1、第六章 變換與離散系統的頻域分析 第八章 Z變換與離散系統的Z域分析 8.1 Z變換的定義變換的定義8.2 Z變換收斂區及典型序列變換收斂區及典型序列Z變換變換8.3逆逆Z變換變換 Z變換的性質定理變換的性質定理8.4 Z變換的性質定理變換的性質定理 8.5 離散系統的復頻域分析離散系統的復頻域分析第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.1 Z變換的定義變換的定義 Z變換的定義可由抽樣信號的拉氏變換引出。連續信號的理想抽樣信號為 nTsnTtnTxttxtx)()()()()(式中, T為抽樣間隔。對上式取雙邊拉氏變換，得到 dtenTtnTxdtetxtxLSXststsss)()()()()

2、(第六章 變換與離散系統的頻域分析 交換運算次序， 并利用沖激函數的抽樣性， 得到抽樣信號的拉氏變換為 nsnTnstsenTxdtenTtnTxsX)()()()(8.1-1)令z=esT或 ，引入新的復變量，式(8.1-1)可寫為 nzTs11nnsznTxsX)()(8.1-2)第六章 變換與離散系統的頻域分析 式(8.1-2)是復變量Z的函數（T是常數）， 可寫成 212)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxxzxzxznxzXnn (8.1-3) 式(8.1-3)是雙邊Z變換的定義。 如果x(n)是因果序列是因果序列，則式(6.1-3)的Z變換為 210)2() 1 (

3、)0()()(zxzxxznxzXnn (8.1-4) 第六章 變換與離散系統的頻域分析 總結總結 ：雙邊雙邊Z變換的定義式變換的定義式nnznxzX)()(單邊單邊Z變換的定義式變換的定義式0)()(nnznxzX只有當級數收斂時，只有當級數收斂時，Z Z變換才有意義變換才有意義nnznx|)(|即：即：第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.2 Z變換收斂域及典型序列變換收斂域及典型序列Z變換變換 例例8.2-1 已知序列已知序列 000)(,000)(21nannxnnanxnn分別求它們的分別求它們的Z變換及收斂域。變換及收斂域。 對于任意給定的有界序列對于任意給定的有界序列x(n),x

4、(n),使使z z變換定義式級數收斂變換定義式級數收斂 的所有的所有z z值得集合，稱為值得集合，稱為z z變換變換X(z)X(z)是收斂域（是收斂域（region of region of convergence,convergence,簡寫為簡寫為ROCROC）第六章 變換與離散系統的頻域分析 解解 |1|111)(1lim)()(11110101azazzazazazazazzazXnnnnnnn收斂域為：（1）第六章 變換與離散系統的頻域分析 |1|1111)(1lim1)(1)()()(1111011112azazzzaazzazazazazazXnnnnnnnnn收斂域為：（2）第

5、六章 變換與離散系統的頻域分析 X1(z)與與X2(z)相同，但相同，但X1(z)的收斂區是以的收斂區是以|a|為半徑為半徑的圓外，的圓外， 而而X2(z)的收斂區是以的收斂區是以|a|為半徑的圓內。為半徑的圓內。 此例說明，收斂區與此例說明，收斂區與x(n)有關，并且對于雙邊有關，并且對于雙邊Z變變換，換，不同序列的不同序列的ZTZT表示式有可能相同，但各自的收斂表示式有可能相同，但各自的收斂區一定不同。區一定不同。所以為了所以為了惟一確定惟一確定Z變換所對應的序列，變換所對應的序列，雙邊雙邊Z變換除了要給出變換除了要給出X(z)的表示式外，還必須標明的表示式外，還必須標明X(z)的收斂區的

6、收斂區。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 1. 1. 有限長序列有限長序列 其它0)()(21nnnnxnx圖圖 8.2-1 有限長序列示意圖有限長序列示意圖 0n1n2nx(n)Z變換為變換為 ：21)()(nnnnznxzXX X( (z z) )是有限項級數，級數每項有界，則有限項之和亦有界。是有限項級數，級數每項有界，則有限項之和亦有界。當當x x( (n n) )有界時，有界時， n1nn2,Z Z變換的收斂區變換的收斂區取決于取決于| |z z| |- -n n， ( (1)0 1)0 n1 ， X X( (z z) )只有只有z z的負冪項的負冪項, ,收斂區為收斂區為 00

