1、m0m垂面方程為垂面方程為0) 1()2() 1( 2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 l1與此平面的交點(diǎn)與此平面的交點(diǎn)m： 11122zyx 012 zyx32 t)32 ,31 ,32( m交交點(diǎn)點(diǎn).35 ,35 ,35 0 mm , 1 , 1 , 1 3o s取取 得得所所求求直直線線為為：. 111211: zyxl.l= t解：解：l1. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直線垂直相交的直線且與直線且與直線求過點(diǎn)求過點(diǎn)lzyxlm 11o 過過 m0作作 l1 的垂面，的垂面，dl1l2 方法方法 i 思路：思路：1o 過過l1做平面做平面

2、，使，使 / l2.2o 點(diǎn)點(diǎn)m l2,點(diǎn)點(diǎn)m 到平面到平面 的距的距 離即為離即為d.m. 241342: 31121: 21dzyxlzyxl距離距離之間的之間的與與求直線求直線 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2 , 1, 43, 1 , 2 6 ,16 , 1 06)1(16)1(: zyx015616: zyx即即 取點(diǎn)取點(diǎn)m(2,3,4) l2,2226161|15)4(63162| d有有.29311 .n方法方法 ii 思路：思路：. 241342: 31121: 21dzyxlzyxl距離距離之間的之間的與與求直線求直線 .解：解：l

3、1l21s2smn利用混合積的幾何意義：利用混合積的幾何意義：所求的所求的 d 就是三矢量構(gòu)成的就是三矢量構(gòu)成的平行六面體的高平行六面體的高.|2121ssnmssd .| 2 , 1, 43, 1 , 2 | 4, 2 , 32 , 1, 43, 1 , 2 | .29311 .(2)(3)思路思路i：. 221l的的交交線線即即為為所所求求直直線線與與平平面面因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?1) 它們共面它們共面.(2) 它們不平行它們不平行.( l2平行于已知平面平行于已知平面 ，但顯然，但顯然 l 1 不平行不平行于于 . )相交。相交。問題問題：l2與與 l1 相交嗎？相交嗎？求直線的一般式方程求直線

4、的一般式方程. 2 1 2nl1l2. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點(diǎn)求過點(diǎn) ：的的平平面面且且平平行行于于平平面面先先求求過過10 m.1可可求求出出. 210lm的的平平面面過過已已知知直直線線且且再再求求過過.m0.2可可求求出出具體解答如下：具體解答如下：nm12nl1l2；的的平平面面且且平平行行于于平平面面求求出出過過10 m0143 :1 zyx：的平面的平面過已知直線過已知直線且且再求過再求過210 lmm0, )031( 1m,為為記記點(diǎn)點(diǎn) 2法法矢矢量

5、量則則平平面面 . 2 , 1 , 31 sl的的方方向向數(shù)數(shù)：m1smmn 102 2 , 1 , 34, 3 , 0 9,12,10 解：解：. 04691210 :2 zyx 046912100143: 2 zyxzyxl所所求求直直線線.思路思路i： 求直線的一般式方程求直線的一般式方程.sn. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點(diǎn)求過點(diǎn) 2 1 (3).思路思路ii：. 4437481: zyxl 為為所所求求直直線線1 , 4, 32 , 1 , 34, 3 , 0

6、 1 , 4, 39,12,10 求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程.l11n2n從思路從思路 i 的分析知：的分析知：nnn 124 ,37,48 . 22nl 的的方方向向矢矢為為設(shè)設(shè).l2如圖：如圖：.n. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210lzyxlzyxm相交的直線方程相交的直線方程又與直線又與直線平行平行且與平面且與平面求過點(diǎn)求過點(diǎn) 2 1 解：解：(3).2. （1） 解：解：。處處的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)求求 )0 , 0( 0 0 0 2424242 yxyxyxyxz )0 , 0()0 ,(lim 0 xfxfx )0,0(xz 00

7、0lim420 xxxx = 0 )0,0(yz )0 , 0(), 0(lim0yfyfy 000lim20yyyy = 0(2) . :, , )( 22212xzyzyxzxzccfyxfz 求求證證其其中中設(shè)設(shè), fxz 左左：; 2 fyxz, fyz右右：, 22fxz . ff右右左左解：解：證畢證畢. . , e 22222)(yzyxzxzzyxzyx ，求求，已已知知: 求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對 x)1(e1 )(xzxzzyx 解：解： 0)e1)(1( )(，即即： zyxxz 0e1 )(，因因： zyx 01 ， xz . 1 xz故故 . 1 yz同同理理， . 0

