1、南雅中學1819學年高一上第三次月考數學試(解析版)一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)1. 設全集為 = n|nWN*且n V9,集合5 = 1,3, 5, T = 3,6,則Cy(S U T)等于 ()A. 0B. 2,4, 7, 8 C. 1,3, 5, 6 D. 2,4, 6, 8【答案】B【解析】解：全集為i/ = n|nG/Vn<9 = l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合8 = 1,3, 5, T = 3,6,SU71 = 1,3, 5, 6,Cu(S U T) = 2,4, 7, 8.故選：B.用列舉法寫出全集U,根據并集與補集的左義運算即可.本題考

2、査了集合的泄義與運算問題，是基礎題.2. 下列函數中是偶函數，且在(0, +00)上單調遞增的是()A. y = VxB. y = x3C. y = x2D. y = log2|x|【答案】D【解析】解：根據題意，依次分析選項：對于A, y = ，其泄義域為0,+8),不是偶函數，不符合題意：對于B, y = x3,為奇函數，不符合題意；對于C, y = -x2,是二次函數，是偶函數，在(0, +QO)上單調遞減，不符合題意；對于D, y = log2|x| = log<0,是偶函數，且在(0,+8)上單調遞增，符合題 意：故選：D.根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可

3、得答案.本題考査函數的單調性與奇偶性的判立，關鍵是掌握常見函數的奇偶性與單調性，屬于 基礎題.3. 設矩形邊長分別為“、b(a>巧，將其按兩種方式卷成髙為"和b的圓柱(無底而)， 其體積分別為吆和,，則吆與,的大小關系是()A.冬 >B.匕=%,C.Va<VbD.不確定【答案】C【解析】解：當高為“時，底而周長為，則底而半徑為：三第1頁，共12頁故 Va = n'2'a = h'bt同理可得當髙為b時，47T a> b臨 V %故選：C.根據圓柱的幾何特征，分別計算乙和,根據不等式的基本性質，可得答案. 本題考査的知識點是旋轉體，熟練掌

4、握圓柱的幾何特征，是解答的關鍵.4. 三個數0.9933, log37T, log20.8的大小關系為（）A. log37r < 0.993-3 < log20.8B. log20.8 < log37r < 0.993,3C. log20.8 < 0.993,3 < log37FD. 0.993-3 < log20.8Z < log37T【答案】C【解析】解： 0 < 0.993-3 < 0.99° = 1,log37T > log33 = 1»log20.8 < log2l = 0./. log20.

5、8 < 0.993-3 < log37T.故選：c.利用指數函數和對數函數的運算性質，逐一比較三個數與0和1的關系即可得到答案. 本題考査了對數值的大小比較，考查了不等關系與不等式，考査了指數函數和對數函數 的性質，是基礎題.5. 已知加，”是不同的直線，a, /?是不重合的平而，給出下而四個命題： 若a/?, m u a, nu/?,貝ljm/n 若加，nua, m/, n/? 則a/? 若加，"是兩條異面直線,若m/a, m/B，n/a, n/?,則a/? 如果m丄a, n/a,那么m丄n上而命題中，正確的序號為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：對于，若aB，

6、mu a, nu/?,貝ljm/n或異而，故錯； 對于，若加，nca, m/?, n/?且相交，貝Ija/?,故錯； 對于，若用,“是兩條異面宜線，若m/a, n/a,在平而a內一泄存在兩條平行加、 “的相交直線，由而面平行的判定可知a/?，故正確：故對于，如果m丄a,加垂直平面a內及與a平行的直線，故m丄n,故正確： 選：C.，若a/?, m u a, n c /?,則m/n或異而：,若 m, nca, m/B，n/B且加、"相交,則a/fit,若加，"是兩條異面直線，若m/a, n/a,在平而a內一泄存在兩條平行加、"的 相交直線，由而而平行的判定可知a/?：

7、第2頁，共12貞第3頁，共12貞，如果m丄a, 垂直平而內及與a平行的直線，故m丄n； 本題考査了空間線線，線而，面而的位置關系，屬于基礎題.6. 函數fO) =+ log2(x + 3)的定義域是()A. (-3,2)D. 3,2A. (-3,2)B. -3,2)C. (-3,2【答案】A【解析】解：由% + ； > 0,解得3VXV2.函數/'(x) =+ log2(x + 3)的立義域是(3,2).故選：A.由分母中根式內部的代數式對于0,對數式的真數大于0聯立不等式組求解. 本題考査函數的定義域及其求法，是基礎的計算題.7. 在矩形 ABCD 中，AB = 1, BC =

