1、1 晶體具有對稱性，因而晶體中電子的運動狀態也會具有對稱性，所以表述運動狀態的本征能量和本征態也具有對稱性，了解了這種對稱性，對于我們理解能帶性質、簡了解了這種對稱性，對于我們理解能帶性質、簡化要處理的問題會很有幫助化要處理的問題會很有幫助。比如在計算和繪制 k 空間的能帶圖時，就可以充分利用其對稱性質。 晶體的對稱性包括點對稱操作和平移對稱性，它們都會反映到本征能量的對稱性上。 晶體能帶的對稱性和晶格振動色散關系所具有的對稱晶體能帶的對稱性和晶格振動色散關系所具有的對稱性相同，我們可以參照理解。性相同，我們可以參照理解。一一. En(k)函數的對稱性函數的對稱性En(k)圖示圖示2自由電子的

2、能帶自由電子的能帶見黃昆書見黃昆書 4.6節節 p2026.7 晶體能帶的對稱性晶體能帶的對稱性2一、一、 En(k)函數的對稱性函數的對稱性 Bloch定理一節中曾指出簡約波矢 k 表示原胞之間電子波函數位相的變化，如果 k 改變一個倒格矢量，它們所標志的原胞之間波函數位相的變化是相同的，也就是說 k 和 k+Gh 是等價的，從這點出發我們也可認為 是 k 空間的周期函數，其周期等于倒格矢。簡約波矢的取值范圍就是倒易空間的Wigner-Seitz原胞，即第一布里淵區內。我們利用這種平移對稱性可以將第二Brillouin區的每一塊各自平移一個倒格矢而與第一Brillouin區重合。同理，更高的

3、Brillouin區也可通過適當的平移與第一區重合，因此我們可以把注意力僅限制在第一區內，它包含了晶體能帶的所有必要信息。 應特別注意，這個表達式只是對同一能帶才正確。)()(hnnGkEkE1. nEk平移對稱性3Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ FBZ2nd BZ3rd BZ正方晶格的頭三個布里淵區。一、三兩章已經講過。4)()(kEkEnn 該式表明能帶與晶格有相同的對稱性。 為晶體所屬點群的任一點對稱操作。證明如后：點群對稱性2.Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZFBZ2n

4、d BZ3rd BZ4th BZ5應為具有同樣本征值的另一本征函數。設 nk(r)為晶體哈密頓量的本征函數，本征值為 En(k)。)()()(rkErHnknnk由于晶體在所屬點群操作下保持不變，則點群操作作用于本征函數的結果，)()(rrnkn)()(reRrnkRk innknBABABABABABA11)(又由于晶體點群操作應保持點乘積不變，則有：6因此有：)()()()(1rereRrRrnkRkinkRk innknnnnn(r)是本征函數之一，所以可以寫成：所以 n(r) 的波矢標記應該是：k1)(1rkn從而有：)()(1rrnkkn7從上式可得有 -1k 和 k 所對應的能量本

5、征值相等，即有：)()(1kEkEnn)()(kEkEnn由于-1遍歷晶體點群的所有的對稱操作，所以有：證畢。這表明，在在 k 空間中空間中 En(k) 具有與晶體點群完全相同具有與晶體點群完全相同的對稱性。這樣就可以在晶體能帶計算和表述中把第的對稱性。這樣就可以在晶體能帶計算和表述中把第一布里淵區分成若干個等價的小區域，只取其中一個一布里淵區分成若干個等價的小區域，只取其中一個就足夠了。區域大小為第一布里淵區的就足夠了。區域大小為第一布里淵區的 1/f，f 為晶體為晶體點群對稱操作元素數。如三維立方晶體點群對稱操作元素數。如三維立方晶體 f = 48。原胞是晶體點陣的最小重復單位，因此點陣具

6、有的點群對稱性全部反映在原胞中是能夠理解的。8在晶體中電子運動的哈密頓算符 222HUm r是實算符，H*H。如果 nk(r) 是方程的解，那么 *nk(r) 也是方程的解，且這兩個解具有相同的能量本征值。即有3.)()(kEkEnn)()()()()()(rkErHrkErHnknnknknnk反演對稱性9同時按照Bloch定理有：)()()()(reRrreRrknRk inknnkRk innknn因此，nk(r) 和n-k(r) 能量是相同的。)()(kEkEnn這個結論不依賴于晶體的點群對稱性，不管晶體中是否有對稱中心，在 k 空間中 En(k) 總是有反演對稱的。這這實際上是時間反