8、22222 yzyxzxz(3).解：解：.d2ddyxzp (4) .)1, 0 , 1(),( 2 22處處的的全全微微分分點(diǎn)點(diǎn)在在確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程 pyxzzxyzzx0 2 22 xyzzx f設(shè)設(shè)1 : zxffxzp處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則, 22yzzxxfx , xzfy 22xyzxzfz , 21 pxf, 1 pyf. 21 pzf2 zyffyz.解：解：,2yzyux .(5).6 , 2 , 3 )211( 22的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)處處沿沿方方向向，在在點(diǎn)點(diǎn)求求函函數(shù)數(shù) lpxyz zxyu,2xzxyuy xyzuz 2, 1 pxu, 0 pyu3

9、pzu6 , 2 , 371cos,cos,cos 的的方方向向余余弦弦l coscoscos pzpypxpuuulu 76373 .715 (6)解：解：.).( grad, )( 222rfzyxrrf求求為為可可微微函函數(shù)數(shù)，其其中中設(shè)設(shè) ,)( grad zfyfxfrf xrfxf , ryfyf . rzfzf , rxf . )( gradzy,x,rfrf 同理：同理：(7) 的的切切平平面面方方程程。上上平平行行于于平平面面求求橢橢球球面面 02 12 222 zyxzyx解：解：主主要要是是求求切切點(diǎn)點(diǎn)。 ,2 11/ ，則則 n2 ,4 ,2, zyxfffnzyx .

10、2 , 1, 1 . , 4,2 zyx, n為為設(shè)設(shè)所所求求切切平平面面的的法法矢矢量量. 代代入入橢橢球球面面，定定. 1122 . 1122 , 11221 , 112 得得切切點(diǎn)點(diǎn)為為. 2112 zyx切切平平面面為為 (8) 的的極極值值。求求函函數(shù)數(shù) 12153 23yxxyxz 012601533 22xyzyxzyx由由).1, 2(),2, 1(),1 , 2(),2 , 1( 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)：.6 ,6 ,6xzyzxzyyxyxx ),(00yxabcacb 2結(jié)結(jié) 論論 (1, 2) (2, 1) (1, 2) (2, 1)6612 0z(1,2)

11、非極值非極值12126 0z( 1, 2)非極值非極值 12 12 6 0極大值極大值 z( 2, 1)=28列表分析：列表分析：8 設(shè)設(shè)d是矩形域：是矩形域： x , 1 y 1 .則則 dy d)sin2( 設(shè)設(shè), dd),( dyxyxfi則在極坐標(biāo)下的二次積分為則在極坐標(biāo)下的二次積分為, 21 ,1 ),( xxyxyxd其中域其中域. 交換二次積分的積分順序：交換二次積分的積分順序： d),(d1201 yxyxfy 1220 222dd)ln( limyxyxyx. dr)sin,cos(dcos2cos sin1441arctan rrrfi. d),(d1021 xyyxfx.

12、 1(2) 設(shè)設(shè)d是矩形域：是矩形域： x , 1 y 1 .則則 dy d)sin2(8 0dsin dy（d關(guān)于關(guān)于x軸對稱，軸對稱，siny是是y的奇函數(shù)的奇函數(shù).）.解：解：1(2)證畢證畢., dd),( dyxyxfi則在極坐標(biāo)下的二次積分為則在極坐標(biāo)下的二次積分為, 21 ,1 ),( xxyxyxd其中域其中域 dr)sin,cos(dcos2cos sin1441arctan rrrfi.oxy圖形圖形2y = xxy1 d1 141arctan1 cossin1 rx =2 cos2 r4 2 2 .曲邊扇形曲邊扇形解：解：即得答案即得答案.(3)證畢證畢.交換二次積分的積

13、分順序：交換二次積分的積分順序： d),(d1201 yxyxfy d),(d1021 xyyxfx.解：解：oxy121x+y =1d d),(d1201 yxyxfy d),(d2101 yxyxfy d),(d0121 xyyxfx答案答案.限限上下上下?lián)Q換(4)證畢證畢.換換序序. 1220 222dd)ln( limyxyxyx 解：解： 122222dd)ln(yxyxyx 1 20d lnd2rrr 分步分步 1 d ln 4rrr)441 ln2( 422 0)( .(5)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則證畢證畢.3.計(jì)算計(jì)算(1)?),( .1,0, dd),(),(),(2 yxfxx

14、yydvuvufxyyxfyxfd求求所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域是是由由其其中中， 連連續(xù)續(xù)，且且 設(shè)設(shè)(2)xyxyiyyxyyxydedded121212141 計(jì)計(jì)算算：(3). , dd42222222圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域和和直直線線是是由由曲曲線線其其中中xyxaaydyxyxayxid (4). )0( 22222的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸圍圍成成，求求該該物物體體對對及及由由曲曲面面設(shè)設(shè)有有一一均均勻勻物物體體ozaayxzyxaz 解答解答:3.計(jì)算計(jì)算 (1)而且必為一個(gè)而且必為一個(gè)常數(shù)常數(shù)。 dd),(存在，存在， dvuvuf, dd),( avuvufd 設(shè)設(shè).),

