1、12( )( )nnx zx n z11( )( )d2jncx nx z zzc為x(z) 的收斂域(roc )中的一閉合曲線正變換：x(z)=zx(n)反變換： x(n) =z1x(z)( )( )zx nx z 或3充要條件充要條件: ( )( )nnx zx n z 序列序列z變換的定義為變換的定義為能夠使上式收斂的能夠使上式收斂的z值集合稱為值集合稱為z變換的變換的收斂域收斂域(roc): r |z| r+( )nnx n zm 絕對可和絕對可和 4解：解：例：求下列信號的z變換及收斂域。1( )( )nx na u n2( )(1)nxna un 1101( )1nnnxza za

2、zaz za1211( )1nnnxza zaz521( )( )nnn nx zx n z12(1) n 0roc0z 時，：12(2) n 0, n0roc0z0roc0z 時，：61( )( )nn nx zx n z10: 若n rz 1 0:若nzr rocrx-re zim z72( )( )nnnx zx n z20:若n rz20:若nrz0rocrx+im zre z8( )( )nnx zx n zrzrrocrocrx-rx+im zre z911( )( )2jncx nx z zdz10),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnrrcdzzzxjnxrzrznx

3、zx則：若：c為環形解析域內環繞原點的一條逆時針閉合圍線.imzjrezxrxr0c1.留數法羅朗級數公式：z z反變換反變換11為計算圍線積分，由留數定理可知：11111( )res( )21( )res( )2kmnnzzcknnzzcmx z zdzx z zjx z zdzx z zj 為c內的第k個極點， 為c外的第m個極點， res 表示極點處的留數。使用第二式的條件是分母多項式中的z次數比分子多項式高二次以上。mzkzz反變換12 (2)當zr為l階(多重)極點時的留數11111res( )()( )(1)!rrlnlnz zrz zldx z zzzx z zldz 留數的求法

4、：11res( )()( )rrnnz zrz zx z zzzx z zz反變換(1)當zr為一階極點時的留數13例： 已知1）當n-1時, 在z=0處不會構成極點，此時c內只有一個一階極點 。441,)41)(4()(22 (2)|z|1 (3)1|z|2 (2)|z|1 (3)1|z|2時,x(n)為因果序列，)(2) 1()(3231nunxnn(2)收斂域為|z|1時,x(n)為反因果序列，(3)當收斂域為1|z|2時) 1(2) 1()(3231nunxnn) 1(2)() 1()(3231nununxnn20冪級數展開法基本原理在給定的收斂域內，把x(z)展成冪級數，其系數即為x

5、(n)。01( )( )( 1)(0)(1)nnx zx n zxzxzxz具體過程自學！21雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質11( )( )x nxz111rocxxxrrzr22( )( )xnxz222rocxxxrrzr1.1.線性特性線性特性1212( )( )( )( )ax nbx naxzbxz21rocxxrr 包含注：若線性組合過程中出現某些零點和極點相互抵消注：若線性組合過程中出現某些零點和極點相互抵消時，收斂域會擴大！時，收斂域會擴大！22)()cos()(0nunnx000000000001110111cos() ( ) ( )21( ),11( ),111

6、( ),11111cos() ( ),12 11j nj nnj njjj njjjjn u neeu nz a u nzaazz eu nzeezz eu nzeezzn u nzezez故，例：已知 求其z變換。23雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質2 2位移特性位移特性x n m z mx(z) roc = rx對雙邊序列而言，序列位移不改變其收斂域！對雙邊序列而言，序列位移不改變其收斂域！24例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。0,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxzzzzzzznuzzzznuz組合后，z=1既是零點，又是極點，出

7、現零極點相抵消，收斂域擴大。25雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質3.3.指數加權特性指數加權特性( )( / )zna x nx z a xraroc4. 4. 線性加權線性加權(z(z域微分特性域微分特性) )d ( )( )dx znx nzz xrroc26雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質5.5.共軛序列共軛序列()(1/ )zxnxz xxrzr116.6.時間翻轉時間翻轉(time reversal)(time reversal)( )()xnxzxrroc27雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質7.7.初值定理初值定理lim( )(0)zx zx8. 8.

8、 終值定理終值定理因果序列因果序列x(n)=0,n0,有有x(n)x(n)為因果序列，且為因果序列，且x(z)x(z)的極點處于單位圓以內的極點處于單位圓以內( (單位圓上最多在單位圓上最多在z=1z=1處有一階極點處有一階極點) )，則，則1lim ( )lim(1)( )nzx nzx z28雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質9.9.有限項累加特性有限項累加特性( ) ( )xx zz x nzr因果序列x(n)=0,n0，其z變換為0( )( )max,11nxmzzx mx zzrz29雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質時域的卷積和對應于時域的卷積和對應于z z域是乘積

9、關系域是乘積關系1212xxxxrrzrr10. 10. 序列卷積和序列卷積和1212 ( )( )x nx nxz xzroc 包含rx1rx211. 11. 序列相乘序列相乘(z(z域復卷積定理域復卷積定理) )112121( )( )( )( )2czz x n x nxxv v dvjv時域的乘積對應于時域的乘積對應于z z域是復卷積關系域是復卷積關系30雙邊雙邊z z變換的主要性質變換的主要性質112211max,min,xxxxrvrrr 111122221212( )( )( )( )1,1xxxxxxxxx nxzrzrxnxzrzrrrrr且1121211( )( )( )(

10、)2cnx n xnx v xv dvjv12.parseval12.parseval定理定理31( )( )( )() ()aatanxtx ttxnttnt 理想抽樣信號理想抽樣信號( )ax t的的laplace變換變換x ( )( )()nstaaansxtxnt el32抽樣序列抽樣序列( )()x nx nt的的 z 變換變換()()nnxzx nz ( )()( )ststaz ex zx exs，抽樣序列的，抽樣序列的z變換等于理想抽樣信號的變換等于理想抽樣信號的laplace變換。變換。stze33拉氏變換與拉氏變換與z變換關系的實質變換關系的實質建立起建立起 s (域域) 平面與平面與 z (域域)平面之間的的一一對應關系！平面之間的的一一對應關系！stze1lnsztsjjzretret 34 =0,即s平面的虛軸映射到z平面單位圓(r=1)； 0,即s左半平面映射到z平面單位圓內(r0, 即s右半平面映射到z平面單位圓外(r1) 。r r與與的對應關系的對應關系()trej00jimzrez35(,)t t 與與的關系（的關系（=t=t）0jimzrezt3ttt3j = 0對應于= 0；=0對應于=0t；對應于(, ) 的整個z平面36，laplace變換退化為變換退化為fourier變換。變換。( )()()j tj taz ex zx exj是是sj