1、數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新2 函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新證明證明即即內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0

2、 xU 內(nèi)具有任意階導(dǎo)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導(dǎo)任意次逐項求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系

3、數(shù)數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新 如如果果)(xf在在點點0 x處處任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則冪冪級級數(shù)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱稱為為)(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點00 x的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新 0, 00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麥麥?zhǔn)鲜霞壖墧?shù)數(shù)為為. 0)(),

4、( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在可見可見).()(,0 xfxfs于于的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點任意可導(dǎo)點任意可導(dǎo),數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新定定理理 2 2 )(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新充分

5、性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于定定理理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xU上上有有定定義義, ,0 M, ,對對),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00RxRx 內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù). .數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(01

6、0收收斂斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)可展成點可展成點x),(00RxRxx 數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新例例1解解.)(展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112

7、, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新例例2.sin)(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新例例3.)()1()(的的冪冪級級數(shù)數(shù)

8、展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xx

9、sxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新有有時時當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nn

10、xxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn數(shù)

11、學(xué)分析冪級數(shù)最新 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新例例4處處展展開開成成泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 數(shù)學(xué)分

12、析冪級數(shù)最新三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新思考題思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？什么叫冪級數(shù)的間接展開法？數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運通過變量代換、四則運算或逐項求導(dǎo)、逐項積分等辦法算或逐項求導(dǎo)、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開式的方法稱之展開式的方法稱之.數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新一一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式

13、式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級級數(shù)數(shù) . .四四、 將將級級數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題數(shù)學(xué)分析冪級數(shù)最新練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12