15、( axyyxf 由已知：由已知：只須求只須求a.將上式兩端在將上式兩端在 d 上作二重積分上作二重積分: dd)( dd),( ddyxaxyyxyxfa = 2010d)(dxyaxyx3121a 81 a.81),( xyyxf因?yàn)橐驗(yàn)?f (x,y) 連續(xù)，連續(xù)，.解答解答:3 (2)xyo的原函數(shù)不是初等函數(shù)，必須換序。的原函數(shù)不是初等函數(shù)，必須換序。xye 2141 21 :1yyxd由由 1 21 :2yyxyd 121 :2xxyxd得得yx 2121411d2d1y = xd ded2121 xxxyyxi. e21e83 .而言，而言，對積分對積分 de xxy解答解答:3

16、 (3)xyoy = x22 xaay 2 22ayyx 04 sin20 : ard.d使用哪種坐標(biāo)系？使用哪種坐標(biāo)系？ d的邊界的表示式？的邊界的表示式？ d4d sin2022204 arrari. sin2 tar 令令 )dcos2(1d2 0042 ttai. )2116( 22 a.a解答解答:3 (4) zvyx i d)(22 設(shè)設(shè) =1 下下錐錐體體上上半半球球體體vyxvyx d)(d)(2222. arrdd 0342020dsin 03020dddarazrr 55101154aa .30115a .(柱系柱系)(球系球系)組組成成的的分分段段光光滑滑曲曲線線。的的直

17、直線線段段與與連連接接點(diǎn)點(diǎn)的的劣劣弧弧之之間間圓圓介介于于點(diǎn)點(diǎn)是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心的的單單位位，bccbabbalsyxl)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxya(1,0)b(0,1)c(1,2)解解 lsyxd)( bcabyxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中， tytxabsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x ybc dt d )(1d2xxys d 2 x )ds( lyx d210 x 22 . d)sin(cos2 ttt線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有

18、向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，bccbyabbaxylyxxyl)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14a(1,1)b(2,4)c (1,4)解解三三2.1 bcabl. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，bccbyabbaxylyxxyl)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14a(1,1)b(2,4)c(1,4)

19、d解解1 cal dyxxy dd)11(22. yxxyy12241d)11(d 先先 x 4122123d)1(yyyy43 l d1d143 cayxxy d14314 y 49 .三三2.oxyz的第一卦限部分。的第一卦限部分。介于介于是曲面是曲面， 402 d)(1 2222 zyxzssyxzzs4解解三三3.dxy2 :22yxzs dd1d22yxzzzyx dd122yxyx d)1(22 sszyx原式原式 dd1322 xydyxyx 08:22 zyxdxy其其中中： 220220d13drrr 原原式式用平面極坐標(biāo)用平面極坐標(biāo) 2202220)d(1123drr 22

20、0232)(12 r 13 .22部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzszyxysoxyz解解類型：類型：ii 型曲面積分型曲面積分三三4.s由第一卦限和第二卦限中的錐面由第一卦限和第二卦限中的錐面s1和和s2構(gòu)成構(gòu)成.221:yzxs 其上側(cè)在其上側(cè)在yoz平面的投影為平面的投影為負(fù)負(fù)；其上側(cè)在其上側(cè)在yoz平面的投影為平面的投影為正正.222:yzxs 21sss yzdzyyyzdd22 yzdzyyyzdd222hyzohz = ydyz yzdzyyyzdd)(22dyz 圖形？圖形？ y先先. 64h .s1s2. dd20220 zhyyzyz.

21、也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzszyxysoxyz解解類型：類型：ii 型曲面積分型曲面積分需貼補(bǔ)側(cè)面需貼補(bǔ)側(cè)面s （右側(cè)）（右側(cè)）和半圓頂面和半圓頂面s半圓半圓（下側(cè)）（下側(cè)）. sssvxpd半圓半圓 xydyxyxhyd)d(22hhdxy 圖形？圖形？ 極極坐坐標(biāo)標(biāo). 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxdzyxyxy22ddds xyds半圓半圓，又因又因 0dd szyxy，半圓半圓 0dd szyxy. 6dd4hzyxys .2. (1) 所所作作的的功功。力力