8、近，P4 丄ffii ABCD, PA = 1,則 PC 與而 ABCD 所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A【解析】解：連接AC，如圖所示：因為P4丄Hn ABCD,所以"AC是PC與而ABCD所成的角，即為所求角.因為在矩形ABCD中，AB = 1, BC =忑、所以AC = VI，又因為PA = 1,所以 tanPAC = 4 =V3 3所以PC與而ABCD所成的角"AC是30。.故選：A.連接AC,由“丄ifHABCD,可得乙P4C是PC與而ABCD所成的角，即為所求角，再結 合題中條件與三

9、角形的有關知識即可得到答案.此題主要考查線而角，空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平 面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題.& 如圖正方體ABCD -的棱長為2,線段厲久上有兩個動點E、F,且EF=|,則下列結論中錯誤的是() AAC丄BEB. EF平而 ABCDC. 三棱錐4 一 8EF的體積為左值D力EF的面積與 3EF的而積相等【答案】D【解析】解：連結BD,則AC丄平面BBED. BDHB4, AC丄BE, EF平而ABCD,三棱錐A-BEF的體積為泄值, 從而A, B, C正確.點A、B到直線

10、巧久的距離不相等，力EF的面積與 8EF的而枳不相等，故D錯誤.故選：D連結BD 則4C丄平而BB21D, BD/B.D,，點A、B到直線厲®的距離不相等，由此 能求出結果.本題考査命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養.9. 已知21g(x - 2y) = lgx + lgy» 貝點的值為()A. 1B.4C.1 或4D 上或 4【答案】B【解析】解： 21g(x 一 2y) = lg(x - 2刃 2 = lg(xy), x2 + 4y2 4xy = xy(% y)(x 4y) = 0% = y (舍)或咒=4yx一 =4y故選：B.根據對數

11、的運算法則，21g(x 一 2y) = lg(x 一 2y)2 = lg(xy)» 可知:疋 + 4y2 - 4xy = xy, 即可得答案.本題主要考查對數的運算性質.10. 已知泄義域為/?的函數/'(X)在區間(8,5)上單調遞減，對任意實數r,都有/'(5 +t)=/(5-t),那么下列式子一定成立的是()A. f(-l) < 7(9) <7(13)c. 7(9) <7(-1) <f(13)B. f(13) <f(9)< 7(-1)D f(13) < f (-1) < f(9)【答案】C【解析】解： /(5 +

12、t) = f(5 -t) .函數心)的 圖象關于x = 5對稱.-./(-!)=/(II),函數/'(X)在區間(8,5)上單調遞減，- /(X)在(5,+8)上為單調遞增.-./(9)</(11)</(13),即/(9) </(-1)< f(13).故選：C.由/(5 + t) =/(5-t),知函數/(%)的圖象關于x = 5對稱，然后利用在區間(一8,5)上 單調遞減，可得函數在R上的單調性，從而可得函數值的大小關系.本題考査了函數的單調性及單調區間，同時考查了函數圖象的對稱性，注意數形結合, 是個基礎題.在三棱柱ABC -A1B1C1中，側棱垂直于底而，

13、乙ACB = 90°, MAC = 30°, BC = 1, 且三棱柱ABC-AlBlCl的體積為3,貝IJ三棱柱MC -力辺C的外接球的表而積為( )A. 16nB 12/rC 8nD. 4n【答案】A【解析】 解:乙ACB = 90°,乙BAC = 30。, BC = 1, AC = >/3 AA±丄底而ABC.三棱柱朋C 一 4丄3疋丄的體積V = ；XlxV3-CCx = 3,得CC = 2齒，三棱柱朋C -金比©的外接球半徑= 1J1 + (73)2 +(23)2 = 2， S 左=47T X 22 = 167T 故選:A.根據

14、棱柱的體積公式求得棱柱的側棱長，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球 的球心為上、下底而直角三角形斜邊中點連線的中點0,從而求得外接球的半徑/?，代 入球的表面積公式計算.本題考査了求三棱柱的外接球的表而積，利用三棱柱的結構特征求得外接球的半徑是關 鍵.12.已知函數f(%)=卩°殆劉° V %,若f(a) = f (b) = f(c)且a V b V c,則ab + (1 一 log3x/x > V3bc + ac的取值范圍為()A. (1,4)B. (1,5)C. (47)D. (5,7)【答案】D【解析】解：取BD中點G,連結EG, FG, 則由三角形中位線

