1、高中數學“反正弦函數” PCK分析研究上海市松江二中 奚志鴻 摘要：調查研究顯示反正弦函數是教師和學生公認的難點概念。本文運用PCK理論，對反正弦函數的作用與學習價值、知識本質及知識間的聯系、學習經驗和困難分析、教學方法和策略分析進行了逐一闡述，并給出了可供參考的一個教學案例。關鍵詞：PCK；難點概念；反正弦函數1986年,時任美國教育研究會主席的斯坦福大學教授舒爾曼的研究提出，教師除了應具備學科知識與一般教學法知識外,必須在教學過程中發展另一種新的知識（Pedagogical Content Knowledge）,即PCK,其定義為“教師個人教學經驗、教師學科內容知識和教育學的特殊整合”，他

2、還把PCK描述為“教師最有用的知識代表形式”。 Shulman, L. S. Those who understand： knowledge growth in teachingJ.Educational Researcher, 1986, 15(2): 4-14.在此基礎上,2005年格林斯曼提出了PCK包含的框架： （1）一門學科的統領性觀念, 即關于學科本質的知識和最有學習價值的知識 ，（2）知識間的聯系 ,（3）學生在學習某一知識過程中容易誤解和混淆的問題，（4）如何將特定的知識呈現給不同學生的策略。舒爾曼認為PCK最能區分學科專家與教學專家、高成效教師與低成效教師間的差別。“PCK

3、的實質是一種轉化的智能，是教師將學科知識轉化成學生有效獲得的一種學科教學智能，即教師根據課程理念、目標，進行系統思考， 把學科知識有效地轉化成教學任務，又由教學任務有效地轉化為學生實際的獲得。第一次轉化主要體現在教師的教學設計中，表現為對課程目標、內容，學生認知基礎、風格、個性的把握，教學方法、策略的選擇；第二次轉化主要體現于課堂教學中，表現為知識的呈現，課堂的決策、監控、補救， 媒體的使用，教學的指導、評價，生成問題的應對，師生關系。”上海市青浦實驗研究所.小學數學新手和專家教師PCK比較的個案研究 青浦實驗的新世紀行動之四J上海教育科研，2007（10）:50在高中的概念中有很多概念學生始

4、終不能掌握好，還有的概念連教師都覺得難以傳授好，可以稱它們為難點概念，所以運用PCK理論分析難點概念是一種有效途徑。在數學教育學報2012年10月第21卷第5期“高中數學十大難點概念的調查研究”一文中對上海市松江區全體在職85位高中數學教師的問卷調查表明，在教師認為的“高中數學十大難點概念”的排序中，“反正弦函數”列最難教的數學概念中的第八位，巧的是，對松江區抽樣的410名學生進行問卷調查中發現“反正弦函數”也列最難教的數學概念中的第八位。 阮曉明，王琴. 高中數學十大難點概念的調查研究J.數學教育學報,2012,21(5):29雖然這是不完全統計，但是這樣的巧合在一定程度上說明“反正弦函數”

5、已成為教師和學生公認的難點概念，而PCK能有效地轉化突破知識的難點，所以對反正弦函數進行PCK分析很有必要。我們嘗試著用PCK分析的方法突破反正弦函數這個教學難點，對反正弦函數教學時所涉及的知識地位與學習價值、知識本質及知識間的聯系、學生學習過程中的經驗和困難、教學的方法和策略等進行整體分析。1 反正弦函數的作用與學習價值上海市中小學數學課程標準在“反三角函數”這個學習內容的學習要求及活動建議有“理解反正弦函數、反余弦函數和反正切函數的概念，知道它們的基本性質和圖像。會用計算器求反三角函數的值和用反三角函數的值表示角的大小。”和“介紹三角學發展的概況”上海市教育委員會編.上海市中小學數學課程標

6、準（試行稿）.上海：上海世紀出版集團上海教育出版社，2004（10）第2版：77。反正弦函數是反三角函數之一，反三角函數與其它重要知識間的聯系也要求對反正弦函數要進行透徹分析。首先，反三角函數是基本初等函數之一,它建立在函數的理論基礎上,涉及到集合、映射、函數及其性質等眾多理論,故反三角函數的研究應在函數理論的指導下進行。其次反三角函數是三角函數的反函數, 故反三角函數必遵循反函數的理論。為此先要對反函數的概念必須有清晰的認識和理解,基本要素包括定義域、值域,對應法則等互相對應,從而課題的引入、概念的產生應互相對照,互相印證。 反正弦函數本身的重要性也要求我們對其有必要進行透徹分析。首先，反正