22、方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)一一周周，試試求求場場的的逆逆時(shí)時(shí)針針的的作作用用下下，沿沿著著圓圓周周在在場場力力的的點(diǎn)點(diǎn)，力力場場中中設(shè)設(shè)有有平平面面力力場場 4 )1(4)1(41 222222fyxfmjyxxiyxyf 解解2211xyo lyyxxxyxywd)1(4d)1(412222l22)1(41 yxyp22)1(4 yxxq成立成立對對因因 )1 , 0(),( yxxqyp正向正向取曲線取曲線 1)1(4: 22 yxc tytxcsin1cos21: ,其參數(shù)式其參數(shù)式 clw dcos21sin21sin11202 tttt .0 t 2 c.2. (2) . )0( )()()(

23、 22233233ryxrzkrzjryirxa的的上上側(cè)側(cè)的的流流量量面面通通過過上上半半球球求求流流速速場場 oxyz解解rs 上上syxrzxzryzyrxdd)(dd)(dd)(33233 vdzyxzyxxyddd)(3222下側(cè)下側(cè)v dsin3dd0222020 rrrr 565r 下側(cè)下側(cè)xyd xydyxrdd35 r 555 6 rr 5 11 5r xydyxrdd3.dxy解解 , )e(e3 2xxxyyp 1)(e xqxyp 由由xq )(e1)(exxxx xxxye )(e32 .1e3)( 3 xx得得 ; e)( 3cxxx .)0 , 0(),( 00

24、yx取取 yxyyxqxxpu00 d),(d)0 ,( yxxxyxx030 d)(eed0 .ee2xxxyy . d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),( )( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxoyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)題題得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函數(shù)數(shù)是是使使，求求上上連連續(xù)續(xù)可可微微，且且在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)o1o2.三三 1. 解答解答. 0)( )( 1121121的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) aaannn用級數(shù)收

25、斂的定義用級數(shù)收斂的定義.)()()(121121315131 nnnaaaaaasaan 121 1a )( n所以，原級數(shù)收斂，且其和為所以，原級數(shù)收斂，且其和為 1 a .三三 2. 解答解答. )11e ()1( 111的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnnxn 1 令令xxfx 1e)(1e)( xxf)0( 0 x )(xf0)11e ( )11e (11 nnnn且且0)11e ( lim1 nnn又：又：由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂。由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂。再由再由ex 的麥克勞林展開式知：的麥克勞林展開式知：)( )(2xoxf )1(11e1nonn 即：即：. 1 )1

26、1e ( 111同發(fā)散同發(fā)散與與級數(shù)級數(shù) nnnnn. )11e ()1( 111條件收斂條件收斂原級數(shù)原級數(shù) nnnn.)0( 0)0()( xfxf且且.三三 3. 解答解答. )2( )54ln()( 其其收收斂斂域域，并并指指出出的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展為為將將函函數(shù)數(shù) xxxf 3)2(4ln)( xxf 1)2(343lnx)2(341ln3ln x 11)2()34(1)1(3lnnnnnxn 1)2(341 x41145 x.oxy三三 4. 解答解答1. .)0 , )( 上作偶延拓上作偶延拓在在將將 xf0 nb 00d)(2 xxfa 20d 42x= 4 0dcos)(2

27、xnxxfan 20dcos42xnx2sin8 nnnxnnxfncos2sin182)(1 ,2()2, 0 x 2 2 2 f (x)s (x)偶延拓偶延拓2 )4( s )0( s4 )0(f42 .oxy三三 4. 解答解答2., , 0()( 上上有有定定義義在在僅僅限限 xf , 2 , 1 , 0 , 0 nan 0dsin)(2 xnxxfbn 20dsin42xnx)12(cos8 nnnxnnxfnsin)12(cos18)(1 ,2()2, 0( x 2 2 f (x)s (x)奇延拓奇延拓2 )4( s )0( s44 .)0 , )( 上上作作奇奇延延拓拓在在將將

28、xf0. )0)( 可可以以奇奇延延拓拓，在在則則 xf2 .2 例例 2 . 1)sin( 12的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnn , 1)sin( 22nnn 因?yàn)橐驗(yàn)槭諗浚諗浚墧?shù)而級數(shù) 12 1 nn. )sin(12絕絕對對收收斂斂 nnn 發(fā)散，發(fā)散，而而 1 1 nn. 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.解：解：二二 典型例題典型例題. )!1( 1 nonnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 用用級級數(shù)數(shù)理理論論證證明明：，考考慮慮級級數(shù)數(shù) ! 1 nnnnnnnnu! !)1(! )1(limlim11nnnnuunnnnnn nnnn)1(lim 由比值法：由比值法：. ! 1收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnn由收斂的必要條件：由收斂的必要條件：0lim nnu0!lim nnnn即即：. 1e1 解：解：例例 3. )!1( 1 nonnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)解：解：. !)1)(1( )!1( 11的和的和的和函數(shù)，并求的和函數(shù)，并求求冪級數(shù)