1、121 21 時間平移和時間反演時間平移和時間反演21-1 21-1 時間平移時間平移、量子力學中的時空觀、量子力學中的時空觀在量子力學中，系統或粒子的空間坐標是物理量，在量子力學中，系統或粒子的空間坐標是物理量，有厄米算符與之對應，有本征值和本征矢量，但是有厄米算符與之對應，有本征值和本征矢量，但是時間卻不是物理量，沒有算符與之對應，它在理論時間卻不是物理量，沒有算符與之對應，它在理論中的地位只是一個實數參數，所以系統的哈密頓量中的地位只是一個實數參數，所以系統的哈密頓量在時間變換方面的不變性或對稱性，與對空間變換在時間變換方面的不變性或對稱性，與對空間變換的不變性是不完全一樣的。的不變性是

2、不完全一樣的。2二、時間平移操作以及對態函數和算符的作用二、時間平移操作以及對態函數和算符的作用在位置表象中在位置表象中 時間平移算符及對態函數的作用時間平移算符及對態函數的作用設系統處于某一含時態設系統處于某一含時態 中，其態函數滿足中，其態函數滿足Schrdinger方程方程),()(ttr )(),()(ttHttiP,R 態的時間平移態態的時間平移態 是一個運動變化完全是一個運動變化完全與與 相同，但全面推遲相同，但全面推遲時間時間 發生的態，即發生的態，即 )(t)(t)(t)()(tt)()(tt3定義定義 為作用于時間參量上的時間平移操作，即為作用于時間參量上的時間平移操作，即)

3、(Q ttQ)(定義定義 為作用于時間函數上的時間平移算符，這是一個為作用于時間函數上的時間平移算符，這是一個函數空間上的幺正算符，其對函數的作用可寫為函數空間上的幺正算符，其對函數的作用可寫為)(D),()(,),()(),(1ttQtDtrrrr2. 時間平移算符對其他算符的作用時間平移算符對其他算符的作用Hilbert空間中的算符空間中的算符 的時間平移的時間平移 為為),(tAP,R),(tAP,R)(),()(),(1DtADtAP,RP,R)(,(1tQAP,R),(tAP,R4不顯含時間的算符不受時間平移的影響，如不顯含時間的算符不受時間平移的影響，如RRR)()(1DDPPP)

4、()(1DD用時間平移算符用時間平移算符)(D作用于作用于Schrdinger方程兩邊：方程兩邊：)()()()()()()()(11tDDHDtDDtDi即即 )()()(ttHtti此式一般來說與原來此式一般來說與原來Schrdinger方程不同，因為方程不同，因為)(tH不一定與不一定與 相同，因此相同，因此 不一定是系統一個可能實現的狀態。不一定是系統一個可能實現的狀態。)(tH)(t5三、哈密頓具有時間平移對稱性的情況三、哈密頓具有時間平移對稱性的情況具有時間平移對稱性，即具有時間平移對稱性，即如果系統的如果系統的H)()(tHtH對一切對一切成立，則成立，則Schrdinger方程

5、任何狀態的時間平移態方程任何狀態的時間平移態也是系統也是系統的一個可能的狀態，的一個可能的狀態，)()()(ttHtti哈密頓具有時間平移的對稱性即是要求它不明顯依賴于時間，哈密頓具有時間平移的對稱性即是要求它不明顯依賴于時間，不顯含時間的哈密頓本身是一個守恒量，因此說：不顯含時間的哈密頓本身是一個守恒量，因此說：系統的哈密頓如果具有時間平移的不變性系統的哈密頓如果具有時間平移的不變性 )()(tHtH則導致系統的能量守恒。則導致系統的能量守恒。6注意：注意：時間平移與時間演化是兩個不同的概念時間平移與時間演化是兩個不同的概念。波。波函數經時間平移后不一定再滿足函數經時間平移后不一定再滿足Sc

6、hrdinger方程，方程，而 時 間 演 化 算 符 作 用 后 的 波 函 數 要 服 從而 時 間 演 化 算 符 作 用 后 的 波 函 數 要 服 從Schrdinger方程。方程。時間平移算符：時間平移算符：dtdeD)(HieU1)0 ,( ( 不顯含時間）不顯含時間）H演化算符：演化算符：所以：所以： HidtdeeD)(721-2 21-2 時間反演時間反演一、態函數的時間反演變換一、態函數的時間反演變換1 1時間反演算符時間反演算符0T設系統的設系統的 為實算符（不含虛數），且不含時，無自為實算符（不含虛數），且不含時，無自旋。系統的態滿足旋。系統的態滿足Schrdinge