7、| |z z|(2)n(2)n2 2 0, X0, X( (z z) )只有只有z z的正冪項，收斂區為的正冪項，收斂區為 0|0|z z|（3 3）n n1 10,0,n n2 2 0, 0,收斂區為收斂區為 0|0|z z|(4)x x( (n n)=a)=a( (n n) ) X X( (z z)=a)=a，0|0|z z|第六章 變換與離散系統的頻域分析 例8.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解 1)1(2110111)(zzzzzzzXNNNnn收斂域為收斂域為0|z| 第六章 變換與離散系統的頻域分析 2. 右邊序列右邊序列 右邊序列是右邊序列是有始無終有始無終

8、的序列，即的序列，即n2，如圖，如圖6.2-2所示。所示。 右邊序列的右邊序列的Z變換為變換為 1)()(nnnznxzX若滿足若滿足n1nx(n)0圖圖8.2-2 右邊序列示意圖右邊序列示意圖1)(limnnnznx即即1)(limxnnRnxz右邊序列的收斂域為一個圓外的部分：右邊序列的收斂域為一個圓外的部分：|1zRx當當n10時，時，X(z)的和式中沒有的和式中沒有z的正冪項，收斂域為的正冪項，收斂域為|1zRx第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.2-3 已知序列已知序列 ),(31)(nunxn求X(z)。 解解 31|)3/1 (1131|131311311lim31)(11

9、110zzzzzzzzXnnnnn即當推論：推論：在在X X( (z z) )的封閉表示式中，若有多個極點，則右邊序列的的封閉表示式中，若有多個極點，則右邊序列的收斂域收斂域是以是以絕絕對值最大對值最大的極點為收斂半徑的圓外。的極點為收斂半徑的圓外。 收斂域是以收斂域是以X(z)的的極點極點1/3為半徑的圓外為半徑的圓外第六章 變換與離散系統的頻域分析 3. 左邊序列左邊序列 左邊序列是左邊序列是無始有終無始有終的序列，即的序列，即n1-，如圖，如圖8.2-3所示。所示。 左邊序列的左邊序列的Z變換為變換為 22)- ()()(nnnnnnznxznxzX當滿足當滿足n2nx(n)0圖圖 8.

10、2-3 左邊序列示意圖左邊序列示意圖 1)- (limnnnznx即即2)(1limxnnRnxz左邊序列的收斂域為一個圓內的部分：左邊序列的收斂域為一個圓內的部分：若n2 0 ，收斂域還包含0點2|0 xRz 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.2-4 已知序列已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求，求X(z)。 解解 |0111)(1lim11)(111011bzbzzbzzbzbzbzbzbzXnnnnnnnnnnn推論：推論： 在在X(z)的封閉表示式中，若有多個極點，則左邊序列收斂區是以的封閉表示式中，若有多個極點，則左邊序列收斂區是以絕對絕對值最小值最小的極點為收斂半徑的

11、圓內。的極點為收斂半徑的圓內。 收斂域是以收斂域是以X(z)的的極點極點b為半徑的圓內為半徑的圓內第六章 變換與離散系統的頻域分析 4. 雙邊序列雙邊序列 雙邊序列是無始無終的序列，即雙邊序列是無始無終的序列，即n1-，n2。其。其Z變換為變換為 nnznxzX)()(將雙邊序列的將雙邊序列的X(z)分為兩部分分為兩部分 01)()()(nnnnznxznxzX2xRz 1xRz 21xxRzR 雙邊序列的收斂域為圓環：雙邊序列的收斂域為圓環：注意：注意：若若Rx2 Rx2,兩序列的兩序列的ROC無無重疊區，則該雙邊序列的重疊區，則該雙邊序列的ROC不存在不存在第六章 變換與離散系統的頻域分析