7、弦函數是反三角函數單元學習的重點和難點。本節課與反函數的基本概念、性質有著緊密的聯系，通過對這一節課的學習，既可以讓學生掌握反正弦函數的概念，又可使學生加深對反函數概念的理解，而且為學習其它反三角函數奠定了基礎，起到承上啟下的重要作用，數學學科教學基本要求中提及“類比反正弦函數的研究過程能對反余弦函數與反正切函數作研究”。其次，反正弦函數作為基本初等函數之一，對后繼課程的學習有著重要的作用！如最簡三角方程通解的表達, 立體幾何中角的確定, 直線傾斜角的確定等。特別是在反三角函數中，反正弦函數有著模本的作用，這一節內容的順利解決對后一節的反余弦和反正切函數奠定了扎實的學習方法。2 反正弦函數的知

8、識本質及知識間的聯系2.1 反正弦函數定義的剖析2.1.1 定義的文本解讀上海教育出版社2008版教材在高一年級第二學期第108頁中給反正弦函數所下的定義為：函數的反函數叫做反正弦函數，記作。 習慣上用表示自變量，用表示函數，所以反正弦函數寫成的形式，其中定義域為，值域為。人民教育出版社2000版教材中沒有反正弦函數定義，但在高中數學必修2第73頁中在第4.11 節“已知三角函數值求角”中有這樣一段話：“在閉區間上，符合條件的角，叫做實數的反正弦，記做，即，其中，且。”2.1.2 幾個相關概念溯源 正弦函數上海2008版教材在高一年級第二學期第81頁中的描述為：對于任意一個實數都

9、對應著唯一的角（在弧度制中其弧度數等于這個實數），而這個角又對應著唯一確定的正弦值，這樣，對于任意一個實數都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，表示為，叫做正弦函數。 反函數上海2008版版教材在高一年級第二學期第13頁中的描述為：對于函數，設它的定義域為D,值域為A，若對于A中任意一個值，在D中總有唯一的值與它對應，且滿足，這樣得到的關于的函數叫做的反函數，記作。在習慣上，自變量常用表示，而函數用表示，所以把它改寫為。2.1.3 定義的邏輯分析上海版采用了定義方法中最常見的屬加種差的定義法, 作為種概念的反正弦函數的鄰近的屬概念是反函數概念，種差有兩個：正弦函

10、數；正弦函數中自變量的范圍是。從人教版中可以看出人教版已經淡化了反正弦函數，把函數的品種減少了，把反正弦函數的工具作用保留了下來。2.2 反正弦函數概念的表征分析現代認知心理學認為，要更好的進行數學概念教學首先應該了解數學概念是如何在學生頭腦中記載和呈現的，這就是常說的數學概念的表征。鄭毓信、梁貫成(1998年)曾指出:“概念的正確理解無非就是指建立了恰當的心理表征”。數學概念表征的建立是一種個性化的復雜的心理過程，反正弦函數概念在學生頭腦中的記載和呈現方式主要有三種。 一是符號表征：反正弦函數的符號表征為。這是一個與初中所學的幾類函數（一次函數、二次函數、反比例函數）形式上有很大不同的函數解

11、析式，類似于對數函數。二是圖形表征：反正弦函數的圖形表征分為兩種，一種利用它與的互為反函數關系得到反正弦函數的圖像是函數的圖像關于直線對稱的圖像，是一段曲線；另一種是在上一種的基礎上直接記憶圖像（右圖）。三是函數機器表征：將反正弦函數看成是一臺機器，它將內的實數變換為內的角。3 反正弦函數學習經驗和困難分析3.1 反正弦函數學習經驗分析3.1.1概念的發展簡史 因為反正弦函數的重要作用是對角的表示，所以追根溯源離不開三角學，三角學起源于天文、測量、航海等實際需要。三角學的發展階段：（1）遠古10世紀用于測量三角學范圍內的一些問題：如在公元前3000年的古埃及建造金字塔、丈量耕地；公元前600年

12、左右希臘數學家泰勒斯利用相似三角形原理測量金字塔的高；公元前100多年的我國周髀算經中記錄人們用矩測高望遠 。這些測量角的事實就是反三角函數的雛形。（2）11世紀18世紀三角學脫離天文學，獨立成為數學的一個分支，開始出現“三角函數”的定義，為出現“反三角函數”提供了可能。（3）18世紀以后三角學研究范圍擴大，研究三角函數的主要對象，反三角函數也正式產生。三角學曾屬于分析學，現在屬于幾何學，源于角是幾何圖形。其中，正弦函數是最重要也是最古老的一種三角函數。而反三角函數符號的創用說法很多，如有書說1729年丹尼爾（B.Daniel,17001782）采用“As”表示反正弦；1776年瑞士的蘭伯特（

