1、2004年4月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（課程代碼2199）第一部分 選擇題 （共30分）一、單項(xiàng)選擇題（更多科目請?jiān)L問 題2分，共30分）1.復(fù)數(shù)方程z=2+e，6為實(shí)參數(shù),owe<2K）所表示的曲線為（）A.直線C.橢圓2.已知arez?=X,則 argz=( 4B.圓周D.拋物線）A.B.C.3.A.C.4.A.C.712Re(cosi)=()e + e-12_©t +e2設(shè) f(z)=( 1 -z)e- 則 fr(z)=(l-z)e-z(2-z)e-zD.B.D.)B.D.e-e-12dT °(z- l)e-z(z-2)e-z5 .

2、設(shè) e，= 1 + VJi,則 Imz 為()A. In2C. 2k n ,k=0,±lB.D.271T+2k 7i .k=0, ±1 36 .設(shè)C為正向圓周lzl=l,則工=dz=（）A.兀iB.2兀iC. 0D. 17.設(shè)C為正向圓周lz-11=1,則積分，吆二衛(wèi)2dz等于（）k （Z-l-B. 7兀iA. 5TriC. 10mD. 20兀i8.設(shè)C為正向圓周1&1=1,則當(dāng)IzM時(shí)，f(z)=f“一-=()2tuJc(&_2)(&_z)3A. 0B. 12一 2C. -D.=(z-2)3(z-2)39.設(shè) f(z);z(z-2)4*00的羅朗級

3、數(shù)展開式為cnzn-x則它的收斂圓環(huán)域?yàn)椋ˋ. 0<lzl<2 或 2<lzl<+ xC. O<lz-2k+ooB. 0<lz2k2 或 2<lz-2k+ooD. 0<lz-2l<210 .耗級數(shù)£±3-z2在點(diǎn)z=L處( £n(n + l)4A.發(fā)散c.絕對收斂11 . z=0是一的（ （ez-D2A.解析點(diǎn)c. 一階極點(diǎn)B.條件收斂D.不絕對收斂B.本性奇點(diǎn)D.二階極點(diǎn)12.設(shè)z=x+iy,則w=L將圓周x2+y2=2映射為（A.通過w=0的直線C.圓周lw-21=213. Res一上2i=(z + 2i)

4、2A. 2iC. -114. z?sinl在z=0點(diǎn)的留數(shù)為( zB.圓周lwl=-D.圓周lwl=2B. -2iD. 1)A. -1B. -12C. -1D. 0615. w=iz將z平面上的第一象限保角映射為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限第二部分 非選擇題（更多科目請?jiān)L問http:zkJkaotLcnZzlkao.htm）（共70分） 三、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。16 .在復(fù)數(shù)域內(nèi)，方程cosz=0的全部解為 o17 .設(shè)C為自點(diǎn)zi=-i至點(diǎn)Z2=0的直線段，則zdz =.18 .

5、設(shè)片乂+1丫，Re(iez)=。19 .若C為正向圓周歷一31=2,則，_L(|z=.Jcz + i20 . f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，6(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，C為D內(nèi)一條正向閉曲線，則1 S) dz=.三、計(jì)算題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)21 .求出復(fù)數(shù)z=(T + /)4的模和輻角.22 .設(shè)z=x+iy,滿足Re(z2+3)=4,求x與y的關(guān)系式.23 .設(shè)u=ax3-3xy2, v=3x2y-y z=x+iy,問當(dāng)a取何值時(shí)，v是u的共筑調(diào)和函數(shù)，并求出 以u為實(shí)部的解析函數(shù)f(z).24 .求積分修f至Eiz的值，其中C為從-2到2的上半圓周. Jc z25

6、 .設(shè)C為正向圓周lzl=R(Rxl),計(jì)算積分1=26 .求哥級數(shù)f = zn的收斂半徑.n-1 1127 .將函數(shù)f(z)=Lr在區(qū)域2<lz-il<+x內(nèi)展開成為羅朗級數(shù).1 + z228 .討論f(z)=M，的孤立奇點(diǎn).若為極點(diǎn),求極點(diǎn)的階數(shù). z四、綜合題(下列3個(gè)小題中，29題必做，30、31題中只選做一題。每小題10分，共20 分)29 .利用留數(shù)計(jì)算積分1=Xsx dx .J-(X- +1)230 .求下列保角映射：(1)把Z平面上的區(qū)域D:lzk2, lz+ll>l映射成Wi平而上的區(qū)域Di：0<Re例<1 ；(2)把Wi平而上的區(qū)域Di映射成W

