1、;.1第 3 章 恒定磁場 實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內(nèi)部和它周圍的媒質中 ，不僅有恒定電場 ，同時還有不隨時間變化的磁場 ，簡稱 恒定磁場（Static Magnetic Field）。 恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學習本章時，注意類比法的應用。 恒定磁場的知識結構框圖。;.2磁感應強度（B）（畢奧沙伐定律）H 的旋度B 的散度基本方程磁位( )（J=0）m分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算圖3.0 恒定磁場知識結構框圖基本實驗定律 (安培力定律）;.3

2、3.1 磁感應強度3.1.1 安培力定律 1820年, 法國物理學家安培從實驗中總結出電流回路之間的相互作用力的規(guī)律,稱為安培力定律 (Amperes force Law )。 電流 的回路對電流 I 回路的作用力 Fl l2R0RdIId4)(ellF式中真空中的磁導率 70104H/mI3.1.2 畢奧沙伐定律 磁感應強度 電流之間相互作用力通過磁場傳遞。BlellF0lll2RIdRdI4Id 電荷之間相互作用力通過電場傳遞。EeFqRdV41qRV20定義：l2R0RdI4elB磁感應強度單位 T（wb/m2）特斯拉。式中 rr R圖3.1.1 兩載流回路間的相互作用力;.4寫成一般表

3、達式，即l30Id4rrrrlB)(畢奧沙伐定律（Biot - Savart Law ) 2）由畢奧沙伐定律可以導出恒定磁場的基本方程（B 的散度與旋度）。3）對于體分布或面分布的電流，Biot - Savart Law 可寫成 Vd)()(4V30rrrrrJBs30Sd)()(4rrrrrKB例3.1.1 試求有限長直載流導線產(chǎn)生的磁感應強度。解采用圓柱坐標系，取電流Idz，則L2R0RId4elB式中，222zRRdzdzSindzSindReeeeldz)z(I412LL23220BLLLL4I222221210)SinSin(4I21021LL , 當 時，eB2I0圖3.1.2 長

4、直導線的磁場1）適用條件：無限大均勻媒質 ，且電流分布在有限區(qū)域內(nèi)。)(;.5x2/32220 x22220 xl220 xx)xR(2IRR2xRR)xR(4Idlsin)xR(4IBeeeeB解：元電流 Idl 在其軸線上P點產(chǎn)生的磁感應強度為 )(sin2202r0 xR42IdldBr4IddelB)Id(rel 例 3.1.2 真空中有一載流為I，半徑為R的圓形回路，求其軸線上P點的磁感應強度。 圖3.1.4 圓形載流回路軸線上的磁場分布根據(jù)圓環(huán)磁場對 P 點的對稱性，0dBdBdByx sin圖3.1.3 圓形載流回路;.6 由于是無限大電流平面，所以選P點在 y 軸上。根據(jù)對稱性

5、 , 整個面電流所產(chǎn)生的磁感應強度為)(sin)(sin2122212200 xxyxydxyx2KBxeeB 例 3.1.3 圖示一無限大導體平面上有恒定面電流 , 求其所產(chǎn)生的磁感應強度。z0K eK 解：在電流片上取寬度為 的一條無限長線電流，它在空間引起的磁感應強度為sindxK2Id2d0001elBdx0200yKxe0200yKxex2200yxdx2yKe)(x00yxarctg2Ke圖3.1.5 無限大電流片及 B 的分布;.73.2 磁通連續(xù)性原理 安培環(huán)路定律3.2.1 磁通連續(xù)性原理矢量恒等式CAACCA)(所以0 B 表明 B 是無頭無尾的閉合線，恒定磁場是無源場。（

6、在任意媒質中均成立）Vd)r1()z ,y,x(4V0J兩邊取散度Vdrezyx4zyxV2r0),(),(JB可從 Biot-Savart Law 直接導出恒定磁場 B 的散度。Vdrzyx4zyxV2r0eJB),(),(1. 恒定磁場的散度則0)r1()z ,y ,x()z ,y ,x()r1()r1()z ,y ,x(JJJ00可以作為判斷一個矢量場能否成為恒定磁場的必要條件。0 B圖3.2.1 計算體電流的磁場;.82. 磁通連續(xù)性原理 這說明磁場通過任意閉合面的磁通量為零，稱之為磁通連續(xù)性原理，或稱磁場中的高斯定律 (Gausss Law for the Magnetic fiel

