1、練習訓練 最全“將軍飲馬”類問題(類型大全+分類匯編)1.如圖，直線 l 和 l 的異側兩點 A、B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB 最小。2.如圖，直線 l 和 l 的同側兩點 A、B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB 最小。3.如圖，點 P 是MON 內的一點，分別在 OM，ON 上作點 A，B。使PAB 的周長最小 4.如圖，點 P，Q 為MON 內的兩點，分別在 OM，ON 上作點 A，B。使四邊形 PAQB 的 周長最小。5.如圖，點 A 是MON 外的一點，在射線 OM 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 ON 的距離之和最小6. .如圖，點 A 是MON

2、 內的一點，在射線 OM 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 ON 的距離之和最小二、常見題型三角形問題1如圖，在等邊ABC 中，AB = 6，ADBC，E 是 AC 上的一點，M 是 AD 上的一點，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值AMEH解：點 C 關于直線 AD 的對稱點是點 B，AEM連接 BE，交 AD 于點 M，則 ME+MD 最小，過點 B 作 BHAC 于點 H，則 EH = AH AE = 3 2 = 1，BH =BC2 - CH2 =62 - 32 = 3 3在直角BHE 中，BE =BH2 + HE2B=(3 3)2 + 12 = 2 7DCBDC2如圖，在

3、銳角ABC 中，AB = 4 2，BAC45°，BAC 的平分線交 BC 于點 D，M、N 分別是 AD 和 AB 上的動點，則 BM+MN 的最小值是解：作點 B 關于 AD 的對稱點 B'，過點 B'作 B'EAB 于點 E，交 AD 于點 F， 則線段 B'E 的長就是 BM的最小值 在等腰 RtAEB'中， 根據勾股定理得到，B'E = 4CB'M FDAN EB3如圖，ABC 中，AB=2，BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一點 M、N，使 BM+MN 的值最小，則這個最小值CM 30° 解：

4、作 AB 關于 AC 的對稱線段 AB'，過點 B'作 B'NAB，垂足為 N，交 AC 于點 M， 則 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的長就是 MB+MN 的最小值則B'AN = 2BAC= 60°，AB' = AB = 2，ANB'= 90°，B' = 30°。AN = 1在直角AB'N 中，根據勾股定理 B'N =3AN2BM30°B'CAN2B正方形問題1如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8，M 在 DC 上，丐 DM2，N

5、是 AC 上的一動點，DNMN 的最小值為_。N即在直線 AC 上求一點 N，使 DN+MN 最小AD解：故作點 D 關于 AC 的對稱點 B，連接 BM，交 AC 于點 N。則 DNBNM線段的長就是 DN的最小值 在直角中， 則故 DN的最小值是BC2如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12，ABE 是等邊三角形，點 E 在正方形 ABCD 內，在對角線 AC 上有一點 P，使 PDPE 的和最小，則這個最小值為（）EPA2 3B2 6C3D 6AD解：即在 AC 上求一點 P，使 PE+PD 的值最小點 D 關于直線 AC 的對稱點是點 B，連接 BE 交 AC 于點 P，則 BE =

6、 PB+PE = PD+PE，BE 的長就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3BC3在邊長為 2 的正方形 ABCD 中，點 Q 為 BC 邊的中點，點 P 為對角線 AC 上一動點，連接 PB、PQ，則PBQ 周長的最小值為_（結果不取近似值）. 解：在 AC 上求一點 P，使 PB+PQ 的值最小點 B 關于 AC 的對稱點是 D 點，連接 DQ，與 AC 的交點 P 就是滿足條件的點 DQ = PD+PQ = PB+PQ故 DQ 的長就是 PB+PQ 的最小值在直角CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根據勾股定理，得，DQ =5A DPB QC4如圖，四邊形 ABC

7、D 是正方形， AB = 10cm，E 為邊 BC 的中點，P 為 BD 上的一個動點，求 PC+PE 的最小值；解：連接 AE，交 BD 于點 P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值A D在直角ABE 中，求得 AE 的長為 5 5B EC矩形問題1如圖，若四邊形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 為邊 BC 上的一個動點，P 為 BD 上的一個動點，求 PC+ PD 的最小值；C'HP解：作點 C 關于 BD 的對稱點 C'，過點 C'，作 C'BBC，交 BD 于點 P，則 C'E 就是 PE+PC 的最小值20AD

8、直角BCD 中，CH = 5直角BCH 中，BH = 8 5BCC'的面積為：BH×CH = 160 C'E×BC = 2×160則 CE' = 16BEC菱形問題1如圖，若四邊形 ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45°，E 為邊 BC 上的一個動點，P 為 BD 上的一個動點，求 PC+PE的最小值；解：點 C 關于 BD 的對稱點是點 A， 過點 A 作 AEBC，交 BD 于點 P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰EAB 中，求得 AE 的長為 5 2ABP D EC梯形問題1已知直角梯形 ABCD

