1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 2.2 錄像機計數器的用途錄像機計數器的用途2.3 2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 2.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.6 2.6 實物交換實物交換2.7 2.7 核軍備競賽核軍備競賽2.8 2.8 啟帆遠航啟帆遠航2.9 2.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化2.10 2.10 的計算的計算2.11 2.11 經驗模型經驗模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果

2、結果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個系學生共三個系學生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表會議共會議共20席，按比例分配，三個系分別為席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。席。現因學生轉系，現因學生轉系，三系人數為三系人數為103, 63, 34, 問問20席如何分配。席如何分配。若增加為若增加為21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加慣慣例例對對丙丙系

3、系公公平平嗎嗎系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平

4、”分配方分配方法法衡量公平分配的數量指標衡量公平分配的數量指標 人數人數 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當當p1/n1= p2/n2 時，分配公平時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對對A的絕對不公平度的絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對但后者對A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者的絕對雖二者的絕對不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，

5、對，對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應公平分配方案應使使 rA , rB 盡量小盡量小設設A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問應分給席，問應分給A, 還是還是B不妨設分配開始時不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對，即對A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對對A的相對不公平度的相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2

6、/n2 ，定義，定義1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應給則這席應給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應計算應計算rB(n1+1, n2)應計算應計算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應給則這席應給 B當當 rB(n1+1, n2) 車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒準則秒準則”與與“10英里英里/小時加一車身小時加一車身”規則規則不同不同剎剎車車距距離離反應時間反應時間司機司機狀況狀況制動系統制動系統靈活性靈活性制動器作用力、車重、車速、

7、道路、氣候制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質量成正比，最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。使汽車作勻減速運動。車速車速常數常數反反應應距距離離制制動動距距離離常數常數假假 設設 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應距離等于反應距離 d1 與制動距離與制動距離 d2 之和之和2. 反應距離反應距離 d1與車速與車速 v成正比成正比3. 剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F，F作功等于汽車動能的改變作功等于汽車動能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應時間為反應時間21ddd且且F與車的質量與車的質量m成正比成

8、正比22kvd 反應時間反應時間 t1的經驗估計值為的經驗估計值為0.75秒秒參數估計參數估計 利用交通部門提供的一組實際數據擬合利用交通部門提供的一組實際數據擬合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間計算剎車距離、剎車時間車速車速(英里英里/小時小時) (英尺英尺/秒秒)實際剎車距離實際剎車距離（英尺）（英尺）計算剎車距離計算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時間剎車時間（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.560

9、88.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則秒準則”應修正為應修正為 “t 秒準秒準則則”22106. 075. 0vvkvvtd模模 型型車速車速(英里英里/小時小時)剎車時間剎車時間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時）小時）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績賽艇賽艇 2000米成績米成績 t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.

10、28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長艇長l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手數漿手數n 16.3 13.6 18.1 14.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠次國際大賽冠軍的成績進行比較，發現與漿手數有某種關系。試建

11、立軍的成績進行比較，發現與漿手數有某種關系。試建立數學模型揭示這種關系。數學模型揭示這種關系。問問題題準準備備調查賽艇的尺寸和重量調查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不變基本不變問題分析問題分析 前進阻力前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進動力前進動力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數量之間的關系分析賽艇速度與漿手數量之間的關系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進前進動力動力前進前進阻力阻力漿手漿手數量數量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系

12、等作出假定對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定 運用合適的物理定律建立模型運用合適的物理定律建立模型模型假設模型假設1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數為常數), w0與與n成正比成正比2）v是常數，阻力是常數，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號：艇速符號：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手數漿手數 n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W艇的靜態特性艇的靜態特性艇的動態特性艇的動態特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2p

13、wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv模型檢驗模型檢驗n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對模型成績對模型 t n 1/ 9 進行檢驗進行檢驗tn12487.216.886.325.84與模型巧合！與模型巧合！問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。商定相互交換一

14、部分。研究實物交換方案。yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數量。設交換前甲占的數量。設交換前甲占有有X的數量為的數量為x0, 乙占有乙占有Y的的數量為數量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點的偏愛，則矩形內任一點 p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.6 實物交換實物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣

15、的滿意程度，即具有同樣的滿意程度，即p1, p2對甲是無差別的，對甲是無差別的，MN將所有與將所有與p1, p2無差別的點連接無差別的點連接起來，得到一條起來，得到一條無差別曲線無差別曲線MN, 線上各點的滿意度相同線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點滿意度更高的點如各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線，在另一條無差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無差別曲線（無數條）。于是形成一族無差別曲線（無數條）。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：無差別曲線族的性質： 單調

16、減單調減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交在在p1點占有點占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點占有點占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性質（形狀可以不同）性質（形狀可以不同） 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族

17、乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標坐標系系xOy, 且反向）且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因為在因為在AB外的任一點外的任一點p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點上的點p兩族曲線切點連線記作兩族曲線切點連線記作ABABp 交換方案的進一步確定交換方案的進一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形內任一點形內任一點交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價交等價交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價值，

18、設交換用貨幣衡量其價值，設交換前前x0,y0價值相同，則等價交換原價值相同，則等價交換原則下交換路徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點的連線兩點的連線CDAB與與CD的的交點交點p設設X單價單價a, Y單價單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x2.7 核軍備競賽核軍備競賽 冷戰時期美蘇聲稱為了保衛自己的安全，實行冷戰時期美蘇聲稱為了保衛自己的安全，實行“核威核威懾戰略懾戰略”，核軍備競賽不斷升級。，核軍備競賽不斷升級。 隨著前蘇聯的解體和冷戰的結束，雙方通過了一系列隨著前蘇聯的解體和冷戰的結束，雙方通過了一系列的核裁軍協議

19、。的核裁軍協議。 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態。在暫時的平衡狀態。 當一方采取加強防御、提高武器精度、發展多彈頭導當一方采取加強防御、提高武器精度、發展多彈頭導彈等措施時，平衡狀態會發生什么變化。彈等措施時，平衡狀態會發生什么變化。 估計平衡狀態下雙方擁有的最少的核武器數量，這個估計平衡狀態下雙方擁有的最少的核武器數量，這個數量受哪些因素影響。數量受哪些因素影響。背背景景以雙方以雙方(戰略戰略)核導彈數量描述核軍備的大小。核導彈數量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰略：核威懾戰略

20、： 認為對方可能發起所謂第一次核打擊，即傾其全部認為對方可能發起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；核導彈攻擊己方的核導彈基地； 乙方在經受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，乙方在經受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。給對方重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。攻擊對方的一個核導彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數，它由一方的攻擊精摧毀這個基地的可能性是常數，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設

21、設圖圖的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數枚導彈，乙方所需的最少導彈數x=g(y)乙方有乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數枚導彈，甲方所需的最少導彈數當當 x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經沒有導彈，乙方為毀滅甲甲方實行第一次打擊后已經沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業、交通中心等目標所需導彈數方工業、交通中心等目標所需導彈數x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區乙安全區甲甲安安全全區區雙方雙方安全區安全區P平衡點平衡點(雙方最少導彈數雙方

22、最少導彈數)乙安全線乙安全線精細精細模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導彈攻擊乙方一個甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。基地，基地未被摧毀的概率。sx個基地未摧毀，個基地未摧毀，yx個基地未攻擊。個基地未攻擊。xy甲方以甲方以 x攻擊乙方攻擊乙方 y個基地中的個基地中的 x個個,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個被攻擊個被攻擊2次，次，s2(xy)個未摧毀；個未摧毀；y (xy)=2y x個被攻擊個被攻擊1次，次，s(2y x )個未摧毀個未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s

23、)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導彈數量比甲乙導彈數量比)x=a y,精細精細模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值威懾值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平a變大，變大，y增加，曲線變陡增加，曲線變陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經費保護及疏散工業、交通中心等目標甲方增加經費保護及疏散工業、交通中心等目標乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大x

24、y0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 甲方將固定核導彈基地改進為可移動發射架甲方將固定核導彈基地改進為可移動發射架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP

