1、用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時時，當當021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.2112221121121

2、12aaaaabbax 由方程組的四個系數確定由方程組的四個系數確定. 由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數表稱列）的數表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數數表表（表表達達式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 11a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxa

3、xa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數行列式系數行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都為原方程組的系數

4、行列式分母都為原方程組的系數行列式.2221121122111122aaaababaddx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 d)4(3 , 07 112121 d,14 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx22 . 3721 二、三階行列式二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的數數表表行行個個數數排排成成設設有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaa

5、aaaa（6 6）式稱為數表（）式稱為數表（5 5）所確定的）所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列標列標行標行標333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上

6、三元素的乘積冠以負號元素的乘積冠以負號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數行列式的系數行列式333231232221131211aaaaaaaaad , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行,

7、 ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負負. . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabd 若記若記333231232221131211aaaaaaaaad 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabd 記記,3332323222131211aabaabaabd 即即 ;,333323

8、213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,333312

9、3221131112abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaad ,3333123221131112abaabaabad .3323122221112113baabaabaad 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:,11ddx ,22ddx .33ddx 333231232221131211aaaaaaaaad ,3332323222131211aabaabaabd 2-43-122-4-21d 計計算算三三階階行行列列式式按對角線法則，有按

10、對角線法則，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數行列式由于方程組的系數行列式111312121 d 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 d, 5 1013121212 d,10 0111122213 d, 5

11、 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 ddx, 222 ddx. 133 ddx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結三、小結 使使求一個二次多項式求一個二次多項式,xf .283, 32, 01 fff解解設所求的二次多項式為設所求的二次多

12、項式為 ,2cbxaxxf 由題意得由題意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一個關于未知數得一個關于未知數 的線性方程組的線性方程組,cba,又又, 020 d.20,60,40321 ddd得得, 21 dda, 32 ddb13 ddc故所求多項式為故所求多項式為 . 1322 xxxf一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaad 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項，即

13、項，即 項項6!3（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列的三個元素的下標排列例如例如322113aaa列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為 , 211312 t322311aaa列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號正號 ,負號負號 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaa

14、adaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數數和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數數組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的的元元素素稱稱為為行行列列式式數數)det(ijijaa為這個排列的逆序數為這個排列的逆序數的一個排列，的一個排列，為自然數為自然數其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad212121212122221112111 說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據求

15、解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數和項的代數和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa2121 .1t 例例1 1計算對角行列式計算對角行列式0004003002001000分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個項為零

16、，從而這個項為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例2 2 計算上計算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只有所以不為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .22

17、11nnaaa 解解例例3?8000650012404321 d443322118000650012404321aaaad .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明證明對角行列式對角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢例例5 5設設nnnnnnaaaaa

18、aaaad2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaad221122222111112112 證明證明.21dd 證證由行列式定義有由行列式定義有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaad221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121daaadnnnnpppppppppt nnnnpppnnpppppppppt

19、baaad 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1 、行列式是一種特定的算式，它是根據求解、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的要而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個元素的乘積個元素的乘積,正負號由下標排正負號由下標排列的逆序數決定列的逆序數決定.nn!n三、小結三、小結已知已知 1211123111211xxxxxf .3的的系系數數求求 x思考題解答思考題解答解解含含 的項有

20、兩項的項有兩項,即即3x 1211123111211xxxxxf 對應于對應于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat . 13 的系數為的系數為故故 x nppptnaaad21211 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標排列為行標排列 的逆序數的逆序數. .tnppp21證明證明按行列式定義有按行列式定義有 nnppptaaad21211 nppptnaaad211211 記記對于對于d中任意一項中任意一項 ,12121nnppptaaa 總有且僅有

21、總有且僅有 中的某一項中的某一項1d ,12121nqqqsnaaa 與之對應并相等與之對應并相等;反之反之, 對于對于 中任意一項中任意一項1d ,12121nppptnaaa 也總有且僅有也總有且僅有d中的某一項中的某一項 ,12121nnqqqsaaa 與之對應并相等與之對應并相等, 于是于是d與與1d中的項可以一一對應并相等中的項可以一一對應并相等,從而從而.1dd 定理定理3 3 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nnqpqpqptaaad22111 其中其中 是兩個是兩個 級排列，級排列， 為行為行標排列逆序數與列標排列逆序數的和標排列逆序數與列標排列逆序數的和. .nnqq

22、q,ppp2121nt例例1 1 試判斷試判斷 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項.解解655642312314aaaaaa下標的逆序數為下標的逆序數為 6102210431265 t所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 下標的逆序數為下標的逆序數為 8452316 t所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.662551144332aaaaaa 例例2 2 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數為的逆序數為012201 t, 6 所以所以 前邊應帶正號前邊應帶正號.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行標排列行標排列341562的逆序數為的逆