1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16 世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內(nèi)容，應用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達定理，求代數(shù)式的值；利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等韋達定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學思想方法【例題求解】【 例1 】已 知、是 方 程x 2x10的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2(22

2、)的值為思路點撥所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為( 例【例 2】如果 a 、 b 都是質(zhì)數(shù)，且 a 2 13am 0 ， b 2 13b m0 ，那么 ba 的值為 ( )abA 123B 125或2C 125D 123或 222222222思路點撥可將兩個等式相減， 得到a、 的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同， 可視、 為方程x213 x m0ba b的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應用創(chuàng)造了條件注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于x1 、 x2 的對稱式，這類問題可通過變形用x1 + x2 、 x1 x2 表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當

3、組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對稱式【例 3 】 已知關(guān)于 x 的方程： x2(m 2)xm204(1) 求證：無論 m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根(2)若這個方程的兩個實根x1 、 x2 滿足 x2x12 ，求 m的值及 相應的 x1 、 x 2 思路點撥對于 (2) ，先判定x1 、 x2 的符號特征，并從分類討論入手【例 4】 設(shè) x1 、 x2 是方程 2x24mx2m23m20 的兩個實數(shù)根，當m為何值時 ， x12x22 有最小值 ?并求出這個最小值思 路點撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用 m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下 ( 0) 進

4、行的注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式0 這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性【例 5】 已知：四邊形 ABCD中， AB CD，且 AB、 CD的長是關(guān)于 x 的方程 x 22mx ( m1) 270 的兩個24根(1) 當 m 2 和 m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由(2) 若 M、N分別是 AD、BC的中點，線段 MN分別交 AC、BD于點 P，Q，PQ 1，且 AB<CD，求 AB、CD的長(2003年哈爾濱市中考題)思路點撥對于 (2) ，易建立含AC、 BD及 m的

5、關(guān)系式，要求出m值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)” ( 方程 ) 轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性學歷訓練1 (1)已知 x1 和 x2 為一元二次方程2 x22x3m 1 0的兩個實根，并x1和 x2滿足不等式x1 x21 ，x1x 24則實數(shù) m 取值范圍是(2)已 知 關(guān)于 x 的 一 元 二 次方 程82(m1)x m7 0有 兩個 負 數(shù) 根， 那 么 實 數(shù) m 的取 值 范 圍x是2已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式3222 的值為3

6、CD是 Rt ABC斜邊上的高線，AD、 BD是方程 x 26 x 40 的兩根，則 ABC的面積是4設(shè) x1 、 x2 是關(guān)于 x 的方程 x 2px q0 的兩根， x1 +1、 x2 +1 是關(guān)于 x 的方程 x2qx p0 的兩根，則 p 、 q 的值分別等于 ( )A 1，-3 B 1，3 C -1 ，-3D -1，35在 Rt ABC中， C 90°， a、 b、c 分別是 A、 B、 C 的對邊， a、b 是關(guān)于 x的方程 x27x c 7 0 的兩根，那么 AB邊上的 中線長是 ( )A 3B 5C5 D2226方程 x 2px 1997 0恰有兩個正整數(shù)根x1 、

7、x2，則p的值是 ()(x11)( x2 1)A 1 B -l C 1D 1227 若關(guān)于x 的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：x1 ( x11) x 2 ( x21) ( x1 1)( x 2 1) ，判斷(a b) 24 是否正確 ?8已知關(guān)于 x 的方程 x2(2k3)x k 210 (1) 當 k 是為何值時，此方程有實數(shù)根；(2) 若此方程的兩個實數(shù)根 x、 x滿足： x2x 3，求 k 的值1219已知方程x2pxq0 的兩根均為正整數(shù)，且pq28 ，那 么這個方程兩根為10已知、是方程 x2x10 的兩個根，則43的值為11 ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程2 x212

8、xm 0 的兩根，則 m的取值范圍是12兩個質(zhì)數(shù) a 、 b 恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則ba 的值是 ( )abA 9413B 9413C 9413D 9413194999713設(shè)方程有一個正根x1 ，一個負根 x2 ，則以 x1、 x2為根的一元二次方程為 ( )A x23x m2 0B x 23x m 2 0Cx21420D x21 4mx 2 0mx14如果方程(x1)(x22x)0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m 的取值范圍是m( )A 0 m 1 B m 3C 3m1D 3 m 144415如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且 AB、 BC(AB>BC)的長是關(guān)于 x 的方程的兩個根(1) 求 rn 的值；（ 2）若 E 是 AB 上的一點， CF DE于 F，求 BE為何值時， CEF的面積是 CED的面積的 1 ，請說明理由316設(shè) m是不小于1 的實數(shù)，使得關(guān)于 x 的方程工x22(m2)xm23m30 有兩個不相等的實數(shù)根x1 、x2 (1) 若 x1 2x2 26 ，求 m的值(2) 求 mx1 2 mx2 2 的最大值1 x1 1 x22217如圖，已知在 ABC中， ACB=90°，過 C 作 CDAB于 D，且 AD m，BD=n，AC：BC 2： 1；又關(guān)于x 的方程 1 x 22(n