13、J . H.Lambert,1728-1777）用“arc·sin”表示反正弦，后來去掉中間的“· ”便成了“arcsin”沿用下來。又有書說“arcsin”是法國數學家拉格朗日于1772年引進的。還有書說，1813年英國的赫謝爾（W.Herschel,17921891）創用“”，后被英美派采用，我國采用“arcsin”。3.1.2 學生已有的相關經驗 在反正弦函數概念教學之前，教師有必要了解學生在學反正弦函數概念之前已有的知識和經歷。認知理論認為這是影響反正弦函數概念學習最重要的因素。（1）函數概念：反正弦函數本身是一種函數，所以函數概念的掌握與否關系重大。（2）正弦函數

14、：因為反正弦函數是正弦函數的反函數，所以對正弦函數的概念和性質應該掌握。（3）反函數概念和性質：反正弦函數的研究特別是性質基本依賴于先前已學的反函數知識。（4）計算器的使用：學生在學習銳角三角比時對特殊角的三角比值的記憶已經轉為利用計算器驗證。3.2 反正弦函數學習障礙分析數學概念理解障礙，是指學習者在數學概念時不能順利進行描述、說明、表達、推測、想象、比較、判別和初步應用等活動的一種狀態。學生在反正弦函數概念學習中易發生的主要障礙有：（1）引入反正弦函數概念時的障礙事實上，反正弦函數這個名稱就會讓學生產生誤解，當教師一開始問正弦函數有沒有反函數時，有學生會毫不猶豫地回答：“有”，因為他想今天

15、要學的不就是“反”正弦函數嗎。另外一個讓學生如此輕率回答的重要原因是學生對反函數的概念原本就理解得不透徹。（2）理解反正弦函數符號時的障礙在學生的心目中，反函數是用反解的方法求得的，但正弦函數無法用反解的方法求其反函數，只能是規定，而且表示符號又是全新的。（3）反正弦函數與三角函數概念混淆時產生障礙學生易犯的通病，是受定勢思維的負面影響, 正弦函數的圖像已深深地映在學生腦海中，所以把反正弦函數與正弦函數混淆，分不清反三角函數的定義域、 值域以及自變量的取值與反三角函數值的對應關系。忽視、遺忘主值區間的情況十分常見。（4）作反正弦函數圖像時的障礙大部分學生知道利用反函數的性質：互為反函數的兩函數

16、圖像關于直線對稱來作出反正弦函數圖像，但在作的時候會不注意兩函數圖像與直線的相對位置，畫成有三個交點的情況。 4 反正弦函數的教學方法和策略分析4.1“反正弦函數”的知識呈現與教材分析4.1.1課本內容結構體系函數反函數三角函數余弦函數、正切函數正弦函數反正弦函數反正弦函數的運用反余弦函數、反正切函數 4.1.2課本內容具體編排“反正弦函數”上海版教材是安排在高一數學第六章三角函數中，教材(P105-P108)編排是：（1） 復習一個函數有反函數的條件（2） 分析正弦函數沒有反函數（3） 說明正弦函數在有反函數（4） 給出反正弦函數的定義和圖像、性質、恒等式（5） 例1：求反正弦函數的值（3個

17、小題）（6） 例2：用反正弦函數值的形式表示下列各式中的(3個小題)（7） 例3：化簡下列各式(3個小題) (形如)（8） 練習共4題求值（反三角函數值）已知正弦值，求角判斷命題真假求值(形如)（9） 習題A組6題求值（反三角函數值）用計算器求值（反三角函數值）用反正弦函數值的形式表示各式中的求值（形如)求值(形如)應用題B組3題求函數定義域（形如）求值（與反余弦函數的綜合題）證明題（與反余弦函數的綜合題）4.1.3對課本編排的理解 課本在一開始復習反函數的概念，意圖是為說明定義在上的正弦函數不存在反函數作準備；接著說明正弦函數在有反函數，但未說明為何取；之后給出反正弦函數的概念、圖像和性質以

18、及三種例題，課本的知識都是靜態的，其中的隱性知識、隱性問題都沒有呈現。4.2反正弦函數的教學方法與策略知識是靜態的，認識是動態的，學科教學認識是教師對教學法、學科內容、學習特征和學習情境等四個構成因素的綜合理解，總是處于連續的發展過程中，隨著學科教學認識的發展，教師能夠依據他們的理解為學科中的特定內容創造教學策略，幫助學生在既定的情境中構建最有效的理解。（1）針對反正弦函數概念名稱本身的誤導的教學策略上位概念的回憶與強調。盡管課本一開始這里復習了反函數的概念，有的學生對知識的理解是機械的，這就要教師幫助學生再回憶、教師再強調反函數概念，特別是“一一對應”。另外，反函數是實數間的對應關系，而反正