7、d )。 仿照靜電場的 E 線，恒定磁場可以用 B 線描繪，B 線的微分方程0d lB在直角坐標系中dzBdyBdxBzyx0 B0ddVsVSBB散度定理圖3.2.2 磁通連續(xù)性原理圖3.2.3 B 的通量 若要計算 B 穿過一個非閉合面 S 的磁通，則)(韋伯sdSB3. 磁力線;.9B 線的性質： B 線是閉合的曲線; B 線不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 閉合的 B 線與交鏈的電流成 右手螺旋關系； B 強處，B 線稠密，反之，稀疏。圖3.2.4 一載流導線 I 位于無限大鐵板上方的磁場分布（B 線）圖3.2.5 長直螺線管磁場的分布（B 線）圖3.2.6 一載流導線I位于無限

8、大鐵板內(nèi)的磁場分布（H 線）;.10圖3.2.7 兩根異向長直流導線的磁場分布圖3.2.8 兩根相同方向長直流導線的磁場分布圖3.2.9 兩對上下放置傳輸線的磁場分布圖3.2.10 兩對平行放置傳輸線的磁場分布;.113.2.2 磁通連續(xù)性原理1. 安培環(huán)路定律（真空）以長直導線的磁場為例eB2I0（1）安培環(huán)路與磁力線重合Id2Id0200LlB（2）安培環(huán)路與磁力線不重合Id2IdlBCosdL2000LlB（3）安培環(huán)路不交鏈電流L000L0d2IdlBCosdlB（4）安培環(huán)路與若干根電流交鏈k0LIdlB該結論適用于其它任何帶電體情況。強調(diào)：環(huán)路方向與電流方向成右手，電流取正，否則取

9、負。圖3.2.11 證明安培環(huán)路定律用圖;.12例3.2.1 試求無限大截流導板產(chǎn)生的磁感應強度B解：分析場的分布，取安培環(huán)路（與電流交鏈，成右手螺旋）LKMLBLBd021LlB根據(jù)對稱性BBB21By02Key02Ke0 x0 x解：這是平行平面磁場，選用圓柱坐標系，eB)(B應用安培環(huán)路定律,得202120lRIdBdlBeB210R2I) 1 ( 例 3.2.2 試求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應強度。圖3.2.12 同軸電纜截面1R01)212221RIRII取安培環(huán)路 交鏈的部分電流為)(1R圖3.2.1 無限大截流導板;.1322232232223222,32RRRIRRRIII

10、RR)3的圓面積的電流為這時穿過半徑為應用安培環(huán)路定律，得2022232230lRR)R( IdBdlB0R)43B的分布圖如圖示)(B 對于具有某些對稱性的磁場，可以方便地應用安培環(huán)路定律得到 B 的解析表達式。eB223223RRR2I) 3(21) 2RR200lIdBdlBeB2I0)2( 圖3.2.13 同軸電纜的磁場分布;.142. 媒質的磁化（Magnetization） 媒質的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質的極化類同。2）媒質的磁化無外磁場作用時，媒質對外不顯磁性，n1ii0m圖3.2.14 磁偶極子 圖3.2.15 磁偶極子受磁場力而轉動 用磁化強度（Magneti

11、zation Intensity）M 表示磁化的程度，即)(米安A/mVn1ii0VmMlim1）磁偶極子分子電流，電流方向與 方向成右手螺旋關系ISdSmIdAm2磁偶極矩 在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉， 轉矩為 Ti=miB ， 旋轉方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。n1ii0m圖3.2.16媒質的磁化;.153）磁化電流4）磁偶極子與電偶極子對比體磁化電流MJmnmeMK面磁化電流 有磁介質存在時，場中任一點的 B 是自由電流和磁化電流共同作用在真空中產(chǎn)生的磁場。結論： 磁化電流具有與傳導電流相同的磁效應例 3.2.3 判斷磁化電流的方向。模型 電量產(chǎn)生