15、泄理得EG/CD, EG = CD,FG/AB, FG = AB, EG =FG,/”，；、EF與AB所成角為aEFG,/佔與CD所成的角為50。，/-Z.Z-EGF = 50°或厶EGF = 130°,B，匚G / °EF與AB所成角的大小為25?；?5。./故答案為：25?；?5。.取BD中點G,連結EG, FG,推導出EG=FG,cEF與AB所成角為Z.EFG,由仙與CD所成的角為50。，得乙EGF= 50?；蛞褽GF = 130。，由此能求岀EF與AB所成角的大小.本題考査異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、而而間的位置關系等基礎知 識，考査運算求

16、解能力，考査數形結合思想，是中檔題.15. 圓錐的軸截而是一個邊長為(2 + V6)的正三角形，則它的內接正方體的體積為【答案】34近- 27V3【解析】解：圓錐的軸截而是一個邊長為(2 + V6)的正三角形，圓錐的底面半徑= 苧，高為h = J(2 +佝2 _ (學)2 = 3豎溝,設它的內接正方體的棱長為心2解得：a = 2/2 y/3它的內接正方體的體積c? = 3472-273故答案為：34逅一 27逅.根據已知求出內接正方體的棱，代入正方體體積公式，可得答案.題考査圓柱的側而積和內切球的體積的求法，考査異而直線所成角的余弦值的求法，考 査空間中線線、線面、而而間的位置關系等基礎知識，

17、考査運算求解能力，是中檔題.16. 已知在矩形ABCD中，AB = 2屆 BC = a, P4丄平而ABCD,若在BC上存在點0滿足PQ丄DQ,則“的最小值是.【答案】4>/2第7頁，共12貞D【解析】解：假設在BC邊長存在點Q,使得PQ丄DQ, 連結AQ.在矩形ABCD中，AB = 2晶 BC = a, P力丄平而 ABCD、PA丄DQ. PQ丄DQ,DQ丄平而PA0,DQ丄力Q,乙AQD = 90°, 由題意得力8(?心QCD、 設BQ = x, /.x(a-x) = 8,即%2 - ax + 8 = 0(*),當厶=十一32»0時，”)方程有解，當ah 4運時，

18、在BC上存在點Q滿足PQ丄DQ,故“的最小值為4返.故答案為：4近.連結AQ.推導出P4丄DQ,由PQ丄DQ,得DQ丄平而PAQ,從而DQ丄AQ.由題意得 ABQf QCD,設BQ = %,貝收(a-%) = 8,當a N 4返時，在BC上存在點Q滿足PQ丄 DQ,由此能求岀“的最小值.本題考査線段長的最小值的求法，考查空間中線線、線而、而而間的位置關系等基礎知 識，考査運算求解能力，考査數形結合思想，是中檔題.三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)17. 已知全集U = R,集= x|3 <x<9fB = (yy = 4xfx >lfC = (yy =lo卑兀 EA9

19、d = X|X2 +ax + b<0.求(C)nB：(2)若C = D,求a + b值.【答案】解：(l)TXNl：4X > 4：. B = yy> 4； CuA = x|x < 3' sic% > 9： (CiM) CB = xx > 9；(2) xEA= x|3 <x < 9： logi9 < logix < logi3.3332 < logix < 1.3 C = 2# 1; D = xx2 + ax+ b< 0,且C = D； -2, 一1是方程x2 + ax+ b = 0的兩實根：根據韋達泄理得(_

20、2黃二$= b： a = 3, b = 2 ：a + b = 5【解析】容易得出B = yy>4,然后進行交集、補集的運算即可：(2)可以得出C= -2,-1,由C = D可知，一2, 1是方程疋+ a% + b = 0的兩個實數第8貞，共12頁根，根拯韋達左理即可求出從而求出a + b值.考查指數函數、對數函數的單調性，函數單調性左義，以及交集、補集的運算，集合相 等的概念，一元二次不等式的解法.韋達定理.18. 如圖，四棱錐P 力BCD中，PA丄底而ABCD, PA = 2點 BC = CD= 2, MCB = mCD = ?.(I)求證：BD丄平而PAC：(H)若側棱PC上的點F滿

