1、破解直線與圓中的“定”的問題直線與圓的位置關系是高中數學的重點內容，是高考必考考點之一， 考題中往往涉及定點、定直線、定圓等“定”的問題，其本質就是曲線系，蘊含著數形結合思想、函數與方程 思想等。在解答此類問題的探索過程中，學生常常找不到解題的切入點，為此，我們須弄清此類問題，切實掌握其解決的方法。一、定點問題我們對于過定點的直線系并不陌生，如y kx是過定點0 0,0的直線系，y kx b（b是常數）是過定點0,b的直線系，y k x ab（a,b是常數）是過定點a,b的直線系，等等，那么，如何迅捷地找到直線所過的定點呢?例1 平面直角坐標系 xOy中，直線 1 4k x 2 3k y 3

2、12k0恒過一定點P，而直線mx y 60也過點P，則m 。解法 1:直線 1 4k x 2 3k y 3 4k 0，整理得 k 4x 3y 12 x 2y 30，4x 3y 12 0x 3令，解得，所以P 3,0，x 2y 3 0y 0代入直線mx y 60 ,得m 2，答案：2.12解法2 :令k,則y 0 ；令k ，則x 3 ；43所以直線1 4k x 2 3k y 3 12k0必過直線y 0與直線x 3的交點3,0，顯然P 3,0，代入直線mx y 60，得m2。點評：含有參數的直線 Ax By C 0過定點時，只需將含有參數的部分整理到一起，不含參數的部分整理到一起，令系數均為0即可

3、解方程得直線所過的定點。變式1:（ 2014四川）設m R，過定點A的動直線x my 0和過定點B的動直線mx y m 30交于點P x,y，則PA PB的取值范圍是a. .5,2.、5 b. L. 10,2.5c. 、,10,4、,5 d. 2、,5,4、5答案 Bo占八、例2 已知圓C ：x2 y2 2kx4k 10 y 10k 20 0 k1 ，則圓C過定解法1 ：圓C的方程可變形為x2 y2 10y 20k 2x 4y 100，所以圓C必過兩曲線x2y210y 200與 2x 4y 100的交點,聯立方程2 x2y10y200解得2x4y100答案為1, 3o解法2:令k0,則x22y

4、10y20圓C所過的定點必是:曲線2 x2y10y2 x，所以圓C過定點1, 3。 y 35220,令 k ，則 x y 5x 50，22 2200與x y 5x 50的交點；而聯立方程y 10y200，解得x 1,所以圓C過定點1, 3。y2 5x 5 0y 3點評：直線與圓的定點問題要善于從運動中尋求不變的特性，挖掘曲線方程與哪些參數 無關。常見的方法有兩種：其一，直接按參數分離變量，進而解出定點坐標；其二，從特殊 入手，求出定點，再證這個定點與參數取值無關。變式2:右圓x2y2x8y 130的圓心到直線ax y 10的距離最大時，則a ()A. 1 B.3C.1D. 333答案：Ao二、

5、定直線冋題定直線問題往往是動點所在的疋直線、動圓的定切線，含有多個參數，其幾何特征不明顯，解決時常常不知從何入手，此時，須緊扣等量關系恒成立.，應用待定系數法來處理。例3平面直角坐標系xOy中，已知半徑為r的e M的圓心M在直線y 2x 3上,且在y軸右側，e M被y軸軸截得的弦長為.3r .(1)求e M的方程;(2)當r變化時，是否存在定直線I與e M均相切？如果存在，求出定直線 I的方程;如果不存在，說明理由。解析：(1)設 M a,2a 3 a2 20，則e M的方程為 x a y 2a 3設M到y軸的距離為d，即da，由eM被y軸軸截得的弦長為、3r ,所以r2 d2 邁r22，得d

6、故e M的方程為 xr2。(2)假設存在定直線l與e M均相切，定直線I的斜率不存在時，顯然不合題意;設直線I的方程為kx b，則r對于r 0恒成立,r.k21 ,得21 k2r2 k 2 b因為上式對任意實數r恒成立，所以所以存在兩條定直線y 3和 4x 3y點評：本題動圓的圓心與半徑都在變化,k2k，解得b0與動圓eM均相切。其幾何特征不明顯， 故采取直接論證dM恒成立。解決含有多個參數的等量關系恒成立時, 必須緊扣等式的成立與 r的取值無關這一特點。變式3 :已知圓g :2 23m 2 4m m 0 ，直線I的方程y x m 2，圓C1關于直線I對稱的圓為C2。(1)證明：當m變化時，C

7、2的圓心在一條定直線上;（2）求C2所表示的一系列圓的公切線方程。提示：（1） Ci2,3m 2關于直線I對稱的點C2x 2y 10上.（2）設公切線方程為 y于m恒成立，整理得4k 3 m2 2 2k4k 30所以2 2k 1 k b 10，解之得2k b 10所以C2所表示的一系列圓的公切線方程為三、定圓問題kxb，則-k 2m 1m 1 b121 kb 1m k b 10，k347b4y3 x，即 3x4y 70442m 1,m 1 ， C2在一條定直線2 m對動直線與定圓相切，是研究d弦心距r恒成立，或者聯立方程0恒成立，再按參數整理，令參數的系數為 0,得到方程組，最后解方程組求出圓

8、心與半徑。例4已知點P在y上，縱坐標為2t t 0，Q12,3t ，求證：直線PQ恒與t解析：1 由題意知P 0,2t，Q 2,3tt個圓心在x軸上的圓M相切，并求出圓 M的方程。所以直線PQ的方程為y 2tx，即t22ty 4t20，2 n設圓M的方程為x a y2r2 r 0，則t21 a4t2t21 2 4t2r恒成立,整理得 t21 a 4t2 r t21，或 4t2t2 1 a r t2 1所以 a r 4 t2 a r20，或 a r 4 t a r0恒成立,a r 40，或a r 0r 40，解得r 02o因此直線PQ恒與一個圓心在 x軸上的圓M相切，圓M的方程為 x 2 y2 4。點評：解答題解題步驟是：設圓的方程 -化簡d弦心距r或0恒成立一變量分離一求圓心與半徑一寫出定圓方程，如果是客觀題，用特例法比較