7、演對稱性的結果。實際上是時間反演對稱性的結果。10PPPkxky 以二維正方晶格為例以二維正方晶格為例，二維正方晶格的點群是C4V(4mm),所以，對于一般位置 P，在簡約區中共有 8個點與 P點對稱相關。在這些點，電子都有相同的能量 En(k)。因此，我們只需研究清楚簡約區中 1/8 空間中電子的能量狀態，就可以知道整個 k 空間中的能量狀態了。我們將這部分體積稱為簡約區的不可約體積不可約體積。依此類推，對于立方晶系的 Oh(m3m) 點群，只需研究 (1/48)b即可。減少減少在確定、計算能帶時所要做的工作在確定、計算能帶時所要做的工作是對稱性研究的意義之一。是對稱性研究的意義之一。二、二

8、、 En(k)圖示圖示11XZMkxky-/a/a-/a 對于一般位置 k ，簡約區中對稱相關的波矢量數就等于點群的階數。但若 k 在簡約區中的某些特殊位置（對稱點、對稱軸或對稱面）上，即在晶體點群中，存在某些對稱操作，使得 k=k 或 k=k+Gl這時，簡約區中等價波矢量數就少于點群的階數。在二維正方晶格的簡約區中，k有以下特殊位置：0,0點：kX,0a點：kM,aa點：k,0k點：kZ,ak點：k, k k點：k線線線12MXRZST簡單立方晶格的簡約區中 k 的特殊位置：0,0,0點：kX,0,0a點：kM,0a a 點：kR,a a a 點：k,0,0k點：kZ, ,0ak點：k, ,

9、0k k點：kS, ,ak k點：kT,a ak 點：k, ,k k k點：k線線線線線線10011011113三、自由電子的能帶三、自由電子的能帶自由電子的能量為 22(0)2kEm k這里，k為廣延波矢，不一定在簡約區中，但我們一定可以找到唯一一個倒格矢Gn,使得nkkGk為簡約波矢。 22(0)(0)(0)2nnnnnEEEm kkGkkG1. 一維情況一維情況 22(0)22nEkknmak為簡約波矢2nGna14為簡單，取 k 的單位為 ，aEn(0)(k)的單位為222ma 2(0)2nEkkn01k第一能帶：n=1，n=0 (0)21Ekk相應波函數： (0)1,ikxkxe第二

10、能帶：n=2，n=1 2(0)22Ekk相應波函數： 2(0)2,i kxkxe第三能帶：n=3，n=1 2(0)32Ekk相應波函數： 2(0)3,i kxkxe10 14 94 123152. 二維情況：二維情況：例：二維正方晶格的簡約區中沿X（即kx）軸作出 En(0)(k)曲線。為簡單，取kx、ky的單位為,aEn(0)(k)的單位為222maXZMkxky-/a/a-/a 22(0)1222nxyEknknk在X軸上，ky=0 1 22(0)21224n nxEknn 10016(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1) (0,1)(1,1) (1,1)相應的波函數

11、為(0)121212,exp22xn nn niknxn y顯然，當n1和n2的絕對值最小時，相應的能量最低。1200n n（第一布里淵區） (0)200 xEk 01xk（單）相應的波函數：0,0 xik xe10 17第一近鄰倒格點： 1210 , 01 , 01 , 10n n 2(0)102xEk （單）1,0exp2xi kx波函數： (0)(0)201014xEEk （雙）波函數：0,1exp20,1exp2xxi k xyi k xy 2(0)102xEk （單）波函數：1,0= expxi k2 x14 54 94 1018第二近鄰倒格點： 1211 , 11 , 11 , 1

12、1n n 2(0)(0)111124xEEk （雙）相應的波函數： 1,1exp221,1exp22xxikxyikxy 2(0)(0)111124xEEk （雙）相應的波函數： 1,1exp221,1exp22xxi kxyi kxy58138193. 三維情況：三維情況： 三維情況下，構造出各三維情況下，構造出各個布里淵區的幾何結構，繪個布里淵區的幾何結構，繪出能帶圖是比較繁瑣的，這出能帶圖是比較繁瑣的，這里只做簡要介紹。里只做簡要介紹。 我們仿照一維情況，以面心立方晶格為例，分析一下如何把零級近似下的波矢 k 移入簡約布里淵區，黃昆書黃昆書 p179184:(0,0,0)k10E2:0,

