1、11.1.3 空間中的垂直關系空間中的垂直關系(1)2一一. 直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義1 兩直線互相垂直：兩直線互相垂直： 如果兩條直線相交于一點或經過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這如果兩條直線相交于一點或經過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直。兩條直線互相垂直。?l?O?B?A3 觀察旗桿與地面內的每一條直線有什么關系，旗桿與地面的關系呢？觀察旗桿與地面內的每一條直線有什么關系，旗桿與地面的關系呢？42 直線與平面垂直：直線與平面垂直： 如果一條直線（如果一條直線（l）和一個平面（）和一個平面（）相交于點）相交于點A，并且，并且a和這個平面內過

2、點和這個平面內過點A的任的任何直線都垂直，則該直線垂直于這個平面，記作何直線都垂直，則該直線垂直于這個平面，記作l，這條直線叫做平面的垂線，這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足。這個平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足。5lAab6 在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質。在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質。判定是指：如果一條直線垂直一個平面內的任意一條直線，那么這條直線與這個平判定是指：如果一條直線垂直一個平面內的任意一條直線，那么這條直線與這個平面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種方法；面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種方法；性質是指：如果一條直線

3、垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的任意性質是指：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的任意一條直線。一條直線。7 這是在線面垂直問題中經常要用到的一個結論。這是在線面垂直問題中經常要用到的一個結論。即即aabb判斷正誤：判斷正誤：如果一條直線如果一條直線 l 和一個平面內的無數條直線都垂直，則直線和一個平面內的無數條直線都垂直，則直線 l和平面和平面 互相垂直互相垂直.8二二. 直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理1定理：定理：文字語言：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面文字語言：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這

4、條直線與這個平面垂直垂直.圖形語言：圖形語言：符號語言：符號語言：a?，b?，ab=O，la，lb， l. balO9D DC CB BA A10 / /aambmmbabm已知已知： ， /aba求證求證： b證明：設證明：設m是是內的任意一條直線內的任意一條直線 ：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面平面 11推論推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 。 ?m?m ?l?B?A已知：直線已知：直線l平面平面，直線，直線m平面平面

5、，垂足分別為，垂足分別為a，b，求證：，求證：l/m.證明：假設直線證明：假設直線m與直線與直線l不平行。過直線不平行。過直線m與平面與平面的交的交點點B作直線作直線m/l，12由直線與平面垂直的判定定理的推論由直線與平面垂直的判定定理的推論1可知可知m. ?m?m ?l?B?A 設設m和和m確定的平面為確定的平面為，與與的交線為的交線為a，因為直線因為直線m和和m都垂直于平面都垂直于平面，所以所以 直線直線m和和m都垂直于交線都垂直于交線a，因為在同一平面內，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線不可能有兩條，因為在同一平面內，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線不可能有兩條，所以直線所以直線

6、m與與m必重合，必重合，即有即有l?/m.13例例1過一點和已知平面垂直的直線只有一條。過一點和已知平面垂直的直線只有一條。已知：平面已知：平面和一點和一點P.求證：過點求證：過點P與與垂直的直線只有一條。垂直的直線只有一條。?P ?B?A?P ?B?A14證明：不論證明：不論P點在點在外或內，設外或內，設PA，垂足為，垂足為A(或或P)， 如果過如果過P點，除直線點，除直線PA外，還有一條直線外，還有一條直線PB，設，設PA，PB確定的平面為確定的平面為, 且且=a， 于是在平面于是在平面內過點內過點P有兩條直線有兩條直線PA，PB垂直于交線垂直于交線a， 這是不可能的。所以過點這是不可能的

7、。所以過點P與與垂直的直線只有一條。垂直的直線只有一條。15DC BA16解：在解：在ABC和和ABD中，因為中，因為AB=8，BC=BD=6，AC=AD=10，所以所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2. AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以所以ABC=ABD=90， 即即ABBC，ABBD， 又知又知B，C，D三點不共線，三點不共線，因此因此AB平面平面BCD，即旗桿和地面垂直。，即旗桿和地面垂直。17例例3已知：直線已知：直線l平面平面，垂足為，垂足為A，直線，直線APl. 求證：求證：AP在在內。內。?M?P ?l?A證明：設證明：設AP與與l?確定的平面為確定

8、的平面為，假設，假設AP不在不在內，內，則設則設與與相交于直線相交于直線AM。因為因為l，AM?,所以所以lAM，18又已知又已知APl，于是在平面，于是在平面內，內，過點過點A有兩條直線垂直于有兩條直線垂直于l，這是不可能的，這是不可能的，所以所以AP一定在一定在內。內。?M?P ?l?A19直線與平面垂直的判定方法直線與平面垂直的判定方法3.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面。如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面。1.定義：如果一條直線垂于一個平面內的任何一條直線，則此直線垂直于這個平面定義：如果一條直線垂于一個平面內的任何一條直線，則此直線垂直于這個平面.2.判定定理判定定理:如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，那么此直線垂直于這如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個平面。個平面。4.如果直線和平面所成的角等于如果直線和平面所成的角等于90,則這條直線和平面垂直則這條直線和平面垂直20練習題：練習題： A.平行平行 B.相交相交 C.平行或相交平行或相交C21B223 如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，O是底面是底面ABCD的中心，的中心，B1HD1O，H為垂為垂足，求證：足，求證：B1H平面平面AD1C.證明：連接證明：連接B1D1， B1