它們的

2、實部和虛部分別相等。兩個復數相等：當且僅當它們的實部和虛部分別相等。 一個復數為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。一個復數為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。 2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換1j稱為稱為 對于復數對于復數 ：以：以為橫坐標為橫坐標(實軸實軸)、 為縱坐標為縱坐標(虛軸虛軸)所構成所構成的平面稱為復平面或的平面稱為復平面或 平面。復數平面。復數 可在復平面可在復平面 中用中用點點()表示：一個復數對應于復平面上的一個點。表示：一個復數對應于復平面上的一個點。 2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o復平面復平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2 復數

3、復數 可以用從原點指向點可以用從原點指向點()的向量表示。的向量表示。 向量的長度稱為復數的模：向量的長度稱為復數的模： 2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量與向量與軸的夾角軸的夾角稱稱為復數為復數 的復角：的復角：)/arctan( 根據復平面的圖示可得：根據復平面的圖示可得：，2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：歐拉公式：sinjcosje：jres 以復數以復數為自變量構成的函數為自變量構成的函數稱為復變函數：稱為復變函數： ：分別為復變函數的實部和虛

4、部。分別為復變函數的實部和虛部。2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數(a) 當當時，時，則，則稱為稱為的的 ； 通常，在線性控制系統中，復變函數通常，在線性控制系統中，復變函數是復數是復數 的單值的單值函數。即：對應于函數。即：對應于 的一個給定值，的一個給定值，就有一個唯一確定的就有一個唯一確定的值與之相對應。值與之相對應。)()()(jipszsksG 當復變函數表示成當復變函數表示成(b) 當當時，時，則，則稱為稱為的的 。當當時，求復變函數時，求復變函數 的實部的實部 和虛部和虛部 。2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數復變函數的實部復變函數的實部122u復變函數的虛部復變函數

5、的虛部2v： 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優點是能拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量 的乘積，將時的乘積，將時間表示的微分方程，變成以間表示的微分方程，變成以 表示的代數方程。表示的代數方程。2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0d)()()(tetftfLsFst復變量復變量原函數原函數象函數象函數拉氏變換符號拉氏變換符號：在一定條件下，把實數域中的實變函數：在一定條件下，把實數域中的實變函數 f(t) 變變換到復數域內與之等價的復變函數換到復數域內

6、與之等價的復變函數 F(s) 。 設有時間函數設有時間函數 f(t)，當，當 t a的所有復數的所有復數s (Res表示表示s的實部的實部)都都使積分式絕對收斂，故使積分式絕對收斂，故Res a是拉普拉斯變換的定義域，是拉普拉斯變換的定義域， a稱稱為收斂坐標。為收斂坐標。：M、a為實常數。為實常數。典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數定義：單位階躍函數定義：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0 單位脈沖函數定義：單位脈沖函數定義：2.2.3

7、 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換1d)(tt且：且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL 單位速度函數定義：單位速度函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst 指數函數表達式：指數函數表達式：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換atetf)(式中：式中：a是常數。是常數。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0 正弦信號函數定義：正弦信號函

8、數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,sin00)(ttttf由歐拉公式，正弦函數表達為：由歐拉公式，正弦函數表達為：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相減兩式相減：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s- 余弦信號函數定義：余弦信號函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,cos00)(ttttf由歐拉公式，余弦函數表達為：由歐拉公式，余弦函數表達為：tjtj21cos-eettt

9、esinjcostjtte-sinjcostj兩式相加兩式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s)=Lf(t)11 (單位階躍函數單位階躍函數)1s2 (t) (單位脈沖函數單位脈沖函數)13K (常數常數)Ks4t (單位斜坡函數單位斜坡函數)1s22.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s

10、) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 22.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) =

11、 Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序