1、、解:第一章隨機事件及其概率練習1.1隨機事件與樣本空間1.由于每顆骰子出現1 6點數是等可能性的，同時擲三顆骰子，三個點數之和最小 的為3，最大的為18,故樣本空間為:S=3, 4, 5,18 .2.在此試驗中，可能的結果有 6X 6=36個，故試驗的樣本空間為：S=(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1),(5, 6), (6,6).3.以“ 0”表示次品，“1”表示正品，則試驗的樣本空間為：S=00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.4.設三段長分別為X1,X2, X3，則

2、試驗的樣本空間為：+ X2 + X3 = 1, X1>0, X2>0, X3 >0.S=( X1,X2,X3 )|X1二、解:1.ABC2. A+B+C3. ABCABCABC ABC4.AB+BC+AC5. ABCABCABC三、解：1.ABC2. ABC3. ABCABCABC4.ABCABC ABC5. A+B+C6.ABC四、解：1.依題意：A x| 0X1或1 X22，故1AB x| 42.A Bx|0 x2S.B x|143.AB A B ABx 24.因為AB= X|1 X1，,故 AB x| 0 x1 或 1 X ,22.五、解:x丄或1 x 32 21. A

3、 B C表示1990年以前出版的中文數學書；2. 在“館中的數學書都是 90年后出版的中文版”的條件下, A B C=A;3. CCB表示1990年以前出版的都是中文版。、解:練習1.2隨機事件的概率1. P(AU B)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.9 P(A -B)=P(A) -P(AB)=0.7 -0.4=0.3P(A B) P(AB) 1 P(AB)10.40.6二、解:P(A B) P(AB) 1 P(AB)P(AB) P(B) P(AB)=0.2P(A AB) P(A) P(AB) P(2. P(A+B)=1 -P(A B) 1 P(AB)1 P(A) P(AB)=1 -0

4、.3=0.7)=0.91 P1.以50人中選3人的組合為基本事件，則基本事件總數為甲當選”，故事件A含有C：9個基本事件，因而 P(A)2.以50人中選出以B表示事件C；0,以A表示事件“某C2C49C3。C50則基本事件總數為p50 ,p2“某甲當選為班長”，故事件B含有F42個基本事件，因而P(B) 罟。3人的任一種任職方式(排列)作為基本事件,、解：隨機試驗為任意取 9桶交訂貨人，設 A “如數得到定貨” (4桶白、3桶黑、2桶紅), 基本事件總數為C：7，有利于A的基本事件數為C：oC；C；，所以，四、解:P(A)1. 10張卡片中任取三張有CwCCf252=0.1037。C17243

5、13C10種取法，若取出的3張卡片中最大標數為5,則其余2張上的數只能是 0, 1, 2, 3, 4，這5個數中的2個，有C；種可能取法，因而得p(a)CiC101122.若取出的3數中中間的一數為有c；、c4種取法，共有c55,則最小數取自0, 1,2, 3, 4，C1種取法，故P(B)c；c310最大數取自1。66, 7, 8, 9，各X、Y可以取區間0, 12內的任五、解：1.設X、Y分別表示甲、乙兩輪到達碼頭的時刻，則意一個值，即A表示)的充要條件0 X 12，而兩輪都不需要空出碼頭(用0 Y 12是：丫吠或XY>2，在平面上建立直角坐標系(如圖)，兩輪都不需要空出碼頭的時間如圖

6、中陰影部分所示，這是一個幾何概率問題，所以121100221P(A)288 2882882. A不是不可能事件，故 P(A)=0。練習1.3條件概率與乘法公式、解：1. / P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) , P(AB)=P(A)+P(B) P(A+B)= 0.5+0.4 -0.6=0.3 ;P(AB) 0.3斗宀”P(A|B)=0.75，故應選(D)。P(B) 0.42. 由題知 A, B 相互獨立，則 P(AB)=P(A)P(B)，又 P(A)>0 , P(B)>0 , P(AB)>0,因而 A, B不可能互不相容，故應選 (A)。、解：1. T AA (A

