1、2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3.3平面向量的坐標運算一、內(nèi)容解析通過建立直角坐標系，可以將平面內(nèi)任一向量用一個有序?qū)崝?shù)對來表示；反之，任一有序?qū)崝?shù)對就表示一個向量，這樣就給出了向量的另一種表示坐標表示，向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積都可以用坐標來進行運算，使得向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣許多幾何問題的解決，就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算，從而簡化了思維過程。1、 平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、 平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)

2、x，y使，則稱有序?qū)崝?shù)對（x，y）為向量的坐標，記作=（x，y），其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。3、 平面向量的坐標運算（1）若，則 即兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和（差）；（2）若即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標；（3）若a(x1,y1) , b(x2,y2) ，則= (x2-x1 , y2-y1)即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。二、目標解析1、認知目標：理解平面向量坐標的概念，掌握平面向量的正交分解、坐標表示及坐標運算，會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算。2、能力目標：培養(yǎng)閱讀概括、觀察猜想

3、、歸納類比、分析綜合等思維能力，化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論思想的應(yīng)用及從特殊到一般的研究方法。3、情感目標：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，培養(yǎng)自主研究，勇于探索、討論交流、閱讀自學(xué)等優(yōu)秀學(xué)習(xí)品質(zhì)。三、問題診斷1、平面向量的坐標與向量的始點、終點坐標有關(guān)；應(yīng)把向量的坐標與點的坐標區(qū)別開來，只有始點在原點時，向量的坐標才與終點的坐標相等。2、兩向量相等的充要條件是它們的坐標對應(yīng)相等，這樣，相等的向量坐標相同，但其起點、終點卻可以不同。如a（1，2）、b（3，4）、c（-2，1）、d（0，3），則四、學(xué)習(xí)行為平面向量正交分解自學(xué)輔導(dǎo)式，平面向量的坐標表示引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式，平面向量的坐標運算自主探究式

4、。五、教學(xué)支持條件多媒體（主要是幾何畫板軟件），實物投影儀六、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧，引出課題平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使。 該定理的實質(zhì)是：對平面內(nèi)任一向量，在給定基底的前提下，有且只有一個有序?qū)崝?shù)對與其對應(yīng)；而由有序?qū)崝?shù)對，可以很自然地聯(lián)想到平面直角坐標系內(nèi)點的坐標。那么：向量和坐標之間有怎樣的關(guān)系呢？這就是今天要研究的課題：平面向量的坐標表示。 有序?qū)崝?shù)對向量 ？ 坐標 此環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)定理過程由學(xué)生回憶并作答，教師簡單分析，由此引出課題。（二）三層探究，建構(gòu)新知 首先讓學(xué)生閱讀課本p105思考題前一段文字，從光滑斜

5、面上木塊重力g分解中理解正交分解定義：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 說明：選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。探究活動1：平面向量的坐標表示的定義問題1：如圖，取與x軸，y軸同向的單位向量、為基底，分別用、表示向量。 易得； ； ； 根據(jù)定理，對，有唯一和它對應(yīng)的實數(shù)對（2，3），我們稱(2，3）為的坐標，即=(2，3)。類似地，。問題2：更一般地，怎樣定義平面內(nèi)任意一個向量的坐標？學(xué)生思考，討論，作答。（教師要給學(xué)生充足時間，并參與討論、指導(dǎo)、修整）平面向量的坐標表示的定義：在直角坐標系內(nèi)，取與x軸，y軸同向的單位向量、為基底，任意一個向量，由

6、平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使，則稱（x,y）為向量的坐標。記作=（x,y）。 師生共同剖析定義，注意并理解定義中的關(guān)鍵詞：基底的選擇，有序?qū)崝?shù)對。問題3：寫出下圖中各向量的坐標。 學(xué)生思考，作答。探究活動2：向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點和終點坐標之間的關(guān)系問題4：在問題3相應(yīng)的課件中，任意拖動點a，求不同位置下的向量的坐標和點a的坐標，由此得到它們之間有何關(guān)系？學(xué)生在觀察及回答過程中得出結(jié)論：以原點為起點的有向線段表示的向量坐標就是其終點坐標.即：=(x,y)a(x,y)問題5：向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點和終點坐標之間有什么關(guān)系？在得出特殊情形下的向量坐

7、標和終點坐標之間的關(guān)系后，給出問題5讓學(xué)生思考，探究討論，在教師的引導(dǎo)下完成證明。 結(jié)論：若a(x1,y1) , b(x2,y2) 則= (x2-x1 , y2-y1)即：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點與起點的相應(yīng)坐標的差 探究活動3：向量的坐標運算 問題6：當向量用有向線段表示時，我們可以對其進行加、減、數(shù)乘等運算，向量用坐標表示了之后，相應(yīng)的運算法則是什么？即：若，則 給學(xué)生充分時間進行自主探究，利用實物投影展示部分學(xué)生探究證明過程。 結(jié)論：若，則。 以加法為例進行證明（其余類似可得）： 學(xué)生用文字語言概括向量的坐標運算法則：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩向量相應(yīng)坐標的和

8、（差），實數(shù)與向量的積的坐標等于這個實數(shù)乘原來的向量的相應(yīng)坐標。 學(xué)生反思總結(jié)證明過程中的關(guān)鍵步驟：從數(shù)到形和從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。（三）練習(xí)反饋，鞏固新知練習(xí)1：已知，求。變式：已知，求。例題與變式都由學(xué)生先完成，然后講評。注意和數(shù)的運算的區(qū)別和聯(lián)系。練習(xí)2：已知平行四邊形abcd的點a、b、c分別為（-2，1）、（-1，3），（3，4），求d點坐標。變式：上題中將條件“平行四邊形abcd”改為“a、b、c、d四點構(gòu)成四邊形”，則結(jié)果又如何？師生共同探索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種解題思路，并對方法進行總結(jié)。練習(xí)3：已知a（11，12）、b（4，5）、c（10，11），求證：a、b、c三點共線。變式：已知a（k，12）、b（4，5）、c（10，k），且a、b、c三點共線，求k的值。學(xué)生完成。反思解法，歸納一般結(jié)論。（四）總結(jié)反思，提高認識1、平面向量的坐標表示的定義，向量坐標運算法則。2、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論思想的應(yīng)用。3、觀察猜想、歸納類比等合情推理及分析、綜合等邏輯推理的方法。（五）布置作業(yè)，深化拓