12、的電場與磁場電偶極子磁偶極子SmdI0PpnpePnmeMKMJmqdp;.163. 一般形式的安培環(huán)路定律sJlBdI)II(Idsm00m00L有磁介質時將 代入上式，得MJmlMsMlBdId)(IdLsL0移項后Id)(L0lMB定義磁場強度m/A0 MBH則有IdLlH說明: H的環(huán)量僅與環(huán)路交鏈的自由電流有關。 環(huán)路上任一點的H是由系統(tǒng)全部載流體產(chǎn)生的。 電流的正、負僅取決于環(huán)路與電流的交鏈是否滿足右手螺旋關系，是 為正，否為負。sJsHlHdd)IdsLs( JH 恒定磁場是有旋的圖3.2.19 H 的分布與磁介質有關圖3.2.18 H 與I 成右螺旋關系圖示中 嗎？它們的環(huán)量相

13、等嗎？321HHH;.174. B 與 H 的構成關系實驗證明，在各向同性的線性磁介質中式中 磁化率，無量綱量，代入 中 HMmxmxMBH0HHHMHBr0m00)x1()(式中 相對磁導率，無量綱， ，單位 H/m。 rr0構成關系HB例3.2.4: 一矩形截面的鐲環(huán)，如圖示，試求氣隙中的 B 和H。圖3.2.20 鐲環(huán)磁場分布解： 在鐲環(huán)中, ， 有限，故 H = 0。rHB取安培環(huán)路（與 I 交鏈），由 ，得NIdLlHNIrH,rNI eH eBrNI05. H 的旋度sLdIdsJlHssdd)(sJsH積分式對任意曲面S都成立，則JH 恒定磁場是有旋的;.18 例 3.2.4 有

14、一磁導率為 ，半徑為a 的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（0 ），如圖所示。試求圓柱內(nèi)外的 B，H 與 M 的分布。解：磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應用安培環(huán)路定律，得IH2dllH磁場強度02IeH磁化強度HBMa0a2I0e磁感應強度BaIaI2020e 圖3.2.21 磁場分布圖3.2.22 長直導磁圓柱的磁化電流 導磁圓柱內(nèi) = 0 處有磁化電流 Im 嗎？ = a 處有面磁化電流 Km嗎？為什么？;.193.3 恒定磁場的基本方程 分界面上的銜接條件3.3.1 恒定磁場的基本方程媒質的性能方程HB 例 3.3.1 試判斷 能否表示為一個恒定磁場？eFe

15、eFa)b(byax)a(2xy1F2不可能表示恒定磁場。0a2)d(1)F(1)b(22F恒定磁場的基本方程表示為S0dSBIdllH（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）0 BJH （無源）（有旋）恒定磁場是有旋無源場,電流是激發(fā)磁場的渦旋源000yFxFay1x11 )(FF1可以表示為恒定磁場。解：;.203.3.2 分界面上的銜接條件1. B 的銜接條件2. H 的銜接條件 H 的切向分量不連續(xù)KHHt 2t 1H 的切向分量連續(xù)當 K = 0t 2t 1HH 3. 分界面上的折射定律 當兩種媒質均勻、各向同性，且分界面無自由電流線密度 K，則2121tantan折射定律圖3.3.1 分界

16、面上 B 的銜接條件圖3.3.2 分界面上 H 的銜接條件 在媒質分界面上，包圍 P 點作一矩形回路 。 l令 , 根據(jù)02l, IdllH可得11211lKlHlHtt在媒質分界面上，包圍 P 點作一小扁圓柱，令 ，則根據(jù) , 可得0dsSBn2n1BBB 的法向分量連續(xù)0l ;.21例.3.3.2 分析鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射情況。解：, 0102,0tantan110202 它表明只要鐵磁物質側的B不與分界面平行，那么在空氣側的B 可認為近似與分界面垂直。圖3.3.3鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射 即yxxn2yt 22410HHeeeeHA/m)1230(yx0222eeHB

17、T解：T4030865yx0yx0111)()( eeeeHBHB,KHHt 2t 1448KHHt1t210222nnBH0n1n230BB n2n1BB 圖3.3.4 含有K的分界面銜接條件 若面電流 , 答案有否變化，如何變？zy43eeK 例 3.3.3 設x = 0 平面是兩種媒質的分界面。 分界面上有面電流023z4eKA/m ，且 A/m，試求 B1，B2 與 H2 的分布。 yx186eeH105;.223.4 磁矢位及其邊值問題3.4.1 磁矢位 A 的引出由ABAB00磁矢位A也可直接從 Biot Savart Law 導出。3.4.2 磁矢位 A 的邊值問題1. 微分方程