7、U B)=A P(A A (AU B)=P(A)=0.4，又 A、B 相互獨立P(AB)=P(A)P(B)=0.4 0(2=0.08,P(AU B)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.52P(A|A U B)=P(A)P(A B)2.三、解:設B表示選出的“網球是正品”P(A)=P(AB)=P(A|B)P(B)= 0.55從而P(A| B)0.4100.5213 °，顯然A B,15'P(B)1P(AB)10P(B)715依題意知：P(A)30.2141406=0.528.右 P(AB)110P(B|A)=P(A)1040.37547119P(A+B)=P(A)+P(B)

8、 -P(AB)=0.63315151030四、解：設Ai (i=1,2, 3, 4)表示事件“第i次取到紅球”，則 A A4分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為卩(宀民入3瓦4)P(A4 |人人2瓦3)卩(瓦3丨AA2)P(A2 | A)P(AJr arta tr t a r t 2a r t 3a r t五、解：設Ai表示取出的第i件為合格品，則這批產品予以出廠的事件為A1A2A3A4A5，所求事件為 a1A2A3A4A5 P(A2A3A4As) =1 -P(A1A2A3A4A5)=1 -P(A1)P(A2|A1)P(A3a1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5a1A2A3A4),9

9、4 93 92 91 90=1=0.271100 99 98 97 96練習1.4全概率公式和貝葉斯公式A表示“從、解：設B1、B2分別表示“從甲袋中取出的球為白球，黑球放入乙袋”的事件, 乙袋中取出的球為白球”的事件，由題意：P(BJ211P(B2)-, P(A|B1)P(A|B2)332B1, B2為一完備事件組1.2 1由全概率公式知 P(A)=P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)=3 22.P(B1|A)=P(BJP(A|B1)P(B1)P(A|BJ P(B2)P(A|B2)51213512P(B2)P(A| B2)P(B2|A)=w22 -P(Bi)P(A| Bi)i

10、 1二、解：設A表示“從這批產品中任取一件產品為次品”取一件是i廠生產的”33.丄_5_12,Bi (i=1,2, 3)表示“從這批產品中任，依題意B1、B2、B3構成一個完備事件組，由全概率公式P(A)=P(Bi)P(A| Bi) 0.5 0.02 0.2 0.05 0.3 0.04 0.032i 1三、解：設C表示“傳遞出去的信息是A”，D表示“接收到的信息是 A”P(DC)=1 -0.02=0.98根據貝葉斯公式知P(D|C )=0.01P(C|D)=P(C) P(D |C)P(D)-0.983P(C)P(D | C) P(C) P(D |C)3 °981962 11970.9

11、80.011973 3四、解：設A表示第二次摸出的兩只都是正品，B1表示“摸出的兩只都是正品”出的兩只一只是正品，一只是次品”，B3表示“摸出的兩只都是次品”，B2表示“摸C；C；c；c；C：1C! =0.55CsCsCsCsC52CfP(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)五、解：設A表示“此人被診斷為肝癌患者，B表示“此人真的患有肝癌”P(B|A)=P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 0.950.0004 0.95 0.01 0.9996=0.0366比檢查前增加了 0.036600004 =90.

12、5倍0.0004練習1.5事件的獨立性一、 證明P(A U B)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC) P(ACn BC)= P(AC)+P(BC) -P(ABC)又A與C獨立，B與C獨立P(A U B)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C) -P(ABC)若 AB 與 C 獨立時，則 P(ABC)=P(AB)P(C) 此時 P(A U B)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C) -P(AB)P(C)=P(A)+P(B) -P(AB)P(C)=P(A U B)P(C)故 AU B與C獨立， 若AU B與C獨立貝U P(A U B)C)=P(AU B)P(C)，由前面的式子得P(AB

13、C)=P(A)P(C)+P(B)P(C) -P(AU B)P(C)=P(A)+P(B) -P(AU B)P(C)=P(AB)P(C)故AB與C獨立二、解：設兩個信號發生器能起作用的事件分別記作A、B，那么失事時該裝置能發出報警信號的事件為AU B,于是P(AU B)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.98+0.95 -0.98 0.95=0.999三、解：設A表示事件“甲擊中目標” ，B表示“乙擊中目標”，則兩人都中靶可以表示為AB,甲中乙不中可表示為AB，甲不中乙中可表示為 AB ,從而1. P(AB)=P(A)P(B)=0.8 0 0.7=0.562. P(AB) P(A)P(B)=0