13、0X ka222121222XEmama20面心立方晶體的第一布里淵區: 如果 fcc 的晶格常數為 a，則其zyx(0,0,0)倒格子的晶格常數為所以：4a2: 0,0222:,22:,0XaLaaaKaa: 111: 110: 10021X 是 方向，記作 ，能帶同樣可以給出：010 1Ek222212321222XEmaEma222,aaa22,0,aa近鄰： 是四重簡并的。見黃昆書圖4-15以此類推，可以給出前頁圖。詳見黃昆書 p178184在計入周期勢場的微擾作用后，上述高對稱點或軸的簡并性將部分地消除，通常用群論方法來確定某些高簡并態如何分裂，一維情況，布里淵區區心和邊界都是二重簡

14、并的，6.2節的計算中已經使用了這個結果。 2Ek22 LX U,KEnergy (eV)下面是Si 的第一布里淵區和能帶圖三維情況復雜的多，簡并微擾需要按不同的 k，不同的能帶分布進行。23Si 的能帶圖24L XU,KGe 的能帶圖GaAs能帶圖導帶價帶見黃昆書p213 tu4-3525一一. 能態密度能態密度二二. 費米面費米面見黃昆書見黃昆書4.7節節與孤立原子中的本征能態形成一系列分立能級不同，固與孤立原子中的本征能態形成一系列分立能級不同，固體中電子的能級非常密集，形成準連續分布，和孤立原體中電子的能級非常密集，形成準連續分布，和孤立原子那樣去標注每個能級是沒有意義的，為了概括晶體

15、中子那樣去標注每個能級是沒有意義的，為了概括晶體中電子能級的狀況，我們引入電子能級的狀況，我們引入“能態密度能態密度”的概念，這個的概念，這個函數在討論晶體電子的各種過程時特別在輸運現象的分函數在討論晶體電子的各種過程時特別在輸運現象的分析中是非常重要的。析中是非常重要的。費米面是固體物理中最重要的概念之一費米面是固體物理中最重要的概念之一，只有費米面附，只有費米面附近的電子才能參與熱躍遷或輸運過程，決定著晶體的各近的電子才能參與熱躍遷或輸運過程，決定著晶體的各種物理性質，晶體勢場的影響使種物理性質，晶體勢場的影響使FS的形狀變得復雜，從的形狀變得復雜，從而對性質的影響變得復雜。而對性質的影響

16、變得復雜。6.8 能態密度和費米面能態密度和費米面26一、能態密度一、能態密度: 和5.2中一樣，它定義為單位能量間隔內的電子 狀態數，和黃昆書不同和黃昆書不同，我們明確為單位體積內單位體積內的能態密度的能態密度。 1 ddZN EVEdSdkkxkyEE+dE dZ為能量在 EE+dE 兩等能面間的能態數（考慮了電子自旋）。dZ=2(k)(k空間中能量在E E+dE兩等能面間的體積)和自由電子情形不同，這里的和自由電子情形不同，這里的等能面已經不是球面，需要根等能面已經不是球面，需要根據等能面形狀具體積分才行據等能面形狀具體積分才行。constEkSVdd823271. 近自由電子的能態密度

17、近自由電子的能態密度對于自由電子： 22(0)2kEmk在 k空間中，能量為E的等能面是半徑為22mEk 的球面，在球面上2ddEEkkmkEEk ddk因為：所以：constEkkESEZVEN)(d41dd1)(32832232231221442mmkEk 考慮周期場的影響考慮周期場的影響，在近自由電子情況下，周期場的影響主要表現在布里淵區邊界附近，而離布里淵區邊界較遠處，周期場對電子運動的影響很小。 下面以簡單立方晶體為例，考察第一布里淵區內電子的等能面，從原點出發，等能面基本保持為球面，在接近布里淵區邊界時，等能面開始向邊界突出。constEconstEkSkmkESENd 41)(d