7、2平面的區(qū)域D2：O<Im0 <花： 一(3)把W?平面上的區(qū)域Du映射成W平面的上半平而：Im<y >0；(4)綜合以上三步求出把Z平而上的區(qū)域D映射成W平面的上半平面的保角映射.31 . (1)求sint的拉氏變換g回叫;(2)設(shè)F(p)=gy,若函數(shù)y(t)可導(dǎo),而且y(0)=0,求,團(tuán)y'(t)：(3)利用拉氏變換解常微分方程的初值問題yz + y = Sint y(0)= o2004年上半年高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試自考考資:http:/zk. Tel:變函數(shù)與積分變換試題答案及評分參考（課程代碼2199）1.B2.A3

8、.A4.D6.B7.C8.A9.A11.D12.B13.D14.C一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題,每小題2分,共30分）5. D10. C15. B二、填空題（本大題共5小題.每小遨2分，共10分）1 6.1一子 + k* k=0, ±1, ±2,17. 20. 0。分）（3 分）18 . - e*siny19. 0三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）2L 解：2;（4的 J163F =16e%擷1修I課i$?qq ：184 微儲公眾號：ika°a （5分）（輻角可相差27r的整數(shù)倍）22 .解：設(shè)則 Re （?+3） =-/+3 （3 分）由 R

9、。（?+3） =4 得？-/=1 （5 分）23 .解：由C-H條件，4=誓 d x d y即 3aJ -3/=3-3y2 （2 分）比較系數(shù)得3a =3, a = 1. （4分）/ （z） RU+加 n （爐-3，）+i （3/y-/） （5 分）或/（2）=/.（可相差一個(gè)純虛常數(shù)）24 .解：設(shè)了二2浮（1分）/ = £& : i 4cos8 + r4sind _ 3 jd6（3 分）（5分）25 .解：當(dāng)R<1時(shí)，被積函數(shù)=名3在lz|<H上解析.門考考資：http:zk. ikaoti. cn Tel：而/=£T不山=

10、o已分）上（1）當(dāng)R>1時(shí)/=夕,片他=W O" |（4分）Jc （z - 1）Z! ' si=m （z + 2） e' *1= 3eT7z （5 分）2. * i < 26.解：A = lim I x （2 分）-I c I - 2“3= 2 1im （4）3=2 （4 分）«=y = y （5 分）人 乙恥霰點(diǎn)的總癡短而嗑h公眾號:i kao t i（3 分）1*( -l)”(2i)“二 (Z-i)，石(z-i)，=A(Z7* 2<ii<+8(5分)2s.解：z=0是/(z)唯一的孤立奇點(diǎn)(1分)situ在Z=0點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式

11、為$inx=-z3z <(2 分)則/(z)在0<lzl< + 8內(nèi)的羅朗級數(shù)展開式為f(z) =sinz = / _卷+ ，44 分)于是工=0是/(?)的二階極點(diǎn).(5分)自考考資：http:zk. ikaoti. cn Tel:、綜合題（下列3個(gè)小題中，29施必做，30、31題中只選做一題，兩題都做者按得分離瞥緲蒯嶂種桃,共源和 Tel: 1803954720029.解：令小 r尸詈不也+ i C 泮%石=廣廠3面J 3 + 1）” 人。（丁+1尸（/1）？（2 分）在上半平面內(nèi)J（z） H日有一個(gè)二階極點(diǎn)工二£ 于是/i =2m Res/Xz）eiJ=2加- Kme ,7I 皿Z + B>1o e"-1=2m -2p ="e故，所求積分為/=Re/.（5分）（7 分）（9分）（10 分）30.解：（1）（3 分）2 + 1（2）DtD2tw2 - 2iriwl（6 分）（3）4上半平面:“=/，（9分）（4）6*上半平面:w =流（10分）（10 分）若用圖示解題，可按下圖給分：31 .解：（1）夕sim=七（3 分）（2）93（。）=pF（p） -y（0） =p產(chǎn)（p）（6 分）（3）對微分方程的初值問題作拉氏變換pF（p） +F（p）=蕓7P +1.即3="rUr5 分）再