12、 例例8.2-5 已知雙邊序列已知雙邊序列x(n)=c|n|，c為實數，求為實數，求X(z)。 00)(|ncnccnxnnn)()()()(2101|zXzXznxczcczXnnnnnnnn n0時，時， |1|1|11)(1lim)()(1211czczczczczczczczczzczczXnnnnnnnn或解：解：第六章 變換與離散系統的頻域分析 n0時時 |1|11)()(1102zcczczzczznxczXnnn或討論：討論：(1) |c|1時，時，c|n|波形如圖波形如圖6.2-4所示。所示。 |1| |)(1 ()1 (1)()()(221czcczczczczzczczz

13、XzXzX0ncnc n1c|n|c| 1圖圖 8.2-4 |c|1時，時，c|n|波形如圖波形如圖6.2-5所示。因為所示。因為 無公共無公共收斂區，所以收斂區，所以X(z)的雙邊的雙邊Z變換不存在。變換不存在。 XXRccR|1|圖 8.2-5 |c|1雙邊序列示意圖 0c ncnc|n|1n|c|1第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.2.2 典型序列的典型序列的Z變換變換 連續時間系統中非因果信號較少，但在離散系統中非因果序列(單邊序列、雙邊序列)卻有一定的應用。 1. (n) 1)(1)()(0nznnZnn第六章 變換與離散系統的頻域分析 2. u(n) 1|11|11)(110z

14、zzzzznuZnn第六章 變換與離散系統的頻域分析 3. 斜變序列斜變序列nu(n) nnnnzzznzznuZ2102)(|z-1|1 同理 1cos2)sin21)()(21)()sin(02000000zzzsezzezzjnueejnunjjnjnj|z|1 第六章 變換與離散系統的頻域分析 6. 雙邊指數序列雙邊指數序列 |1|)(1 ()1 ()(1|)(2|azaazazazzXaanxn第六章 變換與離散系統的頻域分析 表表8-1常用序列常用序列Z變換表變換表 第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.3 逆逆 Z變變 換換 逆Z變換也稱反變換，Z反變換可用英文縮寫Z-1表示，是

15、由X(z)求x(n)的運算，若 XXnnRzRznxzX|,)()(8.3-1) 則由柯西積分定理，可以推得逆變換表示式為 ),(,)(21)(1XXcnRRcdzzzXjnx(8.3-2) 即對X(z)zn-1作圍線積分，其中c是在X(z)的收斂區內一條逆時針的閉合圍線。一般來說，計算復變函數積分比較困難，所以當X(z)為有理函數時，介紹常用的兩種反變換方法。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.3.1 冪級數展開法冪級數展開法 將X(z)展開，X(z)=+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+，其系數就是x(n)。特別的，對單邊的左序列或右序列，當X(z)為有理函數時， 冪級數法也稱長

16、除法。舉例說明用長除法將X(z)展開成級數求得X(z)的方法。 例例8.3-1 已知 , 求x(n)。 |,| /1| ,)(1azzaazX第六章 變換與離散系統的頻域分析 解解 因為收斂區在因為收斂區在1/|a|外，序列為外，序列為右序列右序列，應展開為，應展開為z的降冪級數的降冪級數。 0332211111)(nnnzazazazazX由此可得x(n)=a-nu(n)。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例6.3-2 已知，求x(n)。 |1| ,)(1azzaazX 解解 因為收斂區在1/|a|圓內，序列為左序列，應展開為z的升的升冪級數冪級數。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 1

17、443322)(nnnzazazazaazzX由此可得x(n)=-a-nu(-n-1)。 用長除法可將X(z)展開為z的升冪或降冪級數，它取決于X(z)的收斂區。所以在用長除法之前，首先要確定用長除法之前，首先要確定x(n)是左序列還是左序列還是右序列，由此決定分母多項式是按升冪還是按降冪排列。是右序列，由此決定分母多項式是按升冪還是按降冪排列。 由長除法可以直接得到x(n)的具體數值，但當X(z)有兩個或兩個以上極點時，用長除法得到的序列值，要歸納為x(n)閉合式還是比較困難的，這時可以用部分分式法求解x(n)。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.3.2 部分分式法部分分式法 X(z)一