18、41)(23329原因是明顯的原因是明顯的：在 6.2節已經指出，周期場的微擾使布里淵區附近界面內的能量下降，而等能面的凸出正意味著達到同樣的能量 E ，需要更大的 k 值，當能量 E 超過邊界上A點的能量EA，一直到 E 接近于在頂角C點的能量EC （即達到第一能帶的頂點）時，等能面將不再是完整的閉合面，而成為分割在各個頂角附近的曲面。由此我們給出對近自由電子能態密度的估計由此我們給出對近自由電子能態密度的估計：在能量沒有接近EA時，N(E)和自由電子的結果相差不多，隨著能量的增加，等能面一個比一個更加強烈地向外突出，態密度也超過自由電子，在 EA處達到極大值，之后，等能面開始殘破，面積開始

19、下降，態密度下降，直到 EC時為零。所以近自由電子近似下的N(E)如圖所示。30 受周期場的微弱影響，近自由電子的等能面偏離自由電子的球形。并受到布里淵區界面影響和自由電子態密度相比近自由電子的能態密度發生了明顯變化。EA31N(E)N(E)EBEBECECEE。 以上只考慮了第一布里淵區的狀態，顯然當能量超過第二布里淵區的最低能量 EB時，能態密度從零開始重新增加，有兩種情況：當EC EB時，出現能帶重疊；當EC EB時，存在能隙（禁帶）32 32*231222mN EE 上述從自由電子論所得公式在能帶論中將會經常使用，需要把自由電子質量改為有效質量的原因以后會做說明需要把自由電子質量改為有

20、效質量的原因以后會做說明，有有效質量與自由電子質量的差異反映了周期勢場對晶體中電子效質量與自由電子質量的差異反映了周期勢場對晶體中電子運動的影響運動的影響。不過這個公式只是在等能面為球面時才是成立的，如上分析，當能量增加到等能面不再是球面時，就必須當能量增加到等能面不再是球面時，就必須有一個更為復雜的公式來表示，有一個更為復雜的公式來表示，不過在能量超過EA后等能面與布里淵邊界相交，面積隨能量增加迅速下降、能態密度也迅速下降，直到能量到達EC 處態密度為零。這就是價帶頂。以后會經常提到價帶頂附近的態密度，如果認為價帶頂附近如果認為價帶頂附近的電子具有一個負的有效質量，則可以給出如下公式：的電子

21、具有一個負的有效質量，則可以給出如下公式： 3*21222212CmN EEECEE適用于帶底電子適用于帶底電子適用于帶頂電子適用于帶頂電子332. 緊束縛近似的能態密度緊束縛近似的能態密度 以簡單立方晶格 s 帶為例，給出緊束縛近似的能態密度的特征。 012coscoscossxyzEEJk ak ak ak00sEJ 在 k = 0，即能帶底附近，等能面近似為球面，但隨 著 E 的增大，等能面明顯偏離球面。12sin,sin,sinxyzEaJk ak ak ak22212sinsinsinxyzEaJk ak ak ak34N(E)E0E06J1E02J1E0+6J1E0+2J1緊束縛近

22、似的等能面緊束縛近似的能態密度 在、X、M和R點處，kE=0，這些點稱為Van Hove奇點奇點，這些點都是布里淵區中的高對稱點。E()E(X)E(M)E(R)3536緊束縛近似下二維六方格子等能面圖示緊束縛近似下二維六方格子等能面圖示緊束縛近似下能帶表達為:a)1.73k cos a 1.5k cos a 0.866k cos (2 J 2 a)k cos a 0.866k cos a 0.5k cos (2J -2Eyxyxyx這里： a 是晶格常數； J 是最近鄰交疊積分； J 次近鄰交疊積分。37二維六方格子等能面示意圖二維六方格子等能面示意圖38Ge能帶圖及費米面附近的態密度39Cu

23、能帶圖及費米面附近的態密度40二、費米面二、費米面 第 5 章里已經解釋了費米面的含義：費米面是 k 空間能量為恒值 EF 的曲面，絕對零度下費米面是未填絕對零度下費米面是未填滿電子軌道和被填滿電子軌道的分界面滿電子軌道和被填滿電子軌道的分界面，費米面及其之下的能級全部占滿電子，之上的能級全部沒有占據電子，因而晶體的性質主要由費米面的體積和形狀決定，只有費米面附近的電子才有可能參與各種過程。能帶論沒有改變費米面的性質，只是解釋了、預見了能帶論沒有改變費米面的性質，只是解釋了、預見了不同晶體材料費米面形狀的差異，為我們分析晶體性不同晶體材料費米面形狀的差異，為我們分析晶體性質提供了理論依據。質提

