1、2020年浙江省初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題有 10小題，每小題 4 分，共 40分.請(qǐng)選出每小題中一個(gè)最符合題意的選 項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分）1. 如果向東走 記為 ，則向西走 可記為（ ）A. B. C. D.【 答案】 C 【解析】【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答【解答】如果向東走 2m時(shí)，記作 +2m，那么向西走 3m應(yīng)記作 -3m. 故選【點(diǎn)評(píng)】考查了相反意義的量，相反意義的量用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示2. 綠水青山就是金山銀山， 為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境， 浙江省 2017 年清理河湖庫(kù)塘淤泥約 116000000 方，數(shù)字

2、 116000000 用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為 a×10n 的形式，其中 1|a| < 10， n為整數(shù)確定 n 的值時(shí)， 要看把原數(shù)變成 a 時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位， n 的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1 時(shí)，n 是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值< 1 時(shí)， n 是負(fù)數(shù)【解答】解：將 116000000 用科學(xué)記數(shù)法表示為： 故選 B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n 的形式，其中 1|a| < 10，n 為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定

3、 a 的值以及 n 的值3. 有 6 個(gè)相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（ ）【答案】 D【解析】試題分析：根據(jù)主視圖是從正面看得到的圖形，可得答案 解：從正面看第一層三個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，右邊一個(gè)小正方形 故選： C考點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的三視圖4. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則朝上一面的數(shù)字為 2 的概率是（ ）A. B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】直接得出的個(gè)數(shù)，再利用概率公式求出答案 【解答】一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3， 4，5，6，投擲一次，朝上一面的數(shù)字是的概率為：

4、故選 【點(diǎn)評(píng)】考查概率的計(jì)算，明確概率的意義是解題的關(guān)鍵，概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)的比 .5. 下面是一位同學(xué)做的四道題： . 其中做對(duì)的一道題的序號(hào)是（ ）A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法以及積的乘方進(jìn)行選擇即可【解答】 .故錯(cuò)誤 . . 故錯(cuò)誤 . . 正確 . 故錯(cuò)誤 .故選 C. 【點(diǎn)評(píng)】考查完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法以及積的乘方，熟記它們的運(yùn)算法則是解 題的關(guān)鍵 .6. 如圖，一個(gè)函數(shù)的圖象由射線(xiàn) 、線(xiàn)段 、射線(xiàn) 組成，其中點(diǎn) ， ， ， ，則此 函數(shù)（ ）A. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大B. 當(dāng)時(shí)

5、，隨的增大而減小C. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大D. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】 A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可 . 【解答】觀察圖象可知：A. 當(dāng) 時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)， 隨 的增大而增大，正確 .B. 當(dāng) 時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)， 隨 的增大而減小 , 故錯(cuò)誤 .C. 當(dāng)時(shí)， 隨 的增大而減小 , 當(dāng)時(shí)， 隨 的增大而增大，故錯(cuò)誤D. 當(dāng)時(shí)， 隨 的增大而減小 , 當(dāng)時(shí)， 隨 的增大而增大，故錯(cuò)誤故選 A.點(diǎn)評(píng)】考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讀懂圖象是解題的關(guān)鍵7. 學(xué)校門(mén)口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置 繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 位置，已知 ， ，垂足分，則欄桿 端應(yīng)下降的垂直距離 為（解

6、析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得 AOB COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為. 如圖 2 第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，【解答】 ， ，AOBCOD，即 解得：故選 C.點(diǎn)評(píng)】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵8. 利用如圖 1 的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別 .某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2 是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案， ， ， ，那么可以轉(zhuǎn)換為該黑色小正方形表示 1，白色小正方形表示 0. 將第一行數(shù)字從左到右依次記為序號(hào)為 ，表示該生為 5 班學(xué)生 . 表示 6 班學(xué)生的識(shí)別圖案是(B.答案】 BC.D.解析】【分析】根據(jù)