7、r方程：方程：H),(),(tHttirr ),(),()(tHttirrt換成換成-t：兩邊取復共軛：兩邊取復共軛： ),(),(*tHttirr8令令 ),(),(),(0*tTttrrr則則 為為時間反演態時間反演態， 稱為稱為時間反演算符時間反演算符。每一個含時態都有一個時間反演態與之對應，當哈每一個含時態都有一個時間反演態與之對應，當哈密頓在時間反演下不變時，時間反演態與原狀態滿密頓在時間反演下不變時，時間反演態與原狀態滿足相同的足相同的Schrdinger方程。方程。),(tr0T滿足下列條件：滿足下列條件： 0T010TT100TT 9的時間反演是的時間反演是位置算符位置算符，動

8、量算符，動量算符和軌道角動量和軌道角動量XPLXXX100TTPPP100TTLLL100TTProof: 取任意函數取任意函數),(tr，有，有),(),(*0100txiTtTPTxrr),(),(tPtxixrr 所以，所以， xxPTPT100 10如果無自旋系統的如果無自旋系統的不顯含時間，又是動量不顯含時間，又是動量HPHTHT100的二次式，則有的二次式，則有 此時該系統（及其哈密頓）具有此時該系統（及其哈密頓）具有時間反演不變性時間反演不變性或或時間反演對稱性。這時系統的每一個含時態的時間時間反演對稱性。這時系統的每一個含時態的時間反演態也是系統的一個可能實現的狀態。反演態也是

9、系統的一個可能實現的狀態。 11 在經典力學中，若單粒子所受的外力在經典力學中，若單粒子所受的外力 只是位只是位置的函數而與速度無關，則其運動方程滿足牛頓第置的函數而與速度無關，則其運動方程滿足牛頓第二定律，即二定律，即)F(rF(r)r22)(dttdm2. 2. 時間反演態時間反演態 t 換成換成-t：F(r)r22)(dttdm令粒子的時間反演態為令粒子的時間反演態為 )()(ttrr)(tr)(tr則則滿足與滿足與相同的運動方程。相同的運動方程。12反演態的物理圖象：反演態的物理圖象：當粒子從初始態當粒子從初始態 經過經過 時間運動到時間運動到 點，動點，動量為量為 時，則其時間反演態

10、如以時，則其時間反演態如以 為初始態，為初始態，經過時間經過時間 后，粒子將按原路徑回到后，粒子將按原路徑回到 ，而那時動，而那時動量為量為 ，情況與將原過程拍成電影倒過來放映一，情況與將原過程拍成電影倒過來放映一樣。樣。)(iip,rtfrfp)(ffp,r tirip13nitEininineat)(),(rr在量子力學中，以無自旋粒子系統為例，原來的含時態在量子力學中，以無自旋粒子系統為例，原來的含時態),(trSchrdinger方程，而方程，而的最一般解是的最一般解是 ),(tr),(tr與其時間反演態與其時間反演態兩者都滿足同一個兩者都滿足同一個式中式中 )()(rrninniEH

11、ndi, 2 , 1ndnE是能級是能級的簡并度。的簡并度。 時間反演態時間反演態: : nitEininineattTt)(),(),(),(*0rrrr),(),(ttrr可見：可見：14),(trH所以，當所以，當中不含虛數的情況下，中不含虛數的情況下， 雖然仍舊雖然仍舊滿足滿足原原Schrdinger方程，但不一定等于原過程的倒放。方程，但不一定等于原過程的倒放。 其原因是：其原因是： 經典力學只涉及實數，而量子力學涉及復數；經典力學只涉及實數，而量子力學涉及復數； 量子力學中有狀態疊加原理；量子力學中有狀態疊加原理； 與與 之間有較為復雜的關系。之間有較為復雜的關系。 )(rni)(

12、*rni153. 時間反演算符的數學性質時間反演算符的數學性質無自旋系統的時間反演算符可以寫成無自旋系統的時間反演算符可以寫成10TKT ),(),(*ttKrr),(),(1ttTrr不尋常的數學性質：不尋常的數學性質：（1）時間反演算符時間反演算符0T不是線性算符，它是不是線性算符，它是反線性算符反線性算符。 它雖然滿足它雖然滿足 2010210)(TTT但是但是 00*0)(TaTaaT16K0T（2 2）時間反演算符）時間反演算符 （）在單一空間的函數空間中）在單一空間的函數空間中不存在厄米共軛算符。不存在厄米共軛算符。rrrrrrrrrddKdG)()()()()()(*根據定義，根