24、供了理論依據。411. 晶體費米面的構造步驟晶體費米面的構造步驟（由自由電子模型引伸出來） 根據晶體結構畫出倒易空間中擴展的布里淵區圖形； 按自由電子模型由電子濃度求出相應的費米半徑，并 作出費米球（或費米圓）； 將處在各個布里淵區中的費米球（園）分塊按倒格矢 平移到簡約區中，來自第來自第 n個布里淵區的對應于第個布里淵區的對應于第 n個個 能帶，能帶，于是在簡約區中得到對應于各個能帶的費米面 圖形； 按照近自由電子作必要的修正。 這里僅就近自由電子近似下的費米面結構進行討論這里僅就近自由電子近似下的費米面結構進行討論，關注的是晶體周期勢場的影響對關注的是晶體周期勢場的影響對 FS 所帶來的變

25、化，以后所帶來的變化，以后將會看到這種變化又怎樣影響到晶體的物理性質。將會看到這種變化又怎樣影響到晶體的物理性質。42自由電子模型在正方晶格中頭兩個布里淵區的費米面構成自由電子模型在正方晶格中頭兩個布里淵區的費米面構成434444二維正方晶格的布里淵區，圖中的圓是自由電子的等能面，二維正方晶格的布里淵區，圖中的圓是自由電子的等能面，這是對應與電子濃度的某個特定取值的費米面這是對應與電子濃度的某個特定取值的費米面，k 空間中被空間中被充滿的區域的總面積只依賴于電子濃度。見充滿的區域的總面積只依賴于電子濃度。見Kittel 書書p1594445 上述從自由電子費米面出發，給出晶體費米面的定性描述是

26、有用的。1959年 Harrison 提出了一個更為方便的辦法：我們用一個二維正方點陣費米面構圖法來說明。Kittel 書p161先繪出倒易點陣，以每個倒格點為圓心，以 kF 為半徑做圓。46472. 修正為近自由電子模型費米面的依據：修正為近自由電子模型費米面的依據： 電子的能量只在布里淵區邊界附近偏離自由電子能量電子的能量只在布里淵區邊界附近偏離自由電子能量， 在布里淵區邊界產生能隙。在布里淵區邊界產生能隙。等能面在布里淵區邊界面附 近發生畸變，形成向外突出的凸包 等能面幾乎總是與布里淵區邊界面垂直相交等能面幾乎總是與布里淵區邊界面垂直相交； 費米面所包圍的總體積僅依賴于電子濃度費米面所包

27、圍的總體積僅依賴于電子濃度，而不取決 于電子與晶格相互作用的細節； 周期場的影響使費米面上的尖銳角圓滑化。周期場的影響使費米面上的尖銳角圓滑化。48等能面在遠離布里淵區邊界處，與自由電子相近，等能面在遠離布里淵區邊界處，與自由電子相近，也是圓；等能面靠近布里淵區邊界時，由于周期也是圓；等能面靠近布里淵區邊界時，由于周期場的微擾使能量下降，電子能量隨波數場的微擾使能量下降，電子能量隨波數k的增加比的增加比自由電子慢，因此，等能線偏離圓而向外凸出自由電子慢，因此，等能線偏離圓而向外凸出；等能面離開布里淵區邊界時，電子能量隨波數等能面離開布里淵區邊界時，電子能量隨波數k的的增加比自由電子快，因此，等

28、能線偏離圓而向內增加比自由電子快，因此，等能線偏離圓而向內收縮；因此，等能面在布里淵區邊界是不連續的，收縮；因此，等能面在布里淵區邊界是不連續的，不能連續穿越布里淵區邊界。不能連續穿越布里淵區邊界。 4950Kittel 書 p160-16151證明：在一般情況下，等能面與布里淵區邊界面垂直相交，在 k 空間中，En(k)具有反演對稱性， En(k) En(k)-nnEEkkkk又由于En(k)的平移對稱性， En(k) En(kGn)nnEEkknkk G在布里淵區邊界面附近，將 k 分解為 kkk，由于布里淵區邊界面是倒格矢的垂直平分面，所以，在布里淵區邊界面上，有12n kG52沿布里淵