14、.8X 0.3=0.243. P( AB)=P( A)P(B)=0.2X 0.7=0.14四、解：設事件 A、B、C分別表示為第一、二、三道工序不出廢品依題意，A、B、C相互獨立，并且P(A)=0.9, P(B)=0.95 , P(C)=0.8P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.684五、 解：1.設Ai表示“甲、乙、丙三臺機床無需照管”i=1,2, 3,則有機床需要工人照管的事件為AA2A3，因而P(AA2A3)1 P(A)P(A2)P(A3)10.8 0.9 0.6 =0.5682.以B表示“機床因無人照看而停工”P(B) P(A1A2A3) PS1A2A3) P(AiA2A3)

15、P(AiA2A3)=0.2 X 0.1 X 0.6+0.2 X 0.9X 0.4+0.8 X 0.1 X 0.4+0.2 X 0.1 X 0.4 =0.124自測題(第一章)1.由交集的定義可知，應選(B)由事件間的關系及運算知，可選( A)41基本事件總數為C8 ,設A表示“恰有3個白球”的事件，A所包含的基本事件數為 C5=5,5故P(A)=-，故應選(D )。C；由題可知 A1、A2互斥，又 0<P(B)<1 , 0<P(A1)<1 , 0<P(A2)<1，所以 P(A1BU A2B)=P(A1B)+P(A2B) P(A1A2B)=P(A1)P(BA1

16、)+P(A2)P(BA2) 故應選(C)。5.因為 A、B 互為對立事件，所以 P(A+B)=1 , P(AB)=0，又 P(A) 0 , P(B)>0, 所以 B =A，因而 P( B |A)=P(A|A)=1，故選(A)二、解：1. AB+BC+AC2. TA、B 相互獨立， P(AB)=P(A)P(B) P(AU B)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.2+0.5 -0.仁0.63. A、B 互不相容，則 P(AB)=0 , P(A -B)=P(A) -P(AB)=0.84. 設A、B、C分別表示事件“第一、二、三次射擊時擊中目標”，則三次射擊中恰有一一次擊中目標可表示為 AB

17、C ABC ABC，即有P( ABC ABCABC)=P(A) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=0.365. 甲產品滯銷或乙產品暢銷。三、解：2.3.4.5.四、解：、解:2.3.4.1.正確不正確 正確不正確不正確設A表示事件“12名中國人彼此不同屬相”個人的屬相看作一次試驗，由乘法原理，這事件A所包含的形式有 P；2種，則P(A)五、解:設Ai表示“第i人能譯出密碼”，i=1,2, 3， 則 aA, A, A3 P (A)=1 -P(A) 1 P(AA2A3)六、解:(1設 A表示通過檢驗認為該產品為正品， 依題意有，每個人的屬相有12種可能，把觀察每

18、 12個屬相的所有可能排列數為1212,而石=0.000054。12A1, A2, A3相互獨立，A表示“密碼譯出”，p(Ajp(A2)p(A3)1113 -)(1 -)(1)5345B表示該產品確為正品P(B| A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)0.960.96 0.980.980.04 0.0599.8%20，12，24件的箱子，Ai、A2分別七、解：設Bi、B2、B3分別表示選出的其中裝有一等品為 表示第一、二次選出的為一等品，依題意，有P(Ai)=P(Bi)P( A |Bi)+P(B2)P(Ai|B2)+P(B3)P(Ai|B3)1 201 121

19、247= =0.4673 503 303 4015312019112 1112423P(AA2)=P( Bi) P( A A2 | Bi)=0.220i 1350493302934039八、解：1. P(B A)=P(B)-P(AB)因為 A,B互斥，故P(AB)=0，而由已知1P(B)=-21 P(BA)=P(B)=2i i2. T P(A)=，由 A B 知：P(AB)=P(A)=331 i i P(B A)=P(B)-P(AB)=2 3 6i -i i 33. P(AB)= P(B A )=P(B) -P(AB)=-8 2 8 8九、解：設Hi表示報名表是第i個地區考生的(i=i, 2,