18、般是z的有理函數，可表示為有理分式形式。最基本的分式及所對應的序列為式（8.3-3）是基本Z變換對。部分分式法就是基于此基礎上的一種方法，即將X(z)的一般有理分式展開為基本（單極點）有理分式之和。 這與傅氏變換、 拉氏變換的部分分式法相似。 |) 1(|)(111knkknkkkdznuddznuddzzzd（8.3-3） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 通常X(z)表示式為 NNNNMMMMzazazaazbzbzbbzDzNzX11101110)()()(（8.4-4）式中, 分子最高次為M，分母最高次為N。 設MN， 且X(z)均為單極點，X(z)可展開為 NkkkdzAzAzzX1

19、0)(式中 0000| )(, 1 , 0)()(abzXANkzzXdzAzdzkkk（8.4-5）（8.4-6）（8.4-7）第六章 變換與離散系統的頻域分析 因為因為Z變換的基本形式為變換的基本形式為 ，在用部分分式展開法時，在用部分分式展開法時，可以先將可以先將 展開，然后每個分式乘以展開，然后每個分式乘以z，X(z)就可以展開就可以展開為為的形式，即的形式，即 kdzzzzX)(kdzzNkkkdzzAAzX10)(（6.4-8）式中式中, A0對應的變換為對應的變換為A0 (n)， 根據收斂域最終確定根據收斂域最終確定x(n)。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.4-3 已

20、知 ，|z|1，求x(n)。 )5 . 0)(1()(2zzzzX)()5 . 02()(1|5 . 012)(25 . 0)() 1(11)()5 . 0(15 . 0)(1125 . 05 . 0121nunxzzzzzzXzzzzXzAzzzzXzAzAzAzzXnzzzz解解 1|z|，是右邊（因果）序列。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.4-4 已知已知 , 3|2 ,615)(211zzzzzX求x(n)。 解解 ) 3()2() 3)(2(565615)(212212zAzAzzzzzzzzzX135)()2(221zzzzzXzA第六章 變換與離散系統的頻域分析 )

21、3()2()() 3(1)2(1)(125)() 3(332zzzzzXzzzzXzzzXzAzz因為收斂區為2|z|3，是雙邊序列，由此可得x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 第六章 變換與離散系統的頻域分析 若若X(z)在在z=d1有一階的重極點，其余為單極點。有一階的重極點，其余為單極點。X(z)可展開為可展開為 skNskkkkkdzzAAdzzBzX1101)()(其中, A0、Ak計算同前，Bk為 1)()()!(11dzskskskzzXdzdzdksB（8.4-9） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 作業（1） P103 8-1 單號題 8-2 8-4 單號題 8

22、-5 （2） （4） 8-12第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.4 Z變換的性質定理變換的性質定理 1. 線性線性 若 YYXXRzRzYnyRzRzXnx|)()(|)()(則 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z) R-|z|0）若序列x(n)的雙邊Z變換為 )()()()(zXzmnxzXnxmXXXXRzRRzR|證明證明 nmmnnnzzmnxzmnxmnxZ)()()()(令n+m=k，代入上式 )()()(zXzzkxzmnxZmkkm第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.4-2 |0,)() 1() 1(|0,)() 1() 1(.,|0 , 1)()()(12

23、1zzzXnnxzzzXnnxzzzXnnx平面全第六章 變換與離散系統的頻域分析 3. 單邊單邊Z變換的位移性變換的位移性(1) 若序列x(n)的單邊Z變換為 )()()(zXnunx則序列左移后單邊Z變換為 0)()()()(10mzkxzXznumnxmkkm（8.4-3） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 證明證明 )()()()()()()()()()(101000)(0mkkmmkkkkmmkkmnmmnnnzkxzXzzkxzkxzzkxzkmnzzmnxzmnxnumnxZ令第六章 變換與離散系統的頻域分析 序列左移后單邊Z變換的示意圖如圖6.4-1所示。特別的， ) 1 ()