7、班級(jí)序號(hào)的計(jì)算方法一一進(jìn)行計(jì)算即可解答】 A. 第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，0, 序號(hào)為，表示該生為10 班學(xué)生 .B. 第一行數(shù)字從左到右依次為0，1， 0，序號(hào)為，表示該生為 6 班學(xué)生.C. 第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號(hào)為，表示該生為 9 班學(xué)生 .D. 第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，1，序號(hào)為，表示該生為 7 班學(xué)生 .故選 B.【點(diǎn)評(píng)】屬于新定義題目，讀懂題目中班級(jí)序號(hào)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵 .9. 若拋物線(xiàn) 與 軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，稱(chēng)此拋物線(xiàn)為定弦拋物線(xiàn) . 已知某定弦拋物線(xiàn)的對(duì) 稱(chēng)軸為直線(xiàn) ，將此拋物線(xiàn)向左平移 2 個(gè)單位，再向下平移 3 個(gè)單

8、位，得到的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn) 與 軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，求得拋物線(xiàn)與軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為 用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式， 根據(jù)平移規(guī)律求得平移后的拋物線(xiàn)解析式， 再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入進(jìn)行驗(yàn)證即可 .【解答】拋物線(xiàn) 與 軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，可知拋物線(xiàn) 與 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為代入得：解得：拋物線(xiàn)的方程為： 將此拋物線(xiàn)向左平移 2 個(gè)單位，再向下平移 3 個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)為：即當(dāng) 時(shí)，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn) .故選 B.【點(diǎn)評(píng)】考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，以及平移規(guī)律. 掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

9、析式是解題的關(guān)鍵 .10. 某班要在一面墻上同時(shí)展示數(shù)張形狀、大小均相同的矩形繪畫(huà)作品，將這些作品排成一個(gè)矩形（ 作品不完全重合 ） ，現(xiàn)需要在每張作品的四個(gè)角落都釘上圖釘，如果作品有角落相鄰，那么相鄰的角落共享一枚圖 釘（例如，用9枚圖釘將 4張作品釘在墻上， 如圖） ，若有 34枚圖釘可供選用， 則最多可以展示繪畫(huà)作品 （ ）A. 16 張 B. 18 張 C. 20 張 D. 21 張答案】 D 【解析】【分析】 每張作品都要釘在墻上， 要用 4 個(gè)圖釘， 相鄰的可以用同一個(gè)圖釘釘住兩個(gè)角或者四個(gè)角， 相鄰的越多，用的圖釘越少 , 把這些作品擺成長(zhǎng)方形，使四周的最少 .【解答】 A. 最

10、少需要圖釘 枚 .B. 最少需要圖釘枚 .C. 最少需要圖釘枚 .D. 最少需要圖釘枚 . 還剩余枚圖釘 .故選 D.【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生的空間想象能力以及動(dòng)手操作能力，通過(guò)這道題使學(xué)生掌握空間想象能力和動(dòng)手能力， 并且讓學(xué)生能夠獨(dú)立完成類(lèi)似問(wèn)題的解決 .二、填空題(本大題有 6 小題，每小題 5 分，共 30分)11. 因式分解： 【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方差公式直接進(jìn)行因式分解即可 .【解答】原式故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法 .12. 我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本算法統(tǒng)宗一書(shū)中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，對(duì)折索子 來(lái)量竿，卻比竿子

11、短一托 .如果 1 托為 5尺，那么索長(zhǎng)為 尺，竿子長(zhǎng)為 尺【答案】 (1). 20 (2). 15【解析】【分析】設(shè)索長(zhǎng)為 尺，竿子長(zhǎng)為 尺根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程組求解即可 . 【解答】設(shè)索長(zhǎng)為 尺，竿子長(zhǎng)為 尺根據(jù)題意得：故答案為： 20,15.【點(diǎn)評(píng)】考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系 .13. 如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為 20 米的圓形草坪， ， 是圓上的點(diǎn)， 為圓心， ，從 到 只 有路 ，一部分市民為走“捷徑”，踩壞了花草，走出了一條小路 . 通過(guò)計(jì)算可知，這些市民其實(shí)僅僅解析】【分析】過(guò) O作 OCAB 于 C，分別計(jì)算出弦 AB的長(zhǎng)和弧 AB的長(zhǎng)即可求

