1、線性代數總復習最新行列式行列式考試內容：行列式的概念和基本性質 行列式按行(列)展開定理考試要求考試要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質.2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.矩陣矩陣考試要求1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質.2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解

2、矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法.5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則.考研數學大綱線性代數總復習最新向量向量考試要求1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數乘運算法則.2.理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.3.理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.5.了解內積的概念.掌握線性無關向量組正交規范化的施密特(Schmidt)方法.線性代數總復習最新線性方程組線性方程組考試要求1.會用克萊姆法則

3、解線性方程組.2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法.3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量考試要求1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質線性代數總復習最新二次型二次型考試要求1.了解二次型的概念，會用矩陣

4、形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形.3.理解正定二次型.正定矩陣的概念，并掌握其判別法.線性代數總復習最新線性代數解題的八種思維定勢線性代數解題的八種思維定勢第一句話：第一句話：題設條件與代數余子式Aij或A*有關，則立即聯想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E 。 第二句話：第二句話：若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯想到用逆矩陣的定義去分析。 第三句話：第三句話：若題設n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+

5、bE再說。 第四句話：第四句話：若要證明一組向量1,2,s線性無關，先考慮用定義再說。 第五句話：第五句話：若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。 第六句話：第六句話：若由題設條件要求確定參數的取值，聯想到是否有某行列式為零再說。 第七句話：第七句話：若已知A的特征向量a，則先用定義Aa=a處理一下再說。 第八句話：第八句話：若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新 001001A例題：設，求AK解： 首先觀察 0010010010012A 222002012 32323230030

6、33 AAA由此推測 kkkkkkkkkkkA 0002)1(121線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新一一. 初等變換和初等變換法初等變換和初等變換法1. 矩陣初等變換的應用矩陣的初等變換應用在兩個方面:(1) 線性方程組的解的情況討論和求解.對增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換.(2) 計算矩陣和向量組的秩.初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩.在(1)中,只可用行變換,決不可用列變換.在(2)中兩類變換都可以用,表示可交替使用.每一種應用都要用到一種基本運算:用初等(行)變

7、換把一個矩陣化為階梯形矩陣或簡單階梯形矩陣.每個矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣, 每個階梯形矩陣都可用初等行變換化為最簡型.可逆矩陣可以用初等行變換化為單位矩陣.線性代數總復習最新2.秩的計算有關結論:(1) 矩陣的秩等于它的行(列)向量組的秩.(2) 初等(行,列)變換不改變矩陣的秩.(3) 階梯形矩陣的秩就是它的非零行的個數.由此得到計算方法如下:矩陣A的秩r(A): 用初等變換把A化為階梯形矩陣,其非零行數就是r(A).向量組a1,a2,as的秩r(a1,a2,as):作矩陣A=(a1,a2,as), 用初等變換把A化為階梯形矩陣,其非零行數就是r(a1,a2,as).線性代數總復習

8、最新TTTP) 1 , 1 , 1 (,) 1, 0 , 1 (,) 0 , 1, 1 (,100101010321例：已知求312111,PPPAPPPA1110121001,311221001求例例：已知線性代數總復習最新線性代數總復習最新二二. 矩陣乘法矩陣乘法1.兩個規律設A A是mn矩陣B B是ns矩陣. A A的列向量組為a a1,a a2,a an,B B的列向量組為b b1, b b2,b bs, AB AB的列向量組為g g1, g g2,g gs,則根據矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形): ABAB的每個列向量為:g gi=A Ab bi,i=1,2,s.即A

9、 A(b b1, b b2,b bs)= (A Ab b1,A Ab b2,A Ab bs). 若b b=(b1,b2,bn)T,則A Ab b= b1a a1+b2a a2+bna an.2.乘積矩陣的列向量 乘積矩陣ABAB的第i個列向量g gi是A A的列向量組a a1, a a2,a an的線性組合,組合的系數就是B B的第i個列向量b bi的各分量.3. 矩陣分解矩陣分解:當一個矩陣C C的每個列向量都是另一個A A的列向量組的線性組合時,可以構造一個矩陣B B,使得C C=ABAB. 線性代數總復習最新4.乘積矩陣的行向量乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數

10、就是A的第i個行向量的各分量.對角矩陣在矩陣乘法中的作用:如果一個對角矩陣在矩陣乘法中處于右側,等同于用它對角線上各數依次乘左邊矩陣的各列向量; 如果對角矩陣處于左側,等同于用它對角線上各數依次乘右邊矩陣的各行向量.初等矩陣在矩陣乘法中的作用: 初等矩陣在右(左)邊乘一個矩陣A,等同于對A作一次相應的初等列(行)變換.線性代數總復習最新三三.可逆矩陣的充分必要條件可逆矩陣的充分必要條件n階矩陣A可逆A的行列式|A|0 r(A)=n AX=0只有零解(AX=b有唯一解)0不是A的特征值.A-cE可逆c不是A的特征值.線性代數總復習最新 APP1例題：設 1141P 2001其中求A11 APP1

