1、；高中數(shù)學數(shù)列基本題型及解法例2已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3&

2、#183;2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用例3設數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。解: ()由,得 又,即,得. ()當n>1時, 得所以是首項,公比為的等比數(shù)列.例4、設a1=1,a2=,an+2=an+1

3、-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求數(shù)列bn的通項公式，(2)求數(shù)列nan的前n項的和Sn。解：（I）因故bn是公比為的等比數(shù)列，且 （II）由注意到可得記數(shù)列的前n項和為Tn，則例6數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關數(shù)列與不等式的綜合問題。.常用方法一 觀察法例1：

4、根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項公式為： （2） （3） （4）.觀察各項的特點，關鍵是找出各項與項數(shù)n的關系。 二、定義法例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d

5、2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1當已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。三、      疊加法例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個通項。解 易知 各式相加得一般地，對于型如類的通項公式，只要能進行求和，則宜采用此方法求解。四、疊乘法例4：在數(shù)列中， =1, (n+1

6、)·=n·，求的表達式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以一般地，對于型如=(n)·類的通項公式，當?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法。五、公式法若已知數(shù)列的前項和與的關系，求數(shù)列的通項可用公式 求解。例5：已知下列兩數(shù)列的前n項和sn的公式，求的通項公式。（1）。 （2）解： （1）=3此時，。=3為所求數(shù)列的通項公式。（2），當時 由于不適合于此等式 。 注意要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。 例6. 設數(shù)列的首項為a1=1，前n項和Sn滿足關系求證：數(shù)列是等比數(shù)列。 解析：因為 所以 所以，數(shù)列是

7、等比數(shù)列。六、階差法例7.已知數(shù)列的前項和與的關系是 ，其中b是與n無關的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關系式。解析：首先由公式：得： 利用階差法要注意：遞推公式中某一項的下標與其系數(shù)的指數(shù)的關系，即其和為。七、待定系數(shù)法例8：設數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項公式cn解：設 點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。八、 輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從

8、而利用這個數(shù)列求其通項公式。例9.在數(shù)列中，求。解析：在兩邊減去，得 是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由累加法得= = = 例10.（2003年全國高考題）設為常數(shù)，且（），證明：對任意n1，證明：設， 用代入可得 是公比為，首項為的等比數(shù)列， （），即：型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且p0, p1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.(1)f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k為首項，p為公比的等比數(shù)列。例11：已知數(shù)的遞推關系為，且求通項。即 例12： 已知數(shù)列中且（），求數(shù)列的通項公式。 例13.（07全國卷理21）設數(shù)列的首項（1）

9、求的通項公式；解：（1）由整理得又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，得注：一般地，對遞推關系式an+1=pan+q (p、q為常數(shù)且，p0，p1)可等價地改寫成 則成等比數(shù)列，實際上，這里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)為等比數(shù)列，如f(n)= qn (q為常數(shù)) ，兩邊同除以qn，得，令bn=，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。例14.已知數(shù)列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通項公式。解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= an=(3) f(n)為等差數(shù)列例15.已知已知數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通項公式。解： an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點與難點內(nèi)容，要理解掌握。(4) f(n)為非等差數(shù)列，非