24、0()()()2()0()()() 1(22zxxzzXznunxZzxzzXnunxZ圖 6.3-1 序列左移后單邊Z變換的示意圖 n01x(n m)u(n)X(z)zm0n1x(n)X(z)減8.4-1)()(10mkkmzkxzXz第六章 變換與離散系統的頻域分析 (2) 若x(n)u(n) X(z), 則 )()()()(1mkkmzkxzXznumnxm0 （6.3-4） 證明證明 1100)(0)()()()()()()()()()(mkkmmkkkkmmkkmnmmnnnzkxzXzzkxzkxzzkxzkmnzzmnxzmnxnumnxZ令第六章 變換與離散系統的頻域分析 序列

25、右移后單邊Z變換的示意圖如圖8.4-2所示。特別的， )2() 1()()()2() 1()()() 1(121xxzzXznunxZxzXznunxZ圖 6.3-2 序列右移后的單邊Z變換 n01x(n m)u(n)X(z)z m0n1x(n)X(z)加8.4-21)()(mkkmzkxzXz第六章 變換與離散系統的頻域分析 (3) 若x(n)為因果序列， )()()(zXnunx, 則 0)()()()(0)()()(10mzkxzXznumnxmzXznumnxmkkmm(8.4-5) (8.4-6) 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.4-3 求周期序列的單邊Z變換。 解解 周期

26、序列x(n)=x(n+rN) 令n=0N-1的主值區序列為x1(n)，其Z變換為X1(z)x(n)u(n)=x1(n)+ x1(n-N)+x1(n-2N)+第六章 變換與離散系統的頻域分析 則x(n)的單邊Z變換為 1)(1|11)(11lim)()()1)()()()()(11011211211NNNNmNmmmNNNNNzzzXzzzXzzzXzzXzzzXzXzzXzzXzX 與連續周期信號的單邊拉氏變換相同， 也稱為離散周期因子。1NNzz第六章 變換與離散系統的頻域分析 4. 指數序列加權指數序列加權(z域尺度變換域尺度變換) 則若,|),()(XXRzRzXnxXXnRzaRzaX

27、nxa|)()(11（8.3-7） 證證 XXXXnnnnnnRazaRaRzaRazXzanxznxanxaZ|)()()(111 利用指數序列加權性及， 可推得 1|1)()()(zzzzXnunx第六章 變換與離散系統的頻域分析 1|cos21sin111121)(sin1|cos21cos1111121)(cos1| , 1|1)()(| , 1|1)()(20101110201011101111000000000zzzzzezennuzzzzzezennuzzeezzzezezeXnueazzaazzzazazaXnuajjjjjzjjjjnjn第六章 變換與離散系統的頻域分析 5.

28、 x(n)線性加權或線性加權或z域微分性域微分性 則若,|),()(XXRzRzXnxXXRzaRdzzdXznnx|)()(1(8.3-8) 證證 )()()()()()(111nnxZzznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXnnnnnnnn(交換運算次序) 第六章 變換與離散系統的頻域分析 利用z域微分性及 ， 可推得 ) 1|(|1)()()(zzzzXnunx1|) 1() 1() 1(1)(22zzzzzzzzzdzdznnu1|) 1() 1() 1()(322zzzzzzdzdznun第六章 變換與離散系統的頻域分析 6. 復序列的共軛復序列的共軛 則若,|),()

29、(XXRzRzXnxnnnnnnXXzXznxznxznxnxZRzRzXnx)()()()()(|)()(*證明： （8.4-9） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 利用復序列的共軛及ZT的線性性質，我們可以得到 )()(21)(21)(21)(Im)()(21)(21)(21)(Re*zXzXnxnxZnxZzXzXnxnxZnxZ第六章 變換與離散系統的頻域分析 7. 初值定理初值定理對因果序列因果序列x(n)，有 )(lim)0(zXxz（8.4-10） 證明證明: 021)2() 1 ()0()()(nnzxzxxznxzX對等式兩邊取極限 )0()2() 1 ()0(lim)(li