29、區邊界面的法線方向上，11221122nnnnnnnnEEkkEEkk GGGG-nnEEkkkknnEEkknkk G11220nnEEkk nnGG如果沿一個邊界面的法線方向上處處都有120nEknG于是，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直于是，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直。533. 二維正方晶格近自由電子的費米面二維正方晶格近自由電子的費米面。設二維晶格的晶格常數為a，晶體的原胞數為N， 224Nakk 的分布密度：如果晶體中平均每個原子有 個價電子，稱其電子濃度為 電子/原子。對于簡單晶格，每個原胞中只有一個原子，則晶體的價電子總數為 2222222242FFFNaNaN

30、kkkk11222Fkkaa也可直接利用二維下公式：122Fkn54其中1ka為簡約區的內切圓半徑電子濃度kF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954kxky價電子足夠多，以致 FS與邊界相交，可以擴展到幾個區布 里 淵布 里 淵區的區的2N個 狀 態個 狀 態剛 好 填剛 好 填滿 ， 所滿 ， 所以 半 徑以 半 徑為為kF的的費 密 圓費 密 圓面 積 與面 積 與第 一 布第 一 布里 淵 區里 淵 區面 積 相面 積 相等。等。55簡約區中自由電子的費米面=1第一能帶=2, 3=4, 5, 6第二能帶第三能帶第四能帶111056簡約區簡約區中中近

31、自由電子近自由電子的費米面的費米面 = 1第一能帶第一能帶 = 2, 3 = 4, 5, 6第二能帶第二能帶第三能帶第三能帶第四能帶第四能帶57二維正方格子自由電子二維正方格子自由電子的費米面的費米面二維正方格子二維正方格子近近自由電子自由電子的費米面的費米面一價一價二價二價三價三價四價四價58二維簡單立方格子布里淵區和近自由電子近似下二維簡單立方格子布里淵區和近自由電子近似下費米面的構造費米面的構造5960（二維時為圓）（二維時為圓）611.能隙，不再保持連續能隙，不再保持連續2.費密面與布里淵區邊費密面與布里淵區邊界垂直相交界垂直相交3.費密圓所包圍的總面費密圓所包圍的總面積保持不變，僅依

32、賴積保持不變，僅依賴于電子密度于電子密度62第一能帶第一能帶第二能帶第二能帶第三能帶第三能帶第四能帶第四能帶簡約區簡約區中中近自由電子近自由電子的費米面的費米面634. 金屬費米面的構造金屬費米面的構造一價金屬sc結構 BZ和費米面 。kmin = /a 是BZ中心到邊界的最近距離kFkmin自由電子近似：電子填充成費米球3/122232/)(nkmkkEF 對具有簡單立方結構(SC)的一價金屬11332min31330.985Fkkaa31naminka如圖所示，但實際上沒有任何金屬具有簡單立方結構 64 1133232631.241Fkaaa具有具有 bcc 結構的一價金屬：結構的一價金屬

33、：如 Li,Na,K,Rb,Cs 等， 其布里淵區是一個正12面體，從布里淵區心到邊界的最短距離在 方向上。11022min21101.41422kaa32na又因為：min0.877Fkk堿金屬原子僅有一個價電子，且受晶格勢場作用較弱，它們的布里淵區邊界與接近球形的費米面之間距離較大，計算和測量一致表明：Na 的費米面接近球形，Cs 的費米面偏離球形約10%65正十二面體正十二面體66 11332341231.563Fkaaa具有具有 fcc 結構的一價金屬結構的一價金屬：如 Cu,Ag,Au等， 其布里淵區是一個截角8面體，從布里淵區心到邊界的最短距離在 方向上。111222min21111.732222kaa34na又因為：min0.903Fkk顯然，它的 FS離邊界較近，周期場的影響使它們在111方向上發生崎變，好像伸出 8 個脖子接到布里淵區的 8 個6 邊形上，這個分析已被實驗所證實。 67截角八面體截角八面體6869以上分析看出：堿金屬和銅分族元素的價電子都很接近自堿金屬和銅分族元素的價電子都很接近自由電子，所以都有良好的導電性由電子，所以都有良好的導電性，但兩者在其它物理性質上仍有很大差別，這主要是后者存在一個充滿電子的 d 帶而堿金屬沒有。晶體中的 d 帶和 s 帶是重疊的，d 帶窄，