1、知識立意還是能力立意 2016年11月21日下午，筆者在南寧市9中聽了一節視導課，內容是反比例函數圖像和性質。聽市教研員農老師說，“反比例函數圖像和性質”這節課曾是全國初中數學優質課比賽決賽的題目，由此可見這節課內容的重要以及其能夠很好考查教師對于“三個理解”的掌握程度和教學基本功。下面我就按照這節課的流程談談一些看法。 一、復習引入環節。執教者在讓學生讀反比例函數的概念后提問：上節課我們學習了的概念，類比前面學習一次函數和二次函數的方法，這節課我們學習？課標指出：數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。注重啟

2、發學生積極思考，創設有助于學生自主學習的問題情境，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。根據課標的精神，先提出問題，改成這樣提問“這節課我們要干什么（學什么）？”是否會更好些？等學生回答后再問“為什么接下來先學這個內容”，若學生自己能回答用類比思想，學習函數的一般套路是：概念-圖象和性質-應用，只有先學圖象和性質才能利用圖象和性質去解決問題（應用），若能這樣就更好了。就像農老師說的那樣：“為什么要學函數呢？方程也可以解決問題啊，學函數不僅是為了利用它去解決問題，還要通過學它來感悟思想方法。”誠然，若問為什么學函數，說淺一點，方程一般只能用來

3、解實際問題，且不能解決所有的實際問題，當涉及最值、圖形運動與變化時，常常需要利用函數圖象及其性質的知識。說深一點，從函數的觀點看數與式、方程與不等式，可以進一步加深對它們的理解。學習函數可以發展學生的符號意識、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型思想以及應用意識和創新意識，可以滲透類比思想、分類思想、從特殊到一般的思想、數形結合思想、函數思想，可以掌握學習函數乃至學習數學的一般方法。 二、探究新知環節。這個環節其實就是分析問題（怎樣學）和解決問題。執教者用提示的話語引導學生先分k0和k0和k0和k0和k0和a0和k0的情況，讓學生在學案上畫的圖象。在這里是否可以先問一個問題“你能畫出k0時的圖象

4、嗎？”學生可能就會回答“需要取定一個k的值才能畫。”這樣再追問“為什么要先取一個具體的值才能知道k0時的圖象？”這樣就可以趁機滲透從特殊到一般的思想。大數學家希爾伯特說過：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”波利亞也說過：“如果你不能解決所提出的問題，那么可現去解決一個更特殊的問題或解決這個問題的一部分。”華羅庚教授也強調：解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚問題的地方，認透了，鉆深了，然后再上去。所有這些世界聞名的數學大師都非常重視特殊化的方法，先退后進，以退求進。我覺得不給學生看課本、不給出提示k取6，讓學生自己取一個值畫圖，然后圖象連帶表格一起投影，比較分析為何

5、k取6比較好。 得出圖象后執教者引導學生探究圖象的特征。在這之前是否可以問一下“這里我們從解析式出發，經過列表、描點連線得到圖象，是運用了什么數學思想？”讓學生知道這是數形結合思想，具體一點是從數到形。接下來先問一下“得到函數圖象后我們研究什么呢？”也許有些學生會回答“研究圖象的形狀、位置、特征。”當然也可能沒有，也許會有些學生回答“研究函數的性質。”若這樣就可提示學生回憶以前所學知識即可得出答案。形狀、位置很容易看出來，學生回答后執教者問了一個問題“是不是所有k0的圖象都這樣？”這個問題問得不錯，若是學生能自己提出來就好了，若還有學生會問“老師，能用推理的方法來說明嗎？”就更好了。之后執教者

6、用幾何畫板演示說明，我正奇怪為何不用演繹推理的方法說明位置問題，接下來執教者就問“我們能否從解析式證明k0時在、象限？”第一個同學回答不出來，第二個同學回答出來，這里問一下“你是怎樣想出來的？”揭示思維探索過程，讓學生學會如何解題是否會好些？ 圖象特征可就沒有這么簡單了。執教者用幾個問題“圖象與坐標軸相交嗎？”、“隨著曲線的延伸，曲線是往里彎（偏離坐標軸）還是往外彎（越來越靠近坐標軸）？”“圖象是不是對稱圖形？”來引導學生進行探究。若是學生能自己提出這些問題該有多好，但是很多時候學生是不會、不愛也不敢提問，那只能由我們來引導、來培養和提高他們發現問題和提出問題的能力了。反比例函數圖象是曲線，那