13、據定義，K的厄米共軛算符的厄米共軛算符 GGG無論無論是什么算符，都不能上式成立。所以是什么算符，都不能上式成立。所以不存在。不存在。 但但K滿足滿足 *),(),(),(),(KKK因此，因此，時間反演算符是反幺正算符時間反演算符是反幺正算符。17（3）由于不存在厄米共軛，）由于不存在厄米共軛，時間反演算符不是厄米算時間反演算符不是厄米算符符，所以沒有物理量與之對應，沒有守恒律與之對應，所以沒有物理量與之對應，沒有守恒律與之對應4. Hilbert空間中的時間反演算符空間中的時間反演算符（1）反線性算符對左右矢的作用：）反線性算符對左右矢的作用：對線性算符，對線性算符，AAA AAA對反線性

14、算符，對反線性算符，?= 例如：可以設例如：可以設a 則對反線性算符則對反線性算符A，有，有 *)(aAA*)(aAAaAA)(18AA若對任意若對任意 , ,AA成立，則成立，則aAaA)()(*)()(AA，且有，且有aa *那么必須要求那么必須要求不符合矢量的任意性，所以對反線性算符，不符合矢量的任意性，所以對反線性算符，所以對反線性算符要分別表示：所以對反線性算符要分別表示：A,A和和19（2）時間反演算符對態矢量的作用：）時間反演算符對態矢量的作用： 在在Hilbert空間中，無自旋系統的時間反演算符空間中，無自旋系統的時間反演算符0T對右矢的作用：對右矢的作用：),(),(),(0

15、*tTttrrrrrr)()(,*0ttT利用：利用：1rrrd 左乘左乘r并積分，得并積分，得 rrr)(0tdT在在Hilbert空間中仍有空間中仍有010TT仍可寫成仍可寫成 10KTT rrr)()(tdtK左矢形式左矢形式 KttdKt)()()(rrr其中其中20內積內積 rrrrrrddKK ,rrrd （3）Hilbert空間中算符之間的關系空間中算符之間的關系定義一個符號定義一個符號“*”： 用這個符號可以把用這個符號可以把 KK ,寫成寫成 KK ,所以所以 KK , ),(),(KK與函數空間中的與函數空間中的 對應對應1UU211KK1KKKKKK,利用利用 有有則則

16、以上關系只有處于左右矢之間時才有意義。由此以上關系只有處于左右矢之間時才有意義。由此可見反幺正算符與幺正算符的異同之處。可見反幺正算符與幺正算符的異同之處。1,KKK1)(,KKK1UU在在Hilbert空間中，位置算符空間中，位置算符，動量算符和軌道角動，動量算符和軌道角動量算符的時間反演變換為量算符的時間反演變換為RR100TTPP100TTLL100TT22三、自旋三、自旋1/21/2粒子系統的時間反演算符粒子系統的時間反演算符zS取常用的取常用的表象來討論，自旋表象來討論，自旋1/2粒子的時間反演算符粒子的時間反演算符T0T除了符合除了符合所滿足的所滿足的21.10式或式或21.19式

17、之外，還應滿足式之外，還應滿足 SS1TT0UTT S是粒子的自旋算符。令是粒子的自旋算符。令 10KTT 其中其中 ,U22是一個是一個矩陣，為自旋空間中的算符。矩陣，為自旋空間中的算符。1*11001UUUTUTTTSSS23在在zS表象中，表象中， 10012zS01102xS002 iiSyxSzSySU和和都是實矩陣，而都是實矩陣，而是純虛的，所以是純虛的，所以應滿足應滿足xxSUUS1*1yyUS USzzSUUS1才能使才能使 SSS1*1UUTT取取 0110yiU01101yiU即可即可 時間反演算符時間反演算符 為為T10UKTUTT12 TTTTT1滿足滿足24四、哈密頓

18、本征函數的時間反演態四、哈密頓本征函數的時間反演態在時間反演下不變，有時可以討論哈密頓本征函數的在時間反演下不變，有時可以討論哈密頓本征函數的時間反演。如果態不含時，時間反演實際上是時間反演。如果態不含時，時間反演實際上是 起作起作KEtiertr)(),(Etie由于定態由于定態中的時間因子中的時間因子用用取復共軛。取復共軛。)()(rrninniEH對無自旋粒子，對對無自旋粒子，對兩邊取復共軛，兩邊取復共軛，)()(*rrninniEH得得)(*rni)(rni即即的時間反演態，的時間反演態， 可見，可見，當哈密頓量具有時間反演不變性時，它的本征當哈密頓量具有時間反演不變性時，它的本征函數