30、m21xzxzxxzXzz第六章 變換與離散系統的頻域分析 8. 終值定理終值定理 若x(n)是因果序列因果序列, 除單位圓上單位圓上可有z=1的一階極點一階極點外， 其余其余極點均在單位圓內極點均在單位圓內。則 )() 1(lim)(lim1zXznxzn（8.4-11） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 9. 時域卷積定理時域卷積定理若w(n)=x(n)*y(n)，則 RzRzYzXzW|)()()(式中 ,max,maxYXYXRRRRRR第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.4-4 1|11)()()(1zzzXnunx1|,|11)()()(1aazazzYnuanyn其中求w(

31、n)=x(n)*y(n)。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 )()1 (11)(1|11111)(1111111111111)()()(111/11211112111111nuaanwzazazazWaazAaazAazAzAazzzYzXzWnazz解解 第六章 變換與離散系統的頻域分析 圖 8.4-3 離散系統的零狀態響應求解 h(n)x(n)X(z)H(z)y(n) x(n)*h(n)Y(z) X(z) H(z)第六章 變換與離散系統的頻域分析 表表8-2 Z變換性質與定理變換性質與定理 第六章 變換與離散系統的頻域分析 作業（2） 8-7(選做，目的是加深性質的理解) 8-8 8-1

32、6 8-17（1）（2） 8-18 8-19（1）第六章 變換與離散系統的頻域分析 8.5 離散系統的復頻域分析離散系統的復頻域分析 8.5.1 利用利用Z變換求解差分方程變換求解差分方程N N階階LTILTI離散系統的差分方程一般形式為離散系統的差分方程一般形式為 MkrNkkrnxbknya00)()(（8.5-1） 當當x(n)是是因果序列因果序列，已知，已知初始（邊界）條件初始（邊界）條件y(-1), y(-2), , y(-N)時，可利用時，可利用Z Z變換求解式（變換求解式（8.5-18.5-1），對式（），對式（8.5-18.5-1）等式兩等式兩邊取單邊邊取單邊Z Z變換變換，利

33、用單邊，利用單邊Z Z變換的位移性，得到變換的位移性，得到 100)()()(klrrMrlNkkkzXzbzlyzYza（8.5-2） 式中式中, , y y( (l) )是初始條件。是初始條件。 第六章 變換與離散系統的頻域分析 1. 零狀態響應零狀態響應 零狀態響應是僅由激勵引起的響應。當激勵零狀態響應是僅由激勵引起的響應。當激勵x(n)是因果序是因果序列時，并且系統初始條件為零列時，并且系統初始條件為零（y(l)=0, -Nl-1），），則式（則式（8.5-8.5-2 2）為）為 NkMrrrzskkzXzbzYza00)()(（8.5-3） 由式（由式（8.5-38.5-3）得）得零

34、狀態響應零狀態響應為為 NkkkMrrrzszazXzbzY00)()(（8.5-4）第六章 變換與離散系統的頻域分析 令令 NkkkMrrrzazbzH00)(（8.5-5）式中式中, , H(z)為系統（傳輸）函數為系統（傳輸）函數，零狀態響應還可表示為，零狀態響應還可表示為 )()()()()()()(11zXzHZzYZnyzXzHzYzszszs（8.5-6）（8.5-7）第六章 變換與離散系統的頻域分析 穩定因果系統的條件為穩定因果系統的條件為: :系統函數的所有系統函數的所有極點都在極點都在單位圓內單位圓內用系統函數判斷離散用系統函數判斷離散LTI系系統的穩定性與因果性統的穩定性

35、與因果性穩定的充要條件是穩定的充要條件是: : 系統函數的收斂域系統函數的收斂域包含包含單位圓。單位圓。因果性的條件因果性的條件：系統函數的收斂域是：系統函數的收斂域是zRz 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.5-1 8.5-1 已知一離散系統的差分方程為已知一離散系統的差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n), 求求y(n)。其中。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。并討論系統的穩定性。并討論系統的穩定性。 解解 因為因為y(-1)=0， 是零狀態響應是零狀態響應。對方程兩邊取單邊。對方程兩邊取單邊Z Z變換變換 bzbzazazbaazzbzzazbzzXbzzYzX