25、模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少PP 雙方發展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標雙方發展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(x , y仍為雙方核導彈的數量仍為雙方核導彈的數量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 變大變大 y增加且變陡增加且變陡雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f

26、(x)?PP 帆船在海面上乘風遠航，確定帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向簡化問題簡化問題AB 風向風向北北航向航向帆船帆船海面上東風勁吹，設帆船海面上東風勁吹，設帆船要從要從A點駛向正東方的點駛向正東方的B點，點，確定起航時的航向確定起航時的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.8 啟帆遠航啟帆遠航模型分析模型分析 風風(通過帆通過帆)對船的推力對船的推力w 風對船體部分的阻力風對船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設假設 w與帆迎風面積與

27、帆迎風面積s1成正比，成正比，p與船迎風面積與船迎風面積s2成正比，比例系數相同且成正比，比例系數相同且 s1遠大于遠大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假設假設 wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v

28、1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當當 固定時求固定時求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時時 f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12

29、sstt備注備注 只討論起航時的航向，是靜態模型只討論起航時的航向，是靜態模型 航行過程中終點航行過程中終點B將不在正東方將不在正東方 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s22.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化物物理理量量的的量量綱綱長度長度 l 的量綱記的量綱記 L=l質量質量 m的量綱記的量綱記 M=m時間時間 t 的量綱記的量綱記 T=t動力學中動力學中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導出量綱導出量綱221rmmkf 加速度加速度 a

30、的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數引力常數 k 的量綱的量綱 k對無量綱量對無量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系系例：單擺運動例：單擺運動)1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動周期求擺動周期 t 的表達式的表達式設物理量設物理量 t, m, l, g 之間有關系式之間有關系式 1, 2, 3 為待定系數，為待定系數， 為無量綱量為

31、無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達式的量綱表達式glt2對比對比33212TLMT12003321對對 x,y,z的兩組測量值的兩組測量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設這種形式為什么假設這種形式321glmt 設設p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111

32、czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式的一般表達式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數為待定常數, 為無量綱量為無量綱量0)(F設設 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (

33、ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無關的物理定律，是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個相互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且則則)()()()()

34、()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1,

35、3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個基本解個基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價等價flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達式的顯式表達式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (

36、q1, q2, , qm) =0 等價等價221213,),(lsglvglf量綱分析法的評注量綱分析法的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構造基本解的構造 結果的局限性結果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關重要的中包括哪些物理量是至關重要的基本量綱個數基本量綱個數n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構造有目的地構造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數函數F和無量綱量未定和無量綱量未定不需要特定的專業知識不需要特定的專業知識2.9.2 量綱分析在物理模擬中的應用量綱分析在物理模擬中的應用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻

37、力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力通過航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數模型船的參數(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數原型船的參數(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測量測 f，可算出，可算出 f1 物理模擬物

38、理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3 無量綱化無量綱化例：火箭發射例：火箭發射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發射。初速星球表面豎直發射。初速v, 星球半星球半徑徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時間隨時間 t 的變化規律的變化規律t=0 時時 x=0, 火箭質量火箭質量m1, 星球質量星球質量m2牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律)0( xgx grkm223個獨立參數個獨立參數

39、用無量綱化方法減少獨立參數個數用無量綱化方法減少獨立參數個數x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變量變量 x,t 和獨立參數和獨立參數 r,v,g 的量綱的量綱用用參數參數r,v,g的組合的組合, ,分別分別構造與構造與x,t具有相同具有相同量綱量綱的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）無量綱變量無量綱變量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡化將被簡化cctttxxx,令令 xc, tc的不同構造的不同構造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同簡化結果的不同簡化結果),;(gvrtxx xrvt dxdrvxx

40、vt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 為無量綱量為無量綱量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 為無量綱量為無量綱量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 為無量綱量為無量綱量)/(80008 . 91063703smrg1）2）3）的共同點的共同點只含只含1個參數個參數無量綱量無量綱量 );(txx

41、解解重要差別重要差別rgv2考察無量綱量考察無量綱量v1在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 為因子的項？為因子的項？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 項項無解無解x不能忽略不能忽略 項項1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxxtttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 項項0)(tx不能忽略不能忽略 項項忽略忽略 項項0)(txvxxgx)0(0)0( tttx2)(2gv