12、解 解答】過(guò) O作 OCAB 于 C，如圖，AC=BC，又弧 AB的長(zhǎng) =故答案為： 15.【點(diǎn)評(píng)】考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，垂徑定理的應(yīng)用，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵 .，則 的度數(shù)14. 等腰三角形 中，頂角 為 ，點(diǎn) 在以 為圓心， 長(zhǎng)為半徑的圓上，且 為【答案】 或 【解析】【分析】畫(huà)出示意圖，分兩種情況進(jìn)行討論即可 .解答】如圖：分兩種情況進(jìn)行討論易證 ，同理： ，故答案為： 或【點(diǎn)評(píng)】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，注意分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 .15. 過(guò)雙曲線(xiàn) 的動(dòng)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ， 是直線(xiàn) 上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ，過(guò)點(diǎn) 作 軸的平行線(xiàn)交此雙曲線(xiàn)于點(diǎn) . 如果的面積為 8，則

13、 的值是 【答案】 12 或 4解析】【分析】畫(huà)出示意圖，分兩種情況進(jìn)行討論即可解答】 如圖：設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為：點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為： ，代入反比例函數(shù) ，點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為：解得：如圖：設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為：則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為：點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為：，代入反比例函數(shù)，點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為：解得：故答案為： 12 或 4.點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，底面的長(zhǎng)是 ，寬是 ，容16. 實(shí)驗(yàn)室里有一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器，從內(nèi)部量得它的高是，過(guò)頂點(diǎn) 的三條棱器內(nèi)的水深為 . 現(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖的長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊（鐵塊一面平放在容器底面）， ，當(dāng)鐵塊的頂部高出水面時(shí)，

14、 ， 滿(mǎn)足的關(guān)系式是. 根據(jù)鐵塊的頂部高出現(xiàn)在水面解析】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的放置情況可以分兩種情況進(jìn)行討論，列出函數(shù)關(guān)系式 .解答】 當(dāng)長(zhǎng)，寬分別為 ， 的面與容器地面重合時(shí)，根據(jù)鐵塊的頂部高出水面 ，整理得：當(dāng)長(zhǎng)，寬分別為 ， 的面與容器地面重合時(shí)，根據(jù)鐵塊的頂部高出水面整理得：故答案為：或【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)關(guān)系式的建立，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系 .三、解答題（本大題有 8 小題，第 17 20小題每小題 8 分，第 21小題 10分，第 22、23小題每小題 12分， 第 24 小題 14 分，共 80 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17. （ 1）計(jì)算：.（

15、 2）解方程：.【答案】（1） 2；（ 2）， .【解析】【分析】 根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則直接進(jìn)行運(yùn)算即可 .用公式法直接解方程即可 .【解答】（1）原式.（2），【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力以及解一元二次方程，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型解決實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算18. 為了解某地區(qū)機(jī)動(dòng)機(jī)擁有量對(duì)道路通行的影響， 學(xué)校九年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組對(duì) 2010 年 2017 年機(jī)動(dòng)車(chē)擁 有量、車(chē)輛經(jīng)過(guò)人民路路口和學(xué)校門(mén)口的堵車(chē)次數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制成下列統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題：1）寫(xiě)出 2016年機(jī)動(dòng)車(chē)的擁有量， 分別計(jì)

16、算 2010年 2017年在人民路路口和學(xué)校門(mén)口堵車(chē)次數(shù)的平均數(shù)2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合生活實(shí)際，對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)擁有量與人民路路口和學(xué)校門(mén)口堵車(chē)次數(shù)，說(shuō)說(shuō)你的看法【答案】（1）3.40 萬(wàn)輛 .人民路路口的堵車(chē)次數(shù)平均數(shù)為120 次；學(xué)校門(mén)口的堵車(chē)次數(shù)平均數(shù)為 100次；（2）見(jiàn)解析 .【解析】【分析】（ 1）觀察圖象，即可得出寫(xiě)出 2016 年機(jī)動(dòng)車(chē)的擁有量，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算計(jì)算 2010 年 2017 年在人民路路口和學(xué)校門(mén)口堵車(chē)次數(shù)的平均數(shù)即可.（ 2）言之有理即可 .【解答】（1）3.40 萬(wàn)輛 . 人民路路口的堵車(chē)次數(shù)平均數(shù)為 120（次） .學(xué)校門(mén)口的堵車(chē)次數(shù)平均數(shù)為 100（次）

