1、 .二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質一一 .三重積分的概念與性質三重積分的概念與性質二二第1頁/共25頁 .二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質一一1. 二重積分的定義1) 引例（考慮曲頂柱體的體積）已知以z=f(x,y)為曲頂，以xoy面上區域D為底，側面是以D的邊界曲線為準線母線平行于z軸的柱面，構成一曲頂柱體，求其體積.xyzoD),(yxfz Solution.高高底底面面積積根根據據平平頂頂柱柱體體體體積積 niD ,)1(21得得分割分割i ),(ii ),(iif iiiiiiifV ),(,),()2(則則 niiiiniifVV11),( 且且,max)3(1的的

2、直直徑徑令令n .),(lim0 niiiifV 則則第2頁/共25頁2) 二重積分的定義;),( ), 2 , 1(),(,),()2(;, ,)1(,),(11 niiiiiiiiiiinfnifinDDyxf 并作和并作和作乘積作乘積又表其面積又表其面積個區域個區域既表第既表第其中其中個小區域個小區域任意分成任意分成將將上的有界函數上的有界函數是閉區域是閉區域設設;),(lim,max)3(101 niiiiinif 取極限取極限的直徑的直徑令令記為記為二重積分二重積分上的上的在在則稱該極限值為則稱該極限值為若此極限存在若此極限存在,),( ,Dyxf.),(lim),(10 niiii

3、Dfdyxf 第3頁/共25頁積分區域 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素注意: (1) 若二重積分存在, 則為一確定數值; (2) 若二重積分存在, 則取分割為平行坐標軸的直線 網,此時除靠近邊界的小區域外均為小矩形,第4頁/共25頁xyo,dxdydyxkji 面積元素面積元素則則;),(),( DDdxdyyxfdyxf 則則(3) 引例中曲頂柱體體積為;),( DdxdyyxfV;, 0 ,)4(計算時須注意計算時須注意而這里而這里故下限可大于上限故下限可大于上限可正可負可正可負定積分中定積分中 iix (5) 存在性問題:

4、 若f(x,y)在閉區域D上連續, 則二重積分存在.第5頁/共25頁3)幾何意義：;),(,0),(為體積為體積時時 Ddxdyyxfyxf;,),(,0),(但本身值為負但本身值為負為體積為體積時時 Ddxdyyxfyxf.),(數和數和表示曲頂柱體體積的代表示曲頂柱體體積的代故故 Ddxdyyxfxyzoa22yxz ?22表示哪里表示哪里 DdxdyyxVxyzoa226yxz ?)6(22表示哪里表示哪里 DdxdyyxV第6頁/共25頁2. 二重積分的性質 性質1.).( ),(),(為常數為常數kdyxfkdyxkfDD 性質2. Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DD

5、dyxgdyxf 性質3.對區域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質4. 若 為D的面積，.1 DDdd 第7頁/共25頁性質5.),(),( yxgyxfD 上上若在若在.),(),( DDdyxgdyxf 則則特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 性質6. 設設M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區區域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則 DMdyxfm ),(（二重積分估值不等式）第8頁/共25頁性質7.設函數設函數),(yxf在閉區域在閉區域D上連續，上連續， 為為D 的面積，則在的面積

6、，則在 D 上至少存在一點上至少存在一點),( 使得使得 （二重積分中值定理） ),(),(fdyxfDProof. ,),(Myxfm ,),( MdyxfmD ,),(MdyxfmD ,),(,使得使得至少存在一點至少存在一點由介值定理由介值定理D ),(),(1 fdyxfD .),(),( fdyxfD 第9頁/共25頁幾何解釋: ).,(),(),(, )0)(,(, fDyxfyxfzD上的函數值上的函數值中某點中某點在在等于等于這平頂柱體的高這平頂柱體的高積積等于同底的平頂柱體體等于同底的平頂柱體體為曲頂的柱體體積為曲頂的柱體體積為底為底以以 第10頁/共25頁, 22, 11:

7、 ,)(. 1132211 yxDdyxIexD 設設., 20 , 10: , )(21232222間的關系間的關系與與說明說明IIyxDdyxID Solution., 0)(21322表示柱體體積表示柱體體積IIyx , 81 顯然顯然, 22 214 即即.421II 由于被積函數相同, 且具有對稱性,因此D1,D2的關系反映了I1,I2的關系.第11頁/共25頁.4:,)10(. 222之值之值估計估計 DyxDdyxex Solution.410),(22mMyxyxyxf與最小值與最小值最大值最大值上的上的在在先求先求 , 1, 1 yxff下的最值下的最值在在問題轉化為求問題轉

