1、張正友相機標定方法曲峰2021-10-311相機畸變鏡頭畸變實際上是光學透鏡固有的透視失真的總稱枕形畸變：又稱鞍形畸變，視野中邊緣區域的放大率遠大于光軸中心附近區域放大率。常出現在遠攝鏡頭中。桶形畸變：同枕形相反，視野中光軸中心附近區域放大率遠大于邊緣區域。常出現于廣角鏡頭和魚眼鏡頭。線性畸變：光軸同所拍攝的如建筑物類物體的垂平面不正交，則本應相互平行的遠端一側同近端一側，以不相同的角度匯聚產生畸變。這種畸變本質上是一種透視變換，即在某一特定角度，任何鏡頭都會產生相似的畸變。枕形畸變桶形畸變線性畸變1針孔模型和透視投影針孔模型：1/f=1/u+1/v透視投影：中心投影法將形體投射到投影面上坐標

2、系 世界坐標系（Xw Yw Zw）用戶定義的空間三維坐標系，用來描述三維空間中的物體和相機之間的坐標位置，滿足右手法則 攝像機坐標系（Xc Yc Zc）以相機的光心作為原點，Zc軸與光軸重合，并垂直于成像平面，且取攝影方向為正方向，Xc、Yc軸與圖像物理坐標系的x,y軸平行，且OcO為攝像機的焦距f 圖像坐標系是以圖像的左上方為原點，的圖像坐標系（u v）（此坐標以像素為單位），這里我們建立了圖像物理坐標系（x y）為xoy坐標系（此坐標系以毫米為單位）。 一個二維點坐標被表示為 ，一個三維點被表示為，我們使用 去表示通過在矩陣最后面的元素加一個1的向量：和，相機通常都是針孔模型：它的3D點M

3、和它的圖像投影點m的關系為：TZYX,M Tvu,m Tv,1u,mTZY 1 ,XMMtRAm,sx二維坐標任意數內參矩陣旋轉矩陣平移矩陣三維坐標100000vuA1坐標變換首先從二維坐標變換進行理解00cossinsincosyyxyxyxx00cossinsincosyxyxyx1000cossinsincos100yxyxyx矩陣表示齊次坐標01212221rrrr1坐標變換引申到三維空間，第一個階段：我們依舊從旋轉和平移兩個步驟來推算從世界坐標系到相機坐標系的坐標變換，1000cossin0sincos),(cos0sin010sin0cos),(cossin0sincos0001)

4、,(zRotyRotxRot1坐標變換引申到三維空間，第一個階段：我們依舊從旋轉和平移兩個步驟來推算從世界坐標系到相機坐標系的坐標變換01133221232221rrrrrrrrr11000coscoscossinsinsincoscossincoscossincoscossinsinsincossinsinsinsincoscoscos1000zyxzyxzyx321rrrR TtttT),(3211101zyxTRzyxsincot00dyyvvdxydxxuuddd為 1Ovu,00,vudydx,圖像數字化圖像數字化1O0udydx0vdYdX1100sin/0cot100ddvuuy

5、xvfuffvudyfdxfvu1,11坐標變換第二個階段，空間點向像點轉化：1010000000011cccczyxffzyx第三個階段，像點向像素坐標轉化：1100)sin*/(10/cot/11u00yxvduddvyxx1100sin/0cot100wwwAvuuczyxvffuffffvuztRMtRAm,s11s321ZYXtrrrAvu1101s21321YXtrrAYXtrrrAvu展開Z=0平面我們假定trrA21H 11s21YXtrrAvu則原式可化為：MHms這里，矩陣H就是從世界坐標系到圖像坐標系的33大小的單應性矩陣。對H再次進行變形，假設h1,h2,h3是H的列向