17、 .（2）不唯一，如： 2010 年 2013 年，隨著機(jī)動(dòng)車(chē)擁有量的增加，對(duì)道路的影響加大，年堵車(chē)次數(shù)也增加； 盡管 2017年機(jī)動(dòng)車(chē)擁有量比 2016 年增加，由于進(jìn)行了交通綜合治理，人民路路口堵車(chē)次數(shù)反而降低 . 【點(diǎn)評(píng)】考查了折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖, 根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖得出解題所需的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵19. 一輛汽車(chē)行駛時(shí)的耗油量為 0.1 升/ 千米，如圖是油箱剩余油量 （升）關(guān)于加滿(mǎn)油后已行駛的路程 （千（1）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出汽車(chē)行駛 400 千米時(shí)，油箱內(nèi)的剩余油量，并計(jì)算加滿(mǎn)油時(shí)油箱的油量；（2）求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算該汽車(chē)在剩余油量 5 升時(shí)，已行駛的路程 .

18、【答案】（1）汽車(chē)行駛 400千米，剩余油量 30 升，加滿(mǎn)油時(shí)，油量為 70升；（ 2）已行駛的路程為 650千 米.【解析】【分析】（ 1）觀察圖象，即可得到油箱內(nèi)的剩余油量, 根據(jù)耗油量計(jì)算出加滿(mǎn)油時(shí)油箱的油量；用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再代入進(jìn)行運(yùn)算即可 .【解答】（1）汽車(chē)行駛 400千米，剩余油量 30 升，即加滿(mǎn)油時(shí)，油量為 70 升 .（ 2）設(shè)，把點(diǎn) ， 坐標(biāo)分別代入得 ， ， ，當(dāng) 時(shí)， ，即已行駛的路程為 650 千米 . 【點(diǎn)評(píng)】考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求 函數(shù)解析式 .20. 學(xué)校拓展小組研制了繪圖智能機(jī)

19、器人（如圖1），順次輸入點(diǎn) ， ， 的坐標(biāo)，機(jī)器人能根據(jù)圖 2，繪制圖形 .若圖形是線(xiàn)段，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若圖形是拋物線(xiàn)，求出拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式 . 請(qǐng)根據(jù)以下點(diǎn)的坐 標(biāo)，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度或拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式 .（ 1），.（ 2），.【答案】（1）繪制線(xiàn)段，；（ 2）繪制拋物線(xiàn).【解析】【分析】（ 1）， ， ，繪制線(xiàn)段 ， .（ 2）， ， ， ，繪制拋物線(xiàn)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可 .【解答】（1）， ， ，繪制線(xiàn)段 ， .（ 2）， ， ， ，繪制拋物線(xiàn)，設(shè)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，即 .【點(diǎn)評(píng)】屬于新定義問(wèn)題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是弄懂程序框圖 .21. 如圖 1，窗

20、框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接 .圖 3是圖 2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖， 滑軌 安裝在窗 框上，托懸臂 安裝在窗扇上，交點(diǎn) 處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn) ， ， 始終在一直線(xiàn)上，延 長(zhǎng) 交 于點(diǎn) . 已知， ， .，參考數(shù)據(jù)： ， ）解析】【分析】（ 1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得出 CA DE，根據(jù)二直線(xiàn)平行，同位角相等得出答案；解答】（1），四邊形 是平行四邊形，2）如圖，過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，.22. 數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：1）窗扇完全打開(kāi)，張角，求此時(shí)窗扇與窗框的夾角 的度數(shù) .2）窗扇部分打開(kāi)，張角，