8、化為求410),(22 yxyxyxf),4(10),(22 yxyxyxF 設設 0402102122yxFyFxFyx 令令2 yx解得解得.;最值在邊界上取得最值在邊界上取得在區域內無駐點在區域內無駐點第12頁/共25頁, 22102 Myx時時易知當易知當,4 又又.)2210(4)10()2210(4 Ddyx 2210,2 myx時時當當第13頁/共25頁Method1.2)1()2(,)()(. 32232所圍成所圍成是由圓周是由圓周其中其中的大小的大小與與比較比較 yxDdyxdyxexDD 處的切線方程為處的切線方程為在在容易求得容易求得)0 , 1(2)1()2(22 yx

9、. 1 yx1 yxoxy13如圖所示, 1 yxD上上在在32)()(yxyx .)()(32 DDdyxdyx 第14頁/共25頁Method2.)1()()()(223 yxyxyxyx. 0),(, 0;0),(, 0,1),( yxfyxfDyxyxf則則若若最最小小值值大大于于則則小小于于若若最最大大值值上上的的最最值值情情況況在在考考慮慮,),(內無駐點內無駐點在在顯然顯然Dyxf2)1()2(1),(22 yxyxyxF 設設)0 , 1(),2 , 3(解得駐點為解得駐點為, 4)2 , 3(,)2 , 3( f處處在在, 0)0 , 1(,)0 , 1( f處處在在. 4)

10、,(0 yxf,)()(23yxyx 故故.)()(32 DDdyxdyx 第15頁/共25頁,),(1lim. 422020)()(20 yyxxdyxfex 求求Solution.220),(1lim f 原式原式),(lim0 f ),(lim00 fyx ).,(00yxf （積分中值定理）（函數的連續性）.),(為連續函數為連續函數其中其中yxf第16頁/共25頁ex5. 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號. 當當1 yxr時時, , 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;即當即當 1 yx時時, , 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 y

11、xrdxdyyx.Solution.第17頁/共25頁.1. 6432222的符號的符號確定確定 dyxIexyx Solution. 413221322222211yxyxdyxdyxI xyo 21423223221222211yxyxdyxdyxI 1103113223221222211yxyxdyxdyxI .321III ,01 I而而, 02 I ,23233 I I)132(3. 0 I從而從而第18頁/共25頁 .三重積分的概念與性質三重積分的概念與性質二二1. 三重積分的定義 1)引例（非均勻分布的立體的質量）.),(,求其質量求其質量其體密度為其體密度為設有一非均勻物體設有

12、一非均勻物體zyx oxyzSolution.體積體積體密度體密度根據均勻物體質量根據均勻物體質量 ;,)1(21nivvvv 得得分割分割iv ),(iii ,),()2(iiiiv ,),(iiiiivm 則則;),(11 niiiiiniivmm 且且,max)3(1的直徑的直徑令令nvv niiiiivm10),(lim 則則第19頁/共25頁2) 三重積分的定義;),( ), 2 , 1(),(,),()2(;, ,)1(,),(11 niiiiiiiiiiiiiinvfnivfvivvvnzyxf 并作和并作和作乘積作乘積又表其體積又表其體積個區域個區域既表第既表第其中其中個小區域

13、個小區域任意分成任意分成將將上的有界函數上的有界函數是空間有界閉區域是空間有界閉區域設設;),(lim,max)3(101 niiiiiinivfv 取極限取極限的直徑的直徑令令記為記為三重積分三重積分上的上的在在則稱該極限值為則稱該極限值為若此極限存在若此極限存在,),( , zyxf.),(lim),(10 niiiiivfdvzyxf 第20頁/共25頁注意: (1) 若三重積分存在, 則為一確定數值; (2) 若三重積分存在, 則取分割為平行坐標面的平面 網,此時除靠近邊界的小區域外均為小長方體,dxdydzdvzyxvlkji 體積元素體積元素則則;),(),( dxdydzzyxf

14、dvzyxf則則(3) 引例中立體的質量為;),( dxdydzzyxm ; 0, 0 )4( dvvi體積元素體積元素(5) 存在性問題: 若f(x,y,z)在閉區域上連續, 則三重積分存在.第21頁/共25頁2. 三重積分的性質 性質1.).( ),(),(為常數為常數kvdzyxfkvdzyxkf 性質2. dvzyxgzyxf),(),(.),(),( dvzyxgdvzyxf性質3.對區域具有可加性.),(),(),(21 dvzyxfdvzyxfdvzyxf)(21 性質4.1, dvdvVV的體積的體積為為若若第22頁/共25頁性質5.),(),( zyxgzyxf 上上若在若在.),(),( dvzyxgdvzyxf則則特殊地.),(),( dvzyxfdvzyxf性質6. 設設M、m分別是分別