7、我們就以二次函數圖象來類比分析，我們研究二次函數圖象特征時討論到開口方向、大小、一些特殊點（頂點、與坐標軸的交點）、對稱軸（拋物線是軸對稱圖形）、隨著曲線的延伸越來越偏離對稱軸（隨x的增大或減小函數值的變化情況）。類似的，我們將要研究反比例函數圖象的哪些特征呢？學生由解析式很容易得出“圖象與坐標軸不相交”的結論。那么第二個問題呢？學生回答“靠近坐標軸”后，謝老師問“你是如何得出的？”學生回答“通過看表格和圖象猜測得到”，這時執教者利用幾何畫板演示說明。太可惜了，為什么不追問一句“你能證明嗎？”也許執教者認為這是漸近線知識，到高中才學，其實這個問題很容易，不需用到高中知識，況且這個問題和課本第5

8、頁連問2次“你能由解析式說明這些結論嗎？”有點相似和聯系。“反比例函數圖象是不是對稱圖形？”學生很容易知道是中心對稱圖形，老師再提問“那它是軸對稱圖形嗎？若是，在哪里？”學生經仔細觀察思考，也發現圖象關于直線y=x軸對稱，執教者說“我們利用幾何畫板來演示一下看看”就過了，太遺憾了，其實還有一條對稱軸是直線y=-x，所以應該問一下“還有沒有其他的對稱軸”、“怎么證明？”利用信息技術有助于觀察發現（合情推理），但不能以此來說明或證明。課標指出：現代信息技術的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現原有的教學手段難以達到甚至達不到的效果。不應在數學教學過程中簡單地將信息技術作為縮短思維過程

9、、加大教學容量的工具；不提倡計算機上的模擬實驗來代替學生能夠操作的實踐活動；也不提倡利用計算機演示來代替學生的直觀想象，弱化學生對數學規律的探索活動。同時課標強調：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，發展學生的合情推理能力，知道結論的正確性需要演繹推理的確認。 接下來是結合圖象探究性質，執教者通過提問學生的方式來進行。記得有位男生回答時漏掉“在每一個象限內”這個前提條件，這種情況可能是學生類比一次函數的增減性得出的結論，是一種負遷移，應該捕捉這個生成，因勢利導，引導學生舉出反例，分析問題出在哪里，這樣才能加深理解。得出性

10、質后執教者也及時滲透了數形結合的思想，具體一點是從形到數。只有證明才有說服力，課本第5頁連問2次“你能由解析式說明這些結論嗎？”且有“并結合解析式，我們可以發現”這樣一句話，所以該問。至此，k0時的圖象與性質探究完畢。再類比k0探究k0和k0時的情況進行分析。k0時圖象在、象限以及圖象與坐標軸不相交在課堂上已經推理證明，反比例函數圖象是中心對稱圖形、單調性也易證，下面證明：1.隨著曲線的延伸，曲線越來越靠近坐標軸；2.反比例函數圖象關于直線y=x軸對稱。證明：用表示增大，表示減小。這里用絕對值避免了討論符號（正負），運用了轉化思想把實數轉化為算術數。當然，逆向證明也可以。設點A（a,b）是雙曲

11、線上任意一點，則A1（b,a）、A（-b,-a）也在雙曲線上,再證明線段A1A被直線y=x垂直平分、線段AA被直線y=-x垂直平分即可。 在評課時農老師說對稱特征課標不要求，其證明可能用到高中知識。農老師可能站在比較高的角度去分析，按照他的意思可能用“兩條直線互相垂直，則斜率的乘積k1k2=-1”和“中點坐標公式（，）”來求。若用中點坐標公式，還有幾種方法（不需用k1k2=-1，用初中知識即可。）在這里就不說了。倒是中點坐標公式值得一提（可能有些老師在課堂中也讓學生記），因為中點坐標公式可以很好地滲透從特殊到一般的思想，求解思路我就用幾個圖來說明吧： 課標指出培養目標是：人人都能獲得良好的數學

12、教育（普及性），不同的人在數學上得到不同的發展（發展性）。所以我們可視學生基礎而定，若學生基礎較差則不講，若學生基礎較好則講，否則總是提問一些簡單的問題，怎能激發他們的興趣？又怎能提高他們的能力？要不就留作課后探究作業。毛爺爺說過：具體情況具體分析嘛。 用初中知識用表達式不能解答為何像圖1這樣彎而不是像圖2圖3圖4這樣彎 需要用到高中導數的知識。（k0時的情況）由此圖可知圖2中x0時雖有y隨x增大而增大，但y0。由此圖可知圖4中x0時雖有y0，但y隨x增大而減小。（圖3與圖4道理一樣）附文2：一些教育觀點 大數學家克萊因說過：“唱歌能使你煥發激情，美術能使你賞心悅目，詩歌能使你撥動心弦，哲學能