20、 3), Aj表示第j次抽到的報名表是男生 表(j=1,2)，則1P(Hi)=P(H2)=P(H3)=_3P(Ai 1H i)=二P(A 1 |H 2 )=；P(Ai|H3)=2010152531 375、29(1)P=P(Ai)=P( H i )P( A1 | H i )一(i 13 10152590由全概率公式得7P(A2|Hi)=-,P(A2|H2)=8P(A2|H3)=W10152578_5P(Ai A2|Hi)=- , P( A A|H2)=-,P( AiA2|H3)=30303020)61903P(A2)=P(Hi)P(A2|Hi)i 1_3_P(AiA2)=P(Hi)P(AiA2

21、|Hi)i 11(工 _5)23(30300)9因此，q P(A|A2)PM)P(A2)29612061十、證明:/ 0<P(A)<1 ,900<P(B)<1 P(A|B)=,P(B)P(A|B)P(AB)1 P(A B)P(B)1 P(B)1 P(A) P(B) P(AB)1 P(B)又/ P(A|B)+P(A | B)=11 P(A) P(B) P(AB)1 P(B)化簡，得： P(AB)=P(A)P(B)事件A、B相互獨立P(B) P(AB)第二章隨機事件及其概率2.2離散型隨機變量的概率分布、選擇題：41. 解：由概率分布性質可知，常數a應滿足 P(X k)k

22、1有a=0.1，故應選(B)。1 , a+2a+3a+4a=1，即2.解：X可能取的值為3、4、5。而取這些值的概率依次為 故應選(A )。、填空：PX=k=C'1C52(k=3, 4, 5),1解：設X表示擊中目標的次數，則X服從二項分布，其分布律為：PX=k= Cs 0.6k(1 0.6)5 k C5 0.6k0.45 k (OW k< 5)ke2解： X服從泊松分布，其分布律為PX=k=(k=0, 1,2 , >0)k!1e由已知得：1!23e 2 PX=3=3!2-,求得 2!4e 23=2、解：設 p為一臺儀器能出廠的概率，則p=0.7+0.8 >0.3=0

23、.94，將檢查一臺儀器是否能出廠看成一次試驗，可以認為n =10 , p =0.94，設X為10臺儀器中能出廠的個數，則1. PX=10= Cwp10(1p)00.94102. PX=8= C；0p8(1 p)10 8 C100.9480.0623. PX> 2=1 -P X<2= 1 0.9410 Cw 0.06 0.949四、解：設X表示電子管損壞的數目，依題意 X () =n p =2000X0.0005=1故所求概率為e1PX> 1=1 -P(X=0) =1 -10.63210!e練習2.3隨機變量的分布函數、選擇題1. 解:由已知，得當 x<3 時，F(x)=

24、0當 3w x<4 時，F(x)=P(X=3)=0.1當 4W x<5 時，F(x)=pX=3+ PX=4=0.1+0.7=0.8當 x> 5 時，F(x)=P(X=3)+P(X=4)+PX=5=1，故應選(B)。2.解：TJ31J3Px3F( 3)F331arcta n 一 3a丄 arctan3a31 11 1 1，故應選(C)。36362二、填空題1. 解：由分布函數的定義及性質得：0< F(x)W 1,且x R,故F(x)的定義域是(o, + m),值域是0, 1。12. 解：由已知，當 x 3時，X可取1,321 P X 3 PX 1 PX 30.20.10.