19、的時間反演仍是其本征函數，而本征值不變。函數的時間反演仍是其本征函數，而本征值不變。2521-3 21-3 實表示和復表示實表示和復表示介紹了介紹了如何判斷他們之間的關系屬于哪種類型。如何判斷他們之間的關系屬于哪種類型。主要內容：討論了一個空間對稱變換群主要內容：討論了一個空間對稱變換群Q的的d 維表示維表示矩陣矩陣D(Q)與其復共軛表示與其復共軛表示D*(Q)之間的關系之間的關系,并重點并重點、變換算符的矩陣表示、變換算符的矩陣表示ni設設D(Q)是群是群Q的一組幺正的不可約表示，其基函數為的一組幺正的不可約表示，其基函數為,其中其中n是一個給定的數，是一個給定的數，i=1,2,3,djji

20、njniQDQD)()()()(rr26兩邊取復共軛，得兩邊取復共軛，得 jjinjniQDQD)()()()(*rr在上式中，在上式中，nininiT0*iizS算符的復共軛算符的復共軛的定義為：在位置及的定義為：在位置及表象中將算符中的表象中將算符中的RR*PP*LL*xxSS *yySS*zzSS *所以所以因此，空間對稱變換中的平移，轉動和反演算符都滿足因此，空間對稱變換中的平移，轉動和反演算符都滿足DD* 27例如：例如： )(*)()(PPiieDeD所以有所以有 jjinjniQDQD)()()()(*rr*jiD)(*QDji上式表明：矩陣元為上式表明：矩陣元為的一組矩陣的一組

21、矩陣 Q也是群也是群的一組幺正的不可約表示，的一組幺正的不可約表示，)(*rni其基函數是其基函數是28類型類型1 1：對所有的對所有的 ， 全是實矩陣，全是實矩陣，二、表示矩陣的分類二、表示矩陣的分類 Q)(QD或者雖然不全是實矩陣，但與一個實表示等價，或者雖然不全是實矩陣，但與一個實表示等價，這種表示稱為這種表示稱為實表示實表示；這時可以說這時可以說 是實質上的實表示。是實質上的實表示。)(QD)(QD另有：當表示另有：當表示不全是實矩陣，但與實表示等價時，不全是實矩陣，但與實表示等價時，)(QD)(*QD必定與必定與等價。等價。29類型類型2.2. 這種表示稱之為這種表示稱之為贗實表示贗

22、實表示。)(QD)(*QD與與不等價，不等價，類型類型3.)(QD)(*QD與與等價，但不存在一個實表示與之等價，等價，但不存在一個實表示與之等價，)(QD Q為群為群的的復表示復表示。則則3021-4 21-4 時間反演引起的附加簡并時間反演引起的附加簡并、附加簡并、附加簡并的一組本征函數（共的一組本征函數（共d 個）個）是其對稱性群是其對稱性群Q的的d 維幺正不可約表示維幺正不可約表示D(Q)的基函數的基函數H設系統的哈密頓為設系統的哈密頓為，已知某一特定能級，已知某一特定能級EiiEHdi, 2 , 1jjijiQDQD)()( 31將證明將證明: 這一能級的簡并度只有這一能級的簡并度只

23、有d 和和2d 兩種可能。兩種可能。可以發生后一種情況，可以發生后一種情況，H沒有時間反演對稱性時，肯定是前者；沒有時間反演對稱性時，肯定是前者；當當H當當具有時間反演對稱性時，在一定條件下，具有時間反演對稱性時，在一定條件下，這時時間反演引起了多一倍的這時時間反演引起了多一倍的附加簡并附加簡并。32附加簡并的解釋附加簡并的解釋: H當當具有時間反演對稱性時，它的任意一個本征函數具有時間反演對稱性時，它的任意一個本征函數如果這些時間反演態都在原來的表示空間之內，則能如果這些時間反演態都在原來的表示空間之內，則能級級E的簡并度仍為的簡并度仍為d。如果所有的時間反演態都在原來的表示空間之外，如果所有的時間反演態都在原來的表示空間之外，又形成一個新的又形成一個新的d維空間，這個能級的簡并度是維空間，這個能級的簡并度是2d。i*0iiiT的時間反演的時間反演也是同一能級的本征函數。也是同一能級的本征函數。33二、結論二、結論三、例子三、例子 對于沒有自旋的系統，當表示對于沒有自旋的系統，當表示D(Q)屬于類型屬于類型1時不時不發生附加簡并，而當表示發生附加簡并，而當表示D(Q)屬于類型屬于類型2或類型或類型3時，時，則發生附加簡并。則發生附加簡并。1.一維自由粒子：一維自由粒子：221PmH xiP 哈密頓具有