42、tgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭發射過程火箭發射過程中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原問問題題可以忽略可以忽略 項項vtgttx221)(是原問題是原問題的近似解的近似解為什么為什么3)能忽略能忽略 項，得到原問題近似解，而項，得到原問題近似解，而1) 2)不能不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到達最高點時間為火箭到達最高點時間為v/g, 高度為高度為v2/2g,cctttxxx/,/大體上具有單位尺度大體上具有單位尺度)1(項可以忽略項可

43、以忽略cxx 1,tx)1(項不能忽略項不能忽略林家翹：自然科學中確定性問題的應用數學林家翹：自然科學中確定性問題的應用數學 圓周率是人類獲得的最古老的數學概念圓周率是人類獲得的最古老的數學概念之一，早在大約之一，早在大約37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已經在年左右）的古埃及人就已經在 用用256/81256/81（約約3.16053.1605）作為）作為的近似值了。幾千年來的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求，人們一直沒有停止過求的努力的努力。2.10 的計算的計算 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法

44、概率方法概率方法 數值積分方法數值積分方法 古典方法古典方法用什么方法來計用什么方法來計 算算的近似值呢？顯然，不可能僅根的近似值呢？顯然，不可能僅根據圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們據圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近采用的都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法的古典方法。6邊形邊形12邊形邊形24邊形邊形圓圓 阿基米德曾用圓內接阿基米德曾用圓內接 9696邊形和圓外切邊形和圓外切9696邊形夾逼的方法證明了邊形夾逼的方法證明了72271223 由由和和 導出導出 tansin 96 公元公元5世紀，祖沖

45、之指出世紀，祖沖之指出3.14159273.1415926 比西方得到同樣結比西方得到同樣結果幾乎早了果幾乎早了1000年年 十五世紀中葉，阿爾十五世紀中葉，阿爾卡西給出卡西給出的的16位小數，打破了祖沖之的紀錄位小數，打破了祖沖之的紀錄 1579年年, ,韋達證明韋達證明373.14159265 353.14159265 1630年年, ,最后一位用古典方法求最后一位用古典方法求的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小數位小數 分析方法分析方法從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求分析方法來求的近似值，其中應用的主的近似值，其

46、中應用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數，在要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數，在本節中我們將介紹一些用此類方法求本節中我們將介紹一些用此類方法求近近似值的實例似值的實例。067702.321201920543432122103516.341403940543432122 取取20 k取取10 k 1656年，沃里斯年，沃里斯( (Wallis) )證明證明 112212227656543432122kkkkk 在微積分中我們學過泰勒級數，其中有在微積分中我們學過泰勒級數，其中有12)1(53arctan12053 kxxxxxkkk),( x當當1 x121)1(5131140 kkk 取取

47、20 k189184. 3411391513114 取取10 k232316. 3211191513114 在中學數學中證明過下面的等式在中學數學中證明過下面的等式31arctan21arctan1arctan4 左邊三個正方形左邊三個正方形組成的矩形中，組成的矩形中， 由由 和和 可得可得CBA DC 和和 的展開式的收斂速度的展開式的收斂速度都比都比 快得多快得多21arctan1arctan31arctanACBD 麥琴麥琴( (Machin) )給出給出2391arctan51arctan44 (Machin公式公式) )51arctan 44 2391tan 記記 ， ，得得此式求得

48、了此式求得了的第的第100位小數且全部正確位小數且全部正確 其它方法其它方法除用古典方法與分析方法求除用古典方法與分析方法求的近似值以的近似值以外，還有人用其他方法來求外，還有人用其他方法來求的近似值。的近似值。這里我們將介紹兩種方法：這里我們將介紹兩種方法： 概率方法概率方法 數值積分方法數值積分方法 概率方法概率方法取一個二維數組（取一個二維數組（x,yx,y），取一個充分大的），取一個充分大的正整正整 數數n n，重復，重復n n次，每次獨立地從次，每次獨立地從 （0 0，1 1）中隨機地取一對中隨機地取一對 數數x x和和y y ，分別檢驗，分別檢驗x x2 2+y+y2 211是否成