25、32三、解：-X 服從 0 1 分布，且 PX=1= p , PX=0=1 -p0x0 F(x)=1 P0x1，其圖形如下：1x12!222limx四、解：1.由于 F(+ o)= lim F(x)x10，可見F(x)不是分布函數。1 x22.易見，F(x)在(,+ o)上連續，對于x>0，有F(X)(1J 0，可見F(x)單 x)調遞增，由 F(-m)=0, F(+ o)=1，可見 0w F(x)w 1。因此F(x)可以是隨機變量的分布函數。2!k!五、解：1.由性質 PX k 1，即C 1k 02 xk!k2.由 1 知：PX=k= ek!P 1 w X<3= PX=1+ P

26、X=2= e練習2.4連續性隨機變量的概率密度、選擇題1.解：因為在 0, 上，函數 P（x）=sinx > 0,并且2可以有如下密度1，所以隨機變量 Xsinx, 0 x ”宀* / 小、P（x）=2，故應選（c）。0,其它2.由連續型隨機變量概率密度的性質，故應選（3.解：T X N( , 4)PXW 2+=P值不隨的變化而變化,二、填空題P X< 2+C)。X2值隨22增大而不變,1（1），而（1）故應選（C）。1解：由性質f (x)dx1xdx000dxax解得:2解：12a=2X N(a,2a3解:三、解：設因而2)P a <X< a+k2 (k) 10.95

27、2(a2x)dxOdx=P(k)1.95=0.9752k=1.96/當x>0時，當x< 0時，e x, f(x)=f(x)= F (x)f(x)=0x 0(1 e0 , x 0X表示電阻 R的阻值。貝y XU(900, 1100)1J200， 0 ,900 x 1100f(x)= 1100 9000,其它900 x 1100其它0, x 900x 900分布函數F(x)=, 900 x11009001, x 1100x1100=-0 , x 900900,900 x 11002001, x 1100四、解:(1)由性質 f(x)dx 1A arctanx即：Adx1 x1A=由(1

28、)知 f(x)=1 11x1 2xF(x)= f (x) dx1 arcta nxX 11_2 dx1x8 4 8 1111PX=0=-84821 1arcta n x2-丄 arcta nx2(O <x<+ g )1 1 1 1(3) P(-1< X<1)=F(1) -F(-1)=- - 2 424 1 1 11 1112 42441000五、解：任取一只電子管，其壽命大于1500小時的概率為:1000PX>1500=廠 dx150021500 以Y記所取5只中壽命大于1500小時的電子管的數目。 則丫B 5, 2，故所求概率為3P Y> 2= 1PY=0

29、 -P Y=1=1 -C?C；232243練習2.5多維隨機變量及其分布1解：Pij1i j11111即:C 1一、填空題848661c=61 1 PY=1=46又/ F(x, y)=P(X$, F(1,2)=P(XW1,2、解：T X，Y相互獨立 P(X=1 , Y=1)=P(X=1) P(Y=1)11即:16163a=-1612丫鬥)YW 2)=1161a16又/i1Pjj3169 b=-16x3.解：F(x, y)=16f (x, y)dxdy120 220""22(16 x )(25x 1 2 dxxpdxdy y )12 dyy5二、解:1.20arcta nx4

30、1412arcta n42解： X, Y相互獨立 f(x, y)= f(x) f(y)x21=2 e2 21 二y-丄e 22arcta n 51依題意知：(X1, X2)的可能取值為(0, 0),(0, 1), (0, 2), (1,0), (1, 1), (2, 0)41/ P(X1=0, X2=0)=PX1=0 pX2=0|X1=0=16441P(X1=0, X2=1)=1641 1P(X1=O, X2=2)=P(X1=1, X2=0)=1641111P(X1=1, X2=1)= P(X1=2, X2=0)=-84416P(X1=1, X2=2)=P(X 仁2, X2=1)= P(X1=

31、2, X2=2)=0(X1, X2)的聯合分布律：2. 關于X1的分布律為:X1012961P161616X2012P961161616關于X2的分布律為:解：1.依題意得知(X, Y)的聯合分布密度為：1,a x b, c y d f(x, y)= (b a)(d c)0,其它2.由二維隨機變量邊緣分布密度的定義，得：四、解:fx(x) f (x, y)dy即：x2f (x, y) dxdyR2x2C(RR22 2x y ) dxdyc (b a)(d0,c)dy b , b aa x b其它fY(y)f (x, y)dxB11dx,c xda (ba)(dc)d c0,其它11a xbc