21、足PF = 7FC,求三棱錐 P-BDF的體積.【答案】解：()BC = CD = 2, BCD為等腰三角形，再由= £BD丄4C再由P4丄底面ABCD.可得P4丄3D.而P力CAC = A.故BD丄平而PAC.(n ) .側棱PC上的點F滿足PF = 7FC,三棱錐F - BCD的髙是三棱錐P - 8CD的高的右.A BCD的而積S辭=沁CD sinBCD = 7X2 X2 Xsiny =齒.三棱錐P BDF的體積卩=Vp_bcd 一 Vf_bcd =；SbcdP4 一Sg卩力=|x ? Sbcd P4=V3 X 2/3 =【解析】(I)由等腰三角形的性質可得BD丄力C,再由“丄底

22、面ABCD,可得R4丄3D. 再利用直線和平而垂直的判定泄理證明BD丄平而PAC.(U)由側棱PC上的點F滿足PF = 7FC,可得三棱錐F-BCD的高是三棱.P -BCD的高的右求出 BCD的而積S“cq，再根據三棱錐卩一 BDF的體積卩=VP_BCD 一 VF_BCD =7 " BCD ' T ' BCD ' Z '' 運算求得結果.3oo本題主要考查直線和平而垂直的判定立理的應用，用間接解法求棱錐的體積，屬于中檔 題.19. 某商品每件成本為80元，當每件售價為100元時，每天可以售出100件.若售價降 低10%,售岀商品的數疑就增加16

23、%.第9頁，共12頁(1) 試建立該商品一天的營業額y(元)關于x的函數關系式；(2) 若要求該商品一天的營業額至少為10260 7C,且又不能虧本，求x的取值范圍. 【答案】解：所求函數關系式= 100(1 - 0.1%) - 100(1 + 0.16x)(x > 0) .(3>)又售價不能低于成本價，所以100(1-掃)一 80 N0,解得0<xS2. y = 100(1 一 0.1%) 100(1 + 0.16%),定義域為0,2(不寫定義域不扣分)/八枷 吉渤古木繪才如 POO(1-O.1X).1OO(1+O.1)>1O26O(1)(2)依已甩、是4刁"

24、;式1： 100(1-0.1%) > 80(6 O解(1)得：|<x<y.(8)解(2)得：x <2.(9分)綜上所述，<x<2,即x的取值范圍是百,2.(10分) 說明：無不等式(2)共扣(2分).【解析】(1)根據營業額=售價X售出商品數量，列出解析式，再利用售價不能低于成本 價，列岀不等式，求出X的取值范圍：(2)根據題意，列岀不等式，求解即可.本題考查利用函數知識解決應用題及解不等式的有關知識新高考中的重要的理念就是 把數學知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關鍵.20. 如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底而ABCD為平行四邊形，點M, N

25、, Q分別是PA, BD, PD的中點.(1) 求證：MN/平面PCD；(2) 求證：平而MNQ/平而PBC.【答案】證明：由題意：四棱錐P-ABCD的底ABCD 為平行四邊形，點M, N, 0分別是PA, BD, PD的中點， N是AC的中點， MN/PC,又 PC u平而PCD, MN 平面PCD、MN/平面PCD.(2)由(1),知MN/PC,M, 0分別是PA, PD的中點， MQ/AD/BC,又 BC u平而 PBC、PC u平而 PBC, BC CPC = C, MQ u平而 MNQ, MNu平面 MNQ, MQ CiMN = M, 平而MNQ平而PBC.【解析】(1)推導岀四棱P

26、-ABCD的底而ABCD為平行四邊形，MN/PC.由此能證 明MN/平面PCD.推導岀MN/PC, MQ/AD/BC,由此能證明平面MNQ/平而PBC.本題考査線面平行、而而平行的證明，考查空間中線線、線而、而而間的位置關系等基 礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.21. 已知函數g(x) = ax2 - 2ax + 1 + b(a > 0)在區間2,3上有最大值4和最小值1 設(1) 求“、的值；(2) 若不等式f (2J -k-2x> 0在x G -2,-1±恒成立，求實數k的取值范用. 【答案】解：g(x) = ax2 2ax + 1 + b(a > 0)開口向上，對稱軸兀=1,在區間2,3上時增函數.9(兀)=%2 - 2% + 1(2)由可得g(%) = x2-2x + 1. 那么：/(2*) = 2* + -2.不等 f(2x)-k-2x>0. 即 2% + * 2 » k 2X,因x G -2,-1,故t G 2,4, 可得：t2 - 2t + 1 > fc.故得*的取值范圍是(一8,1.【解析】(1)根據二次函數的性質求解在在區間2,3±有