49、立。是否成立。 設設n n次試驗中等式成立次試驗中等式成立的共有的共有m m次，令次，令4m/n4m/n。但這種方法很難得到但這種方法很難得到的較好的近似值的較好的近似值。 數值積分方法數值積分方法 10214dxx 102114dxx 還可用其它數值積還可用其它數值積分公式來求，但用分公式來求，但用此類方法此類方法效果也很效果也很難做得比用冪級數難做得比用冪級數展開更好展開更好MATLAB命令:digits(200),vpa(pi) 最小二乘法最小二乘法 插值方法插值方法 當問題的機理非常不清楚難以直接利用其他知當問題的機理非常不清楚難以直接利用其他知識來建模時，一個較為自然的方法是利用數據

50、識來建模時，一個較為自然的方法是利用數據進行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關系進行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關系即函數關系。即函數關系。2.11 經驗模型經驗模型設經實際測量已得設經實際測量已得 到到n組數據（組數據（xi , yi），），i=1, n。將數據。將數據畫在平面直角坐標系中，見畫在平面直角坐標系中，見 圖。如果建模者判斷圖。如果建模者判斷 這這n個點很個點很象是分布在某條直線附近，令象是分布在某條直線附近，令 該直線方程該直線方程 為為y=ax+b，進而，進而利用數據來求參利用數據來求參 數數a和和b。由于該直線只是數據近似滿足的。由于該直線只是數據近似滿足的關系式，故關

51、系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望一般不成立，但我們希望 niiibaxy12)(最小最小此式對此式對a和和b的偏導數均的偏導數均 為為0，解相應方程組，求得：解相應方程組，求得： xaybxxyyxxaniiniii121)()(y=ax+byO(xi ,yi)x其中其中 和和 分別為分別為xi和和yi的平均值的平均值 xy如果建模者判斷變量間的關系并非線性關系而是其他類型的函數，如果建模者判斷變量間的關系并非線性關系而是其他類型的函數，則可作則可作 變量替換變量替換使之轉化為線性關系或用類似方使之轉化為線性關系或用類似方 法法擬合擬合。顯然，運動員體重越大，他能舉起的

52、重量也越大，但舉重顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運動員體重到底是怎樣關系的，不同量級運動員的成績和運動員體重到底是怎樣關系的，不同量級運動員的成績又如何比較優劣呢？運動成績是包括生理條件、心理成績又如何比較優劣呢？運動成績是包括生理條件、心理因素等等眾多相關因素共同作用的結果，要建立精確的模因素等等眾多相關因素共同作用的結果，要建立精確的模型至少現在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀錄，型至少現在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀錄，根據這些數據不妨可以建立一些經驗模型。為簡單起見，根據這些數據不妨可以建立一些經驗模型。為簡單起見，我們不妨取表中的數據為例。我

53、們不妨取表中的數據為例。例例1（舉重成績的比較）（舉重成績的比較）舉重舉重是一種一般人都能看懂的運動，它共分是一種一般人都能看懂的運動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。和挺舉。 表中給出了到表中給出了到1977年底為止九個年底為止九個重量級的世界紀錄。重量級的世界紀錄。255200110以上以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）挺舉（公斤）抓舉（公斤）抓舉（公斤）成績成績重量級（上限體重量級（上限體

54、重）重）模型模型1（線性模型）（線性模型） 將數據畫在直角坐標系中可以發現，運動成績與體將數據畫在直角坐標系中可以發現，運動成績與體量近似滿足線性關系，只有量近似滿足線性關系，只有110公斤級有點例外，兩公斤級有點例外，兩項成績都顯得較低。應用前面敘述的方法可求出近項成績都顯得較低。應用前面敘述的方法可求出近似關似關 系式系式L=kB+C，其中，其中B為體重，為體重，L為舉重成績。為舉重成績。你在作圖你在作圖 時時L軸可以放軸可以放 在在50公斤或公斤或52公斤處，因為公斤處，因為沒有更輕級別的比賽，具體計算留給讀者自己去完沒有更輕級別的比賽，具體計算留給讀者自己去完成。成。 模型模型2（冪函