18、及其特解JA2( 泊松方程 )02 A( 拉普拉斯方程 ) 當 J = 0 時ABB0JBJHAJAA2)( A 稱磁矢位(Magnetic vector potential)，單位： wb/m（韋伯/米）。HB0 A庫侖規(guī)范0ABA , 使得A唯一確定。A是否具有物理意義是一個仍在爭論的問題。;.23 令無限遠處A的量值為零（參考磁矢位），則各式的特解分別為VVzzyyVxxRVdJARVdJARdVJA4;4;4 可見，每個電流元產(chǎn)生的磁矢位 A 與此元電流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。VRVd4JA矢量合成后，得 在直角坐標系下， 可以展開為zz2yy2xx2JA;JA;JAJA

19、2 面電流與線電流引起的磁矢位為lRId4lA4sdsRKA;.24a）圍繞 P 點作一矩形回路，則lssmdddlASASB)(當 時, 即02L, , 0d0lmlAt2t1AA b）圍繞 P 點作一扁圓柱，則sV0dVdASA當 時， 即 0h, 0SASAn2n1n2n1AA 表明在媒質分界面上磁矢位 A 是連續(xù)的。根據(jù) 有KHHt 2t 1K)(1)(1t22t1AA1對于平行平面場，則可寫成21AA KnA1nA122112. 分界面上的銜接條件圖3.4.7 磁矢位 A 分界面上的銜接條件綜合兩個結論，有12AA;.25eeeeABzzzAAAAz11根據(jù)eeBsinR4lI)z(

20、4lI023220220zzIl4A由于 ， lR 3.4.3 磁矢位 A 的應用 1) 矢量積分求A解：取圓柱坐標2l2l0zRIdz4Azl0zzRIdl4AeeA 例3.4.1 空氣中有一長度為 ，截面積為 S ，位于 z 軸上的短銅線，電流 I 沿 z 軸方向，試求離銅線較遠處（R ）的磁感應強度。 ll 能否用安培環(huán)路定律來求解此問題?圖3.4.1 位于坐標原點的短銅線;.26例3.4.2 應用磁矢位 A，求空氣中一長直載流細導線的磁場。解 ：LLz0Zrdz4IAeeAzzeLL21220zdz4I)(z220LL2Ielnln(eeAB2IA0Z例 3.4.3 應用磁矢位分析兩線

21、輸電線的磁場。解：這是一個平行平面磁場。 由上例計算結果, 兩導線在 P 點的磁矢位z22220z12021z202z101yxbyxb4Irr2IrL22IrL22IeeAAAeAeA)()(lnlnln lnz0L22IeAln)L(yZxZxAyAeeAB圖3.4.3 長直載流細導線的磁場圖3.4.4 圓截面雙線輸電線;.27 在工程數(shù)值中經(jīng)常用此公式此公式計算磁通，并由此得到其它等效參數(shù)。 3) 在平行平面磁場中， ， 等 A 線可表示磁感應強度B 線。zzA eA 即平行平面磁場中的等 A 線可以代表 B 線。可以證明：在軸對稱磁場中， 代表 B 線。constA 2)從磁矢位 A

22、計算磁通wbdd)(dlsslASASB（韋伯）在直角坐標系中，B 線方程為dxBdyBxy) 1 ()2(xABzyyABzxAByyxxyzxzBBxAyAeeeedxxAdyyAzzconstzA0dAdxxAdyyAZzz 等 A 線不是 A 線，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A線僅反映B的大小分布。圖3.4.2 A 線,等 A 線與 B 線關系;.28如前面例題，兩線輸電線的B線即等 A 線的方程為2)1kbk2(y)b1k1kx(,k)bx(y)bx(y)rr(2222222222212 等 A 線（B 線）是一束包圍導線的偏心圓族。其圓心坐標是 圓的半徑是 。,0),b1k1k( h221kbk2a2 可見雙線輸電線的磁場的等 A 線 ( B 線 )的圖形與靜電場中兩根線電荷的等電位線的圖形是一致。圖3.4.5 雙線輸電線的磁場圖3.4.6 雙線