32、y cfX (x)= b afY (y)=d c0,其它0,其它d1.11.由性質f (x, y)dxdy12.Ro C( R r)r drR313 C= 3 R依題意，所求概率為:x2f (x, y) dxdy2 2y r)dxdy3 2rR3 0d(R0 r)rdr62 r3 r3r2 ,2r3 R R3=2 123R23R2(Rx2r2y2x2 y五、解：1. fx|Y(x|y)= f(x" fY(y)f (x, y) fYx(y|x)= fx(x)而fx(x)=f (x,y)dy2e (2xy)dy2e2x, x 0fY(y)=f (x,y)dx0,其它2e(2xy)dxey

33、, y 0,其它fx|Y(x| y)c 2x2e0 ,x 0,y其它fY|x(y | y)e0,0,y其它(2x2.由1知fx(x)fY(y)2e0,y),x其它0,y0= f (x, y) X,Y相互獨立3. PX2|Y1 PX 2,Y1P(Y 1)2dx0 00 fr(y)dy2e (2x y)d yPX2|Y六、解:則:(1 e)(1 e4)1 PX 2,Y1P(y 1)0w xw 1, y2w x 的面積A 2' xd x01.區域4/3依題意有:f(x,y)1 c,0 x A0,其它2. fx (x)f (x, y)dyfY(y)f (x,y)dy fx (x)x, 0:0,

34、 其它20 f(x,1)dxfY(1)A由圖如示：(1 e4)e11,y23/4,0,0 x其它1,!dy0,1 3 .2 d x y 40,x,0其它32;(1 y2),1 yfY(y)其它3 2;(1 y2),40,其它又 fx(x) fY(y) f(x,y)3. PX2X, Y不相互獨立.1j fx(x)dxPYPX12 fY(y)dy23 xdx 0 21 23(11412、2313 y .1沙 i)212dxX-f (x, y)dy Xy2)dy -4-22、xdx4 0273212 . 2練習2.6隨機變量函數的分布一、選擇題1.解： X在0, 1上服從均勻分布，而1 w Y=2X

35、+1 w 31 1 y 3 Y在1, 3上服從均勻分布 f(y)= 2y0,其它2.解： PXY 0 PX 0PY 0 PX0,Y=0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.3+ 0.1 0.1=07故應選(B)0故應選(C)1.、填空題解：Y210-243P111111126312412由已知得丫=1 X的分布律:2.解: PYW y= P(X3< y)=P(XW 3 y )=Fx(3 y )Y=X3的分布密度為3.解:2 1(y)= Fx(3一 y) 3y 3 f(y3)，滬03當 0<x<1 時， e-<y=e-<1/ P(Yw y)=P(eXw y)=P(X

36、> Iny)=1 -P(X< -ny)=1 -F(-Iny) 當e-<y<1時Y=e-X的分布密度為(y) 1 F( In y)2ln fY(y)0三、解：設x表示球的直徑，f( In y)1e y其它則 XU(a, b)1b a0,y/y,f(x)4又設Y表示球的體積，則 丫=蘭3(y)(In1y)2l ny/ y其它四、五、13 1當 aw xw b 時，a y6 61 3而 P(Y y)= P( X3 y) PX6.當一a36(y) F (6y/fY(y)解：由已知x3b31(6y/ 円b3時，球體積的分布密度61)'1f(6y/ )3(6y/2y31F(

37、6y/ )列(b a 90,X -1(0, 1).x的分布密度為1)3ya(93a6其它1)?22 x"21e2F y (y),分布密度為f(x)=設Y的分布函數為當 yw 1 時 Fy(y) P(Y y) P(1(y)2|X |)y)= P(|X|> 1一y )=2P(XW 1一y )2 22Ll 1 工=2 2£ e 2 dx(y 1)21(y)2e歸納得Y=1 2X1的分布密度為(y 1)281(y),2 e0解： X, Y相互獨立f(x, y) fx(x)由卷積公式得:fz(Z)fx (x)8 , (yw 1),其它fy(y)fY(Z2x z1 e dx又/