9、中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點 P 在 BC 上秱動，則當 PA+PD 取最小值時，APD 中邊 AP 上的高為（）1717A、 2B、 4C、 8 17D、3AD171717解：作點 A 關于 BC 的對稱點 A'，連接 A'D，交 BC 于點 P則 A'D = PA'+PD = PA+PDA'D 的長就是 PA+ PD 的最小值 SAPD = 4在直角ABP 中，AB = 4，BP = 1 根據勾股定理，得 AP = 17BPC4AP 上的高為：2× =178 1717A'圓的有關問題1已知O 的直徑 CD 為

10、 4，AOD 的度數為 60°，點 B 是AD的中點，在直徑 CD 上找一點 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值解：在直線 CD 上作一點 P，使 PA+ PB 的值最小A作點 A 關于 CD 的對稱點 A'，連接 A'B，B交 CD 于點 P，則 A'B 的長就是 PA+ PB 的最小值連接 OA'，OB，則A'OB=90°，CDOA' = OB = 4OP根據勾股定理，A'B = 4 2A'2如圖，MN 是半徑為 1 的O 的直徑，點 A 在O 上，AMN30°，B 為 AN

11、 弧的中點，P 是直徑 MN 上一動點，則PAPB 的最小值為()A 2 2B2C 1 D 2A解：MN 上求一點 P，使 PA+PB 的值最小作點 A 關于 MN 的對稱點 A'，連接 A'B，交 MN 于點 P，B則點 P 就是所要作的點A'B 的長就是 PA+PB 的最小值MN OP連接 OA'、OB，則OA'B 是等腰直角三角形 A'B =2A'一次函數問題20一次函數 y=kx+b 的圖象與 x、y 軸分別交于點 A（2，0），B（0，4）（1）求該函數的解析式；（2）O 為坐標原點，設 OA、AB 的中點分別為 C、D，P 為

12、 OB 上一動點，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值時 P 點 坐標yBDPxC'OCA解：(1)由題意得：0 = 2x+b，4 = b 解得 k = -2，b= 4， y = -2x+4(2)作點 C 關于 y 軸的對稱點 C'，連接 C'D，交 y 軸于點 P 則 C'D = C'P+PD = PC+PDC'D 就是 PC+PD 的最小值連接 CD，則 CD = 2，CC' = 2在直角C'CD 中，根據勾股定理 C'D = 2 2 求直線 C'D 的解析式，由 C'(-1，0)，D(1，2)，有

13、0 = -k+b，2 = k+b 解得 k = 1，b = 1， y = x+1當 x = 0 時，y =1，則 P(0，1)二次函數問題1如圖，在直角坐標系中，點 A 的坐標為（-2，0），連結 0A，將線段 OA 繞原點 O 順時針旋轉 120。，得到線段 OB.（1）求點 B 的坐標；（2）求經過 A、O、B 三點的拋物線的解析式；yBCxAO（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點 C，使BOC 周長最小？若存在求出點 C 坐標；若不存在，請說明理由. 解：(1)B(1， 3 )(2) y =32 3x2 +x33(3)點 O 關于對稱軸的對稱點是點 A，則連接 AB， 交對稱軸于點

14、 C，則BOC 的周長最小3y =x2 + 32 33x ，當 x=-1 時，y =333C(-1，) 32如圖，在直角坐標系中，A，B，C 的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過 A，B，C 三點的拋物線的對稱軸為直 線 l，D 為直線 l 上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當 AD+CD 最小時點 D 的坐標； (3)以點 A 為圓心，以 AD 為半徑作圓 A；解：（1）證明：當 AD+CD 最小時，直線 BD 與圓 A 相切；寫出直線 BD 與圓 A 相切時，點 D 的另一個坐標。（2）連接 BC，交直線 l 于點 D，則 DA+DC = DB+DC = BC，

15、 BC 的長就是 AD+DC 的最小值BC：y = -x + 3則直線 BC 與直線 x = 1 的交點 D(1，2)，yCDAOBx3拋物線 y = ax2+bx+c(a0)對稱軸為 x = -1，與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C，其中 A(-3，0)、C(0，-2)（1）求這條拋物線的函數表達式（2）已知在對稱軸上存在一點 P，使得PBC 的周長最小請求出點 P 的坐標（3）若點 D 是線段 OC 上的一個動點（不與點 O、點 C 重合）過點 D 作 DEPC 交 x 軸于點 E，連接 PD、PE設 CD 的長為 m，PDE 的面積為 S求 S 與 m 之間的函數關系式y

16、OxABPC試說明 S 是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由bïì2a = 1 (1)由題意得í9a-3b+c = 02解得 a =34，b =3，c = - 2îïc = -2拋物線的解析式為 y =2x2 + 34x - 23yEOxABDPC(2)點 B 關于對稱軸的對稱點是點 A，連接 AC 交對稱軸于點 P，則PBC 的周長最小 設直線 AC 的解析式為 y = kx +b，A(-3，0)，C(0，-2)，則ïì0 = -3k + bíîï-2 = b2解得 k = -3，b = -22直線 AC 的解析式為 y = -34x 24把 x = -1 代入得 y = -3，P(-1，-) 3(3)S 存在最大值OEDEPC，= OAODOE，即=OC32-m2OE = 3 -