36、zYbzzXzYbzzY11111)(11)()()()1 ()()()(11111)()(1)(11nubabanynn第六章 變換與離散系統的頻域分析 2. 零輸入響應零輸入響應 零輸入響應是僅由系統初始儲能引起的響應，與初始（邊零輸入響應是僅由系統初始儲能引起的響應，與初始（邊界）條件界）條件y(-1)、y(-2)、y(-N)密切相關。此時激勵密切相關。此時激勵x(n)=0，式，式（8.5-1）差分方程右邊等于零，）差分方程右邊等于零， 式（式（8.5-2）變為）變為 NkkkNkkllkkzikllkkNkNkzikkkllziNkkkzazlyzazYzlyzazYzazlyzYza

37、00110010)()()()(0)()(（8.5-8） （8.5-9） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 其中其中, y(l)為系統的初始（邊界）條件，為系統的初始（邊界）條件， -Nl-1 )()(1zYZnyzizi（8.5-10） 第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.5-2 已知差分方程為已知差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n), 求求y(n)。 其中其中x(n)=0，y(-1)=-1/b，求，求y(n)。 解解 激勵激勵x(n)=0，是零輸入響應。對方程兩邊取單邊，是零輸入響應。對方程兩邊取單邊Z變變換換 )()(11)(1)()1 (01)()(0)1()()(111

38、1nubnybzzYzYbzbzYzbzYyzYzbzYn第六章 變換與離散系統的頻域分析 3. 全響應全響應 利用利用Z變換，不需要分別求零狀態響應與零輸入響應，可變換，不需要分別求零狀態響應與零輸入響應，可以直接求解差分方程的全響應。以直接求解差分方程的全響應。 NkkkNklklkkNkkkMrrrzszizazlyzazazXzbZnynyny001001)()()()()(（8.5-11） 零狀態響應，與零狀態響應，與輸入有關的項輸入有關的項零輸入響應，與初始零輸入響應，與初始儲能有關的項儲能有關的項第六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.5-3已知差分方程為已知差分方程為y(n)

39、-by(n-1)=x(n), 已知已知y(0)=0， x(n)=anu(n),求求y(n)。 解解 先求出邊界條件先求出邊界條件y(-1), 將將n=0代入原方程迭代代入原方程迭代 y(0)-by(n-1)=x(0)=1解出解出y(-1)=-1/b，此時的，此時的y(n)是全響應。是全響應。 方程兩邊取方程兩邊取Z變換變換Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) )(1)()(1zXbzYzbzY第六章 變換與離散系統的頻域分析 )()()()(11111111)()(1)()()1 (11111nubabaanybzzazzbaabzazazbzazbzbzzXzYzXzYbznn第

40、六章 變換與離散系統的頻域分析 例例8.5-4 已知某離散系統模擬如圖已知某離散系統模擬如圖8.5-1所示，求系統函數所示，求系統函數H(z)及沖激響應及沖激響應h(n)。 x(n)y(n)z1b圖 8.5-1 例8.5-3離散系統 第六章 變換與離散系統的頻域分析 )()(11)()(11)()()()(111nubnhbzzHzXbzzYzYbzzXzYn解解第六章 變換與離散系統的頻域分析 6.5.2 Z變換與拉普拉斯（傅里葉）變換的變換與拉普拉斯（傅里葉）變換的關系 要討論要討論Z變換與拉氏變換的關系，首先要研究變換與拉氏變換的關系，首先要研究z平面與平面與s平面平面的映射（變換）關系。在的映射（變換）關系。在5.1節中我們將連續信號的拉氏變換與節中我們將連續信號的拉氏變換與采樣序列的采樣序列的Z變換聯系起來，引進了復變量變換聯系起來，引進了復變量z，它與復變量，它與復變量s有以有以下的映射關系下的映