19、弦函數初步理解是實數與角的對應關系，學生可能有點轉不過彎，這就需要教師強調“反正弦函數是實數與角的對應關系”,以后再深化為反正弦函數其實還是實數與實數的對應。（2）針對理解反正弦函數符號時的障礙的教學策略類比已學記號和介紹歷史淵源。“”這個記號與“”一樣都是數學家為了表達方便創造出來的，很多學生一開始會對此莫名其妙，他們會覺得還不如用“”好理解，其實歐美國家采用的就是“”，我們的計算器上也是用了這個記號，事實上這只是代號，用哪一個并不重要，但是因為我國教材采用的是“”，所以我們就以教材為本，尊重教材為先，而且“”其實也是有它的道理的，中是正弦，是什么意思呢？并不是“反”的意思，它是英文單詞，解

20、釋為“圓弧”，圓弧即圓周上的一段，那么圓弧與圓心角有什么關系呢？，在單位圓中，即，所以此時弧即角，角即弧。我們可以將理解作角，所以從字面上理解就是正弦值為所對應的角，因此用記反正弦函數是有道理的，用這樣的數學歷史來解釋，學生也易于理解，易于接受。另一個解決辦法可以聯系舊知識，見4.3教學參考案例。（3）針對反正弦函數與三角函數概念混淆的教學策略設計例題對照。通過設計兩種函數的求值問題，讓學生自己分辨模型。課本的例1中僅求反正弦三角函數值，教師可以在其中插入求正弦值的題，及時讓學生靈活轉換正弦函數值和反正弦函數值。（4）針對作反正弦函數圖像出現的問題的教學策略多媒體輔助和前期教學準備。可以讓學生

21、描多點來作出較為正確的圖像，但是動手描點也有局限性，教師可以采用多媒體輔助示范。這里值得一提的是，的圖像必在直線的下方是在課本的配套練習冊數學練習部分高中一年級第二學期（試用本）的第五章三角比內P32的復習題B組第一題中具體填表已經研究過，在此練習冊的第六章三角函數的P40頁習題6.2的B組第二題也用三角函數證明了。4.3教學參考案例 （1）教學目標：1. 經歷在正弦函數的某個單調區間上建立反三角函數的過程；2. 理解反正弦函數的概念，知道它的圖像與性質；3. 會用反正弦函數的值表示角的大小；4. 在問題解決的過程中滲透數形結合等思想。（2）教學重點：反正弦函數的概念與性質。（3）教學難點：反

22、正弦函數的概念、反正弦的符號、用反正弦函數的值表示角的大小。（4）教學過程：教學過程設計意圖一、 引入提問1、 引例：若，求.2、 變式：若上題中“”改為“”，那么的值是什么？3、 正弦函數有沒有反函數？為什么？ 4、 如何限制正弦函數的定義域，使其存在反函數？5、 為什么選擇這個區間？可以選別的區間嗎？ 此處引例就是一個舊知，學生很容易解答，而變式題對于用慣計算器的學生來說，自然而然使用計算器來解決，當老師提醒：如果要求不能是近似值，而是要精確值呢？學生們都不知怎么辦了，這里就是利用舊知識來引入，目的引起知識需要，激發學生的求知欲。二、 反正弦函數的概念函數，的反函數叫做反正弦函數，記作，它

23、的值域為。（說明1、一個整體的符號， 2、的意義。）師：當我們學習指數函數的反函數的時候,對于，想用的表達式來表示時，當初是怎么寫的？生：師：對，那時我們就是創用了一個記號，它與互為逆運算；現在這個與也是一樣。是一個整體，表示一個角，這個角的正弦值是，而且.師：那么？生：，而且師：這個記號與其逆運算結合在一起感覺是“無效”了，那我們還有沒有學過類似的結論。生：師：上述恒等式都是的特例生：老師，那還有：師：很好，但是有些恒等式要注意恒等范圍，怎樣的角經過正弦運算、再經過反正弦運算最終是本身？生：（經過思考和討論后認定），其中。 例1、（口答）求值：（1） （2） （3）（4） （5） （6） 此處引入時，把對數函數記號插入進來讓學生感覺新記號不可怕，原來它的意義與已經學過的記號是一樣的，這樣從心理上認可了新記號：既然能學好對數記號，這個記號也不難。此處在老師的提示下讓學生聯想有關對數的兩個恒等式，在老師的進一步點撥與小結下，學生還能創造出新的恒等式，學生很有成就感；當然在一番滿足之后老師提出恒等范圍問題，讓學生體會到數學的創造還需數學的嚴謹精神，從而對這一恒等式的注意點印象