21、求此時(shí)點(diǎn) ， 之間的距離（精確到 ）答案】（1）；（2）2）如圖，過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可在 中，點(diǎn)評(píng)】考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，注意輔助線(xiàn)的作法例 1 等腰三角形 中，求 的度數(shù) . （答案： ）例 2 等腰三角形中，求 的度數(shù) . （答案：或 或 ）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形中，求 的度數(shù) .（ 1）請(qǐng)你解答以上的變式題 .（2）解（ 1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到 的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同 . 如果在等腰三角形 中，設(shè) ，當(dāng) 有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索 的取值范圍 .【答案】（1）或 或

22、；（ 2）當(dāng)且 ， 有三個(gè)不同的度數(shù) .【解析】【分析】（ 1）分 為頂角和 為底角，兩種情況進(jìn)行討論 .（ 2）分當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論 .【解答】（1）當(dāng) 為頂角，則，當(dāng) 為底角，若 為頂角，則，若 為底角，則 ， 或 或 .（2）分兩種情況： 當(dāng) 時(shí)， 只能為頂角， 的度數(shù)只有一個(gè) . 當(dāng) 時(shí)，若 為頂角，則若 為底角，則或，當(dāng) 且 且 ，即 時(shí)，有三個(gè)不同的度數(shù) . 綜上，當(dāng) 且 ， 有三個(gè)不同的度數(shù) . 【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 . 23. 小敏思考解決如下問(wèn)題： 原題：如圖 1，點(diǎn) ， 分別在菱形 的邊 ， 上， ，求證： .（ 1）小

23、敏進(jìn)行探索，若將點(diǎn) ， 的位置特殊化：把 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)得到 ，使 ，點(diǎn) ， 分別 在邊 ， 上，如圖 2，此時(shí)她證明了. 請(qǐng)你證明 .（ 2）受以上（ 1）的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線(xiàn)：如圖3，作， ，垂足分別為 ， . 請(qǐng)你繼續(xù)完成原題的證明 .（ 3）如果在原題中添加條件：， ，如圖 1. 請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母） ，并直接給出答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分） .【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （ 2）證明見(jiàn)解析； （3）見(jiàn)解析 【解析】【分析】（ 1）證明，即可求證 .（ 2）如圖 2，即可求證 .（ 3）不唯一 .【解答】（1）如圖 1，在菱形 中，（ 2）如圖 2，由（

24、 1）， ，.（3）不唯一，舉例如下：層次 1：求 的度數(shù) . 答案：. 分別求， 的度數(shù) . 答案：. 求菱形的周長(zhǎng) . 答案： 16. 分別求 ， ， 的長(zhǎng) . 答案： 4， 4， 4.層次 2：求 的值 . 答案： 4.求 的值.答案： 4. 求 的值. 答案： .層次 3：求四邊形的面積 . 答案： .求 與的面積和 . 答案： .求四邊形周長(zhǎng)的最小值 . 答案： . 求 中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng) . 答案： . 【點(diǎn)評(píng)】考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵 .24. 如圖，公交車(chē)行駛在筆直的公路上，這條路上有 ， ， ， 四個(gè)站點(diǎn)，每相鄰兩站之間的距離為 5 千 米，從 站開(kāi)往 站的車(chē)稱(chēng)為上行車(chē)，從 站開(kāi)往 站的車(chē)稱(chēng)為下行車(chē) . 第一班上行車(chē)、下行車(chē)分別從站、站同時(shí)發(fā)車(chē)，相向而行，且以后上行車(chē)、下行車(chē)每隔 10 分鐘分別在 ， 站同時(shí)發(fā)一班車(chē)，乘客只能到站點(diǎn) 上、下車(chē)（上、下車(chē)的時(shí)間忽略不計(jì)） ，上行車(chē)、下行車(chē)的速度均為 30 千米/ 小時(shí).（ 1）問(wèn)第一班上行車(chē)到 站、第一班下行車(chē)到 站分別用時(shí)多少？（ 2）若第一班上行車(chē)行駛時(shí)間為 小時(shí)，第一班上行車(chē)與第一班下行車(chē)之間的距離為 千米，求 與 的函數(shù)關(guān) 系式 .（ 3）一乘客前往 站