11、1 PPA11111 PPA解：由可得所以 1141311P 11111120012001 31313431200111411111A 68468327322731線性代數總復習最新例例1 1：設 gagbagbagba2,3 ,2(),(CAABCB則211012131例例2：設3階矩陣BBAA求)94,32,(, 1),(321321321321aaaaaaaaaaaa線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新一向量組的線性關系一向量組的線性關系,秩秩本部分的特點是概念性強,抽象,因此是最

12、難的部分,但又是全課程的理論基礎,理論制高點,也是考試的重點之所在.基本概念有:線性表示,線性相關性, 向量組的極大無關組和秩,矩陣的秩.秩是起到關鍵性作用的量,它既有用,又好算,應該充分注意它的應用.1. 線性表示(1)向量b可用a1,a2,as 線性表示(記作ba1,a2,as ),即n維向量b是a1,a2,as的一個線性組合.其重要性在于和線性方程組有沒有解的關系:“b是否可以用a1, a2,as線性表示? 表示方式是否唯一？”也就是“線性方程組AX=b是否有解？解是否唯一？”其中A=(a1, a2,as ).(2) b1,b2,bt可以用a1,a2,as線性表示(記作b1,b2,bta

13、1,a2,as ),即每個bi 都可以用a1,a2,as線性表示. (3) 向量組a1,a2,as 和b1,b2,bt等價等價,即它們互相都可以表示,記作a1,a2,as b1,b2,bt.線性代數總復習最新線性表示的判斷線性表示的判斷:(1) b可用a1,a2,as 線性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).(事實上若b不可用a1,a2,as 線性表示,則r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.)(2)b1,b2,bt可以用a1,a2,as 線性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).從而有 r(b1,b2,bt)r(a1,

14、a2, ,as ).(3) a1,a2,as和b1,b2,bt等價 r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt). 線性代數總復習最新2. 向量組的線性相關性(1)定義和意義定義定義 設a1,a2,as 是n維向量組,如果存在不全為0的一組數c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,則說a1,a2,as 線性相關線性相關,否則(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必須c1,c2,cs全為0)就說它們線性無關線性無關.和齊次線性方程組的關系和齊次線性方程組的關系 “a1,a2,as 線性相關還是無關”也就是“向量方程x1a1+

15、 x2a2+xsas=0有沒有非零解”,也就是齊次線性方程組AX=0有沒有非零解.意義意義 在s1時,線性無關就是每個 aI都不能用其它向量線性表示; 線性相關就是有向量(不必每個)可以用其它向量線性表示.線性代數總復習最新(2) 線性相關性的判別: 當向量的個數s大于維數n時, a1, a2,as 一定線性相關.如果向量的個數s等于維數n,則 a1, a2,an線性相關| a1, a2,an|=0. 線性無關向量組的每個部分組都無關. 如果a1,a2,as 線性無關, 則a1,a2,as ,b線性無關b不能用a1,a2,as 線性表示. 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 線性表示，

16、并且ts,則b1,b2,bt線性相關. a1,a2,as 線性無關 r(a1,a2,as)=s.有時還要用定義,例如要證明a1,a2,as 線性無關, 就要說明從c1a1+c2a2+csas=0可推出c1,c2,cs全為0.線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新3.向量組的極大無關組和秩秩是向量組內在線性性質的定量研究.它是刻畫向量組相關“程度”的一個數量概念.它表明向量組可以有多大(指包含向量的個數)的線性無關的部分組.定義定義 設a1,a2,as 是n維向量組,(I)是它的一個部分組.如果 (I) 線性無關. (I) 再擴大就線性相關. 就稱(I)為a1,a2,as 的一個極大無關組極大無關組.極大無關組中所包含向量的個數稱為a1,a2,as 的秩秩,記作r(a1,a2,as).如果a1,a2,as 全是零向量(此時極大無關組不存在),則規定r(a1,a2,as)=0.于是,0r(a1,a2,as)個數s,維數n.線性代數總復習最新線性代數總復習最新線性代數總復習最新1232023baA12001111abB例：有3階矩陣已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和r(AB).saaa，21是齊次方程程組 的基礎解系0AX例2已知,211aabt111322,aabaabaabtttssssssbbb,21t取什么