13、使你增長智慧，科學能使你改善物質生活，但數學能給你以上的一切！”我們要學會欣賞數學的簡單美、抽象美、統一美、對稱美、精確美、模糊美。 愛因斯坦說過:“提出問題比解決問題更重要。”哈爾莫斯也說過：“問題是數學的心臟。”陶行知也說過：“發明千千萬，起點在一問。”數學的起源和發展就是由問題引起的，數學是在不斷地發現和提出問題并不斷地加以解決中前進的，數學教學也應該是圍繞問題來進行的。物理學家與現代物理教育家趙凱華教授說：“中國史書上有哈雷彗星的出現，差不多有完整的記錄，但從來沒有人問它的軌道，更不會提出像“這些記錄是否屬于同一彗星”這類最基本的問題。” 古希臘著名哲學家、思想家亞里士多德曾說過:“吾

14、愛吾師，吾更愛真理！”韓愈在師說中也提到：弟子不必不如師，師不必賢于弟子。我們應該有不唯書，不唯上的精神。為什么著名科學家錢學森會提出著名的“錢學森之問”？這個問題值得我們反思。“再創造、數學化”是荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾教育思想的核心，著名數學家、數學教育家波利亞也認為：“學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”華羅庚教授說：“對書本的某些原理、公式，我們在學習的時候，不僅應該記住它的結論，懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，經過多少曲折，攻破多少關鍵，才得出這個結論的。而且還不妨進一步設想一下，如

15、果書本上還沒有作出結論，我自己設身處地，應該怎樣去得出這個結果？”日本數學教育家米山國藏在其所著的數學精神、思想和方法一書的序言中寫到：“學生在初中高中接受的數學知識，出校門不到一兩年，很快就忘掉了，然而，不管他們從事什么業務工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點，卻隨時隨地地發揮作用，使他們受益終生。”數學思想方法是將數學知識轉化為數學能力的橋梁，因此，在教學過程中，我們應該既要關注結果，更要關注結果背后的產生過程，因為知識獲得的過程蘊涵著數學的靈魂-數學思想方法。我們需要充分挖掘教材內容和提煉解題過程中所隱藏的最有價值的東西傳授給學生。子曰：“不憤

16、不啟，不悱不發。”“學而不思則罔，思而不學則殆。”“授之于魚，不如授之于漁。”葉圣陶先生也說過：“教是為了不教。”教學就是教學生學會怎樣學習知識，達到不用教的境界。 章建躍博士在中學數學課改的十個論題中說到：“理解數學”是當好數學教師的前提，在數學教師的知識結構中，第一要素是“數學素養”，其主要內涵是：了解數學知識的背景，準確把握數學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領悟內容所反映的思想方法，具有挖掘知識所蘊涵的科學方法、理性思維過程和價值觀資源的能力。他認為：盡管現在中學數學教師的學歷達標率較高，還有許多數學教師具有碩士、博士學位，但總體而言，對中學數學課程中的內容及其反映的思想方法的

17、理解水平仍有很大的提高空間。章博士在談到對中學課堂教學的總體印象時說：課堂教學的品味不高是普遍性的，許多教師匠氣十足，一切圍繞升學考試轉，以題型教學、技巧訓練代替數學教學，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、精神追求，極大地損害了數學的育人功能。 下面是原中國數學會理事、著名數學特級教師孫維剛老師的觀點。 知識是需要的，但我們更需要的，是駕馭知識的睿智，是面對陌生的科技難題，敢于直面善于功克的創新能力，它的本質，是高超的思維水平，是智力素質。所以，教學的目的和實施，應當是，通過知識的教學，不斷發展學生的智力素質，造就他們強大的頭腦，把不聰明的孩子變聰明起來，讓聰明的孩子更加聰明。 在教學過程中，對

18、任何細節，都鼓勵學生追溯本源，凡事都去問為什么，尋找它與其他事物之間的聯系，使它逐漸成為學生的一種根深蒂固的習慣。 站在系統的高度對知識八方聯系的結果，發現它們是那樣盤根錯節，又渾然一體，而到后來，愈來愈加“漫江碧透，魚翔淺底”，知識好像在手心里，了如指掌，不再是那一堆瓦礫，不再是那一片望而生畏的戈壁灘。更重要的是，漸漸使學生的思維養成時時處在浮想聯翩、思潮如涌的狀態。培養學生勤思、善思，讓思考成為習慣。 人類歷史上，大凡著名的數學家、物理學家、化學家以及軍事家、政治家等等，無不同時是哲學家、思想家。盡管他們在哲學上的成就不像他們在各自學科領域中的成就那樣耀眼，但他們都是站在哲理的高度，站在思想的高度，進行觀察，進行思考的。把握住哲學，便可能也才能高屋建瓴，勢如破竹，深入本質，切中要害。 在課堂上，要創造條件，造就學生總是想在老師的前面，向老師（包括課本）挑戰，讓學生在思維運動中訓練思維，真正做課堂的主人。我