1、型曲線積分北工大型曲線積分北工大一、第一型曲線積分一、第一型曲線積分二、第二型曲線積分二、第二型曲線積分三、第一型與第二型曲線積分的關(guān)系三、第一型與第二型曲線積分的關(guān)系四、格林公式四、格林公式五、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件五、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件型曲線積分北工大引入引入 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M),(ii L1M. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度。表表示示 .,1121iiinMMsMMM .),(iiiisM 取近似取近似,),(1iiiiMM ),(yx 求求 的質(zhì)量的質(zhì)量M M。 AB的線密度的線密度AB連續(xù)，連續(xù)，一一.第一型

2、曲線積分第一型曲線積分型曲線積分北工大取極限取極限.),(lim10)( niiiiTsM 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 在可求長(zhǎng)曲線在可求長(zhǎng)曲線有定義有定義. .用任意分法用任意分法 將曲線將曲線),(yxf),(BAC求和求和.),(1 niiiisM nsssT ,max)(21 ),(BAC分成分成n個(gè)小弧：個(gè)小弧：,10AA,21AA,1nnAA 長(zhǎng)度分別為：長(zhǎng)度分別為：.,21nsss 型曲線積分北工大,),(1kkkkAA nkkkknsfQ1),( 積分和積分和 nsssT ,max)(21 1.1.定義定義 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 在可求長(zhǎng)曲線在可求長(zhǎng)曲線有定義，若當(dāng)有定義，若當(dāng) 時(shí)，

3、二元時(shí)，二元函數(shù)函數(shù)0)(T 在曲線在曲線 的積分和存在的積分和存在極限極限 ,I),(yxf),(BAC),(yxf),(BAC即即型曲線積分北工大,),(limlim10)(0)( nkkkkTnTIsfQ 則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) 在曲線在曲線C C的第一型曲線的第一型曲線I積分，表為積分，表為),(yxf,),(),(dsyxfIBAC 其中其中dsds是弧長(zhǎng)微元。是弧長(zhǎng)微元。.),(lim),(10)( nkkkkTCsfdsyxf 型曲線積分北工大2.2.存在條件存在條件 Cdsyxf),(3.3.推廣推廣第一型曲線積分為第一型曲線積分為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在空間曲線弧在空間曲線弧函

4、數(shù)函數(shù)Czyxf),(.),(lim),(10)(knkkkiTCsfdszyxf 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),(),( BACdsyxM 當(dāng)在光滑曲線弧當(dāng)在光滑曲線弧C上連續(xù)時(shí)，上連續(xù)時(shí)，),(yxf),(yxf在在C上的第一型曲線積分存在上的第一型曲線積分存在型曲線積分北工大. .性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()2( CCCdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()3(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfCC .),(),(),()4(21 CCCdsyxfdsyxfdsyxf).(21CCC .),(),()1(),(),( ABCBACdsyxfdsyx

5、f第一型曲線積分跟曲線的方向無(wú)關(guān)第一型曲線積分跟曲線的方向無(wú)關(guān)型曲線積分北工大、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理定理 若曲線若曲線,),(),(:),( ttytxBAC是光滑的，即在連續(xù)，且不是光滑的，即在連續(xù)，且不)(),(tt ,同時(shí)為零，函數(shù)在同時(shí)為零，函數(shù)在C C連續(xù)，則函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)),(yxf在在C(A, B)C(A, B)存在第一型曲線積分，且存在第一型曲線積分，且),(yxfdtttttfdsyxfBAC)()()(),(),(22),( ;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)

6、立立中中yxyxf型曲線積分北工大證明證明設(shè)任意分法設(shè)任意分法T,.10 nttt第第k個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)曲線個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)曲線C上第上第k個(gè)小弧個(gè)小弧,1kktt ,1kkAA 其長(zhǎng)為其長(zhǎng)為.ks 則則dtttskkttk 1)()(22 .)()(22kkkt ,1 kkkttt.1kkktt ,1kkktt 曲線曲線C上對(duì)應(yīng)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)).(),(kkP 型曲線積分北工大作和作和 nkkkknsfQ1)(),( .)()()(),(122knkkkkktf .)()()(),(1122knkkknkkkkknttfQ 其中其中 .)()()()()(),(2222 kkkkkkkf 由由 )()(

7、)(),(22ttttf 的連續(xù)性的連續(xù)性型曲線積分北工大 knkkkkkTtf 1220)()()()(),(lim .)()()(),(22dtttttf 下面證明下面證明. 0lim10)( knkkTlt )(),(ttf 在閉區(qū)間連續(xù)，則有界在閉區(qū)間連續(xù)，則有界)()(22tt , 在閉區(qū)間連續(xù)，則在閉區(qū)間連續(xù)，則, 一致連續(xù)即一致連續(xù)即, 0 tM有有 .)(),(Mttf 型曲線積分北工大),(, 0, 0 kkktt有有.)()()()(2222 kkkk當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有 )(Tlknkkt 1 kkkkkt )()()()(2222 nkkkf1)(),( ,)(1 MtMn

8、kk型曲線積分北工大即即. 0lim10)( knkkTlt 當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有0)(T 0Tl當(dāng)時(shí)，存在極限，即函數(shù)當(dāng)時(shí)，存在極限，即函數(shù) 0T 在曲線在曲線C上存在第一型曲線積分，即上存在第一型曲線積分，即),(yxfdsyxfBAC ),(),(.)()()(),(22dtttttf nQ型曲線積分北工大bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba baxf,(1)xx d)(12 )(x dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yy d)(12 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3)其它形式的計(jì)算方法：

9、其它形式的計(jì)算方法：型曲線積分北工大例例 計(jì)算計(jì)算 ).(,BACxydsI其中其中,cos:taxC .20 ,sin ttby例例 計(jì)算計(jì)算,22dsyxIC 其中其中 是圓周是圓周C. 0,22 aaxyx例例直直其其中中曲曲線線計(jì)計(jì)算算 , . 222 22ayxdseLyx 形形邊邊界界。在在第第一一象象限限中中所所圍圍的的圖圖線線 , 0 xyx 型曲線積分北工大推廣推廣 若三維歐氏空間若三維歐氏空間 中光滑曲線中光滑曲線3R)().(),(),(: ttztytxCC的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是則第一型曲線積分為則第一型曲線積分為空間曲線空間曲線 的弧長(zhǎng)微分為的弧長(zhǎng)微分為dttttds)()()(222 C型曲線積分北工大例例 計(jì)算計(jì)算 其中其中C C是圓柱螺旋線：是圓柱螺旋線：,)(222dszyxC .20,sin,cos tbtztaytax1.設(shè)是從到的設(shè)是從到的Lxy42 )0 , 0(A)2 , 1(B一段，計(jì)算第一型曲線積分一段，計(jì)算第一型曲線積分 Lyds.2計(jì)算計(jì)算 其中是曲線其中是曲線,dsxyzL L, tx )10(21,23223 ttzty的一段的一段.型曲線積分北工大例例)