38、y>0如圖所示: z-2x>0當 0W z<2 時，fz(z)e y,0 x0,其它2x)dx z>2xz2e2x0zdx1(11,ye z)當z> 2時,fz(Z)2x zdxez)昇 1)ez當z<0時,fZ (z)=0。 fz(z)0,1(1(e2z),1)e六、解：Pmax(X,Y) >0=P(X>0)=PX47(Y> 0) 037PY570PX 0,Y0自測題(第二章)、選擇題1 解 T PXi 11kb1故選(C)f (x)dx即: 0bx .ae dxa=1bb=-a又 T f(x)= a ebx> 023 解 T X

39、N(,)二 a>0故選(D)u)22 21 (x f(x)=e由4個結論驗得(B)為正確答案4 解 t P(X Y) PX 1,Y1112 2PX 2,Y5339故選(D)5解因為F(x)必須滿足條件0< F(x) w 1 ,而只有取2a -,b5-時，才會使0w F(x)5滿足，故選(A)二、填空題1解TPj =1i j當X, Y相互獨立 a =( a +0.2)( a +0.20.3=1即有=0.5 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) )fx (x)= f(x, y)d yJ22 d y(X 1)22 2e 1=212.53 解/f (x)dx 10kx2dxk

40、=13 k=34 解 T XN(10, 0.02sin x, )9 95 P9.95 w X<10.05= P5解 /X, Y相到獨立100.02=2 (2.5) 1 f(x, y)=fX(x)fY(y)10.°5 10 P 2.5 X0.020.993810.9876三、解(1) T f (x)d x =1,即4 Acos xdx7As in |4,2A=1當 x<-時，F(x)=04當|x|w 時,4F(x)f (x)dxF(x)f (x)dxx 'cosxdx7 2cosxdx=14 21 2 . sinx2 2- F(x)0,.2 .1,f (x)dxP0

41、66 - 26 cosxd x0 2四、解：(1) T X可能的取值為0, 1,2, 3設Ai=第I個元件出故障)i=1,2, 3 p(x 0) p(Ajp(A2)p(A3)=(1-012)(1-0.3)(1-0.5)=0-28P(X 1) P(AA2A3)(A1A2A3)卩(4入2入3)= P(AJP(A2)P(A3)P(AJP(A2)P(A3)P(AJP(A2)P(A3) =0.2 )0.7 0.5+0.8 0.3 E.5+0.8 0.7 %.5=0.47 同理 P(X=2)=P( A,A2A3) P(A,A2A3)卩(4入2人3)=0.22P(X 3)P(A1A2A3) P(A)P(A2

42、)P(A3)=0.03 X的分布律：X0123P0.280.470.220.03 由(1)及分布函數的定義知當 x<0 時，F(x)=0五、八、七、當 OW x<1 時，F(x)=P(X=0)=0.28當 1W x<2 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75當 2W x<3 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)=0.97當 x>3 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+ P(X=3)=100.28二 F(x) 0.750.971其圖為解：分別記 X, Y的分布函數為由于y=x20,故當yw 0時，當 y=x2>

43、0 時，有 FY(y)=P(YW y)=P(Xy x e dx 1 e 0y=_ fx(x)dx將FY(y)關于y求導數，即得Fx(x), FY(y)FY(y)=02W y)=p(_, y W X w、y)yfY(y)(1e y)y的概率密度為y( 3)其它12 丁0,解：(1)由題意得：-,0 xfx (x)20,其它又 X,Y相互獨立二 fY(y)-f(x, y)=fx(x)fY(y)= PX 丫 |其它fY(y)120,其它140,0x2其它f (x, y)d xd y321dxd y ?423=2 d x0解：(1)由 P(XY=0)=1，可見 PX=-1, Y=1= PX=1, Y=1=0 易見 PX 1,Y0 PXx19d y =-4 '32PX 0,Y1 PY 11；2PX1,Y0 PX1PX10,Y01 (-141)=04曰是，-1140得(2) / P(X=0, Y=0)=0 而 P(X=0)P(1Y=0)=2(144)4 P(X=0) P(Y=0)豐 P(