55、數模型）（冪函數模型） 線性模型并未得到廣泛的接受，要改進結果，能夠線性模型并未得到廣泛的接受，要改進結果，能夠想到的自然首先是冪函數模型，即令想到的自然首先是冪函數模型，即令L=kBa，對此式，對此式取對數，得取對數，得 到到lnL=lnk+a lnB。將原始數據也取對數，。將原始數據也取對數，問題即轉化了線性模型，可用最小二乘法求出參數。問題即轉化了線性模型，可用最小二乘法求出參數。幾十年前英國和愛爾蘭采用的比較舉重成績優劣幾十年前英國和愛爾蘭采用的比較舉重成績優劣 的的Austin公式公式：L=L/B3/4就是用這一方法求得的。就是用這一方法求得的。 模型模型3（經典模型）（經典模型）

56、經典模型是根據生理學中的已知結果和比例關系推導出來的經典模型是根據生理學中的已知結果和比例關系推導出來的公式，應當說，它并不屬于經驗公式。為建立數學模型，先公式，應當說，它并不屬于經驗公式。為建立數學模型，先提出如下一些假設：提出如下一些假設： (1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積面積A，即，即L=k1A(2)A正比于身高正比于身高 L的平方，即的平方，即 A=k2L2(3)體重正比于身高體重正比于身高 L的三次方，的三次方， 即即B=k3L3根據上述假設，可得根據上述假設，可得 3232321)(KBkBkkL顯然，顯然，K越大則成績越好，故可用越大則

57、成績越好，故可用 來比較選手來比較選手比賽成績的優劣。比賽成績的優劣。 32LBL32321kkkK模型模型4（O Carroll公式）公式） 經驗公式的主要依據是比例關系，其假設條件非常粗糙，可經驗公式的主要依據是比例關系，其假設條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數人認為它不能令人信服。信度不大，因而大多數人認為它不能令人信服。1967年，年，O Carroll基于動物學和統計分析得出了一個現在被廣泛使用的基于動物學和統計分析得出了一個現在被廣泛使用的公式。公式。O Carroll模型的假設條件是：模型的假設條件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) B-B

58、o =k3L3 假設假設(1)、(2)是解剖學中的統計規律，在假設是解剖學中的統計規律，在假設 （3）中）中O Carroll將體重劃分成兩部分：將體重劃分成兩部分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。為非肌肉重量。 故有：故有： 3 31 13 35 5) )( ( BkL根據三條假設可根據三條假設可 得得L=k(B-B0),k和和為兩個常數，為兩個常數， 3 32 23 3ab此外，根據統計結果，他此外，根據統計結果，他 得出得出B035公斤，公斤， 3 31 1k越大成績越好。因而建議越大成績越好。因而建議根據的大小根據的大小 來比來比 較選手成績的優劣。較選手成績的優劣。 3 31 13

59、5)35)( (BLL模型模型5（Vorobyev公式）公式） 這是一個前蘇聯使用的公式。建模者認為舉重選手舉起的不這是一個前蘇聯使用的公式。建模者認為舉重選手舉起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其舉起的總重量為光是重物，也提高了自己的重心，故其舉起的總重量為L+B，可以看出，他們更重視的是腿部肌肉的爆發力。應用與模型可以看出，他們更重視的是腿部肌肉的爆發力。應用與模型4類似的方法，得出了按類似的方法，得出了按 的大小比較成績優劣的建議。的大小比較成績優劣的建議。 60)/900BBBLL(0.45上述公式具有各不相同的基準，無法相互比較。為了使公式具上述公式具有各不相同的基準，無法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式有可比性，需要對公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足均滿足在在 B=75公斤時有公斤時有 L=L，則上述各公式化為：，則上述各公式化為：（1）Austin公式：公式：（2）經典經典公式：公式：（3）O Carroll公式：公式：（4）Vorobyev公式：公式：4 43 37 75 5BLL3 32 2