6、量，有：trrAhhhH2132101133221232221rrrrrrrrr21211111hArhAr021rrT121 rr2單應性矩陣推導0211hAAhTT21211111hArhAr021rrT121 rr212111hAAhhAAhTTTT對單應性矩陣H的估算 H就是我們常說的單應性矩陣，在這里描述的是空間中平面三維點和相機平面二維點之間的關系。因為相機平面中點的坐標可以通過圖像處理的方式（哈里斯角點，再基于梯度搜索的方式精確控制點位置）獲取，而空間平面中三維點可以通過事先做好的棋盤獲取。所以也就是說每張圖片都可以計算出一個H矩陣。1323123222113121132121h

7、hhhhhhhhhhtrrAH假設MHms13231232221131211hXhshYhXhsvhYhXhsu23222132311312113231hYhXhvvYhvXhhYhXhuuYhuXh1 3231232221131211hhhhhhhhh 令010000001hvvYvXYXuuYuXYX1)(2)()(112202220020200200202200222200223323132322211312111vuvvuvuvvuvuvBBBBBBBBBAABT100000vuA很顯然，B是一個對稱矩陣，我們假定：TBBBBBBb3323132212113閉合形解Tiiiihhhh3

8、21設H矩陣中第i列的向量為bvhBhTijjTi 帶入到0211hAAhTT中有：解得：333223311322122111jijijijijijijijijiijhhhhhhhhhhhhhhhhhhv212111hAAhhAAhTTTT0211hAAhTT012bvT0)(2211bvvT0)( 221112bTvvTv0Vb V矩陣是2*6矩陣，也就是說每張照片可建立起兩個方程組，6個未知數。根據線性代數知識可知，解6個未知數需至少6個方程組，所以也就是說我們至少需要三張照片才能求解未知數。b矩陣的解出，相機內參矩陣A也就求解出，從而每張圖像的R，t也迎刃而解。/)/(/)()/()(2

9、13002122122211111111231113120231332122211231113120uvvuvufBfsvuffBsBBBBfBfBBBBBvBBBBBBBBBv21113121321211111hAhAhAtrrrhArhAr最大似然估計 以上求解旋轉矩陣R的方法是基于最小距離的，不具備物理意義。接下對上面得到結果用最大似然估計來進行優化。 轉動標定模板，從不同的角度拍攝棋盤標定模板的n幅圖像，設每幅圖像都具有相同的標定點，標定點的個數為m，并假設每個標定點的坐標都有獨立同分布的噪聲，因為初始的參數已經求解，所以我們將每張圖像的控制點根據求解的參數重投影回三維空間，最小化與真

10、實值的差異，其實就是建立非線性最小化模型：nimjjiiijMtRAmm11, 其中mij是三維場景中第j個物點在第i幅圖像上的像點坐標矢量，Ri是第i幅圖像的旋轉矩陣，是ti第i幅圖像的平移向量，Mj是三維場景中第j個物點的空間坐標，是通過已知初始值得到的像點估計坐標。 的求解是一個經典的非線性優化的問題，使評價函數最小的A，Ri，ti就是這個問題的最優解。可以取第一次得到的線性求解結果作為A、 的初始值，解決這類問題的方法很多 ，在計算機視覺領域里通常使用Levenberg-Marquarat算法進行求解。nimjjiiijMtRAmm11,jiiMtRAm,jiiMtRAm,nitRii1,畸變校正模型)()(2222221yxkyxkxxx)()(2222221yxkyxkyyy)()()(22222210yxkyxkuuuu)()()(22222210yxkyxkvvvvvvuukkyxvvyxvvyxuuyxuu2122202202220220)()()()(由于透鏡的中心對稱性，所以式中考慮x方向上與y方向上的徑向畸變率是相同的dDk 然后，通過線性最小二乘的方法求出徑向畸變系數：dDDDkTT1)(12,ijiijmjiRitiMjkk第 個點在第 幅圖像中的像點第 幅圖像的旋轉矩陣第 幅圖像的平移向量第 個點的空間坐標初始化值利用上面線性求解的結果畸