1、題 目: P、PI和PID控制器性能分析 初始條件： 一二階系統結構如圖所示，其中系統對象模型為 ， 控制器傳遞函數為（比例P控制），（比例積分PI控制），（比例積分微分PID控制），令，Di(s)為上述三種控制律之一。RYe+-+W-要求完成的主要任務: （包括課程設計工作量及其技術要求，以及說明書撰寫等具體要求）（1） 分析系統分別在P、PI、PID控制器作用下的，由參考輸入決定的系統類型及誤差常數；（2） 根據（1）中的條件求系統分別在P、PI、PID控制器作用下的、由擾動w(t)決定的系統類型與誤差常數； （3） 分析該系統的跟蹤性能和擾動性能；（4） 在Matlab中畫出（1）和（2

2、）中的系統響應，并以此證明（3）結論；（5） 對上述任務寫出完整的課程設計說明書，說明書中必須寫清楚計算分析的過程，其中應包括Matlab源程序或Simulink仿真模型，并注釋。說明書的格式按照教務處標準書寫。時間安排： 任務時間（天）指導老師下達任務書，審題、查閱相關資料2分析、計算2編寫程序1撰寫報告2論文答辯1指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名： 年 月 日目錄摘要1 設計任務及要求12 設計分析與計算22.1參考輸入決定的系統類型及誤差常數22.1.1系統類型22.1.2誤差常數32.2.擾動W（t）決定的系統類型與誤差常數82.2.1 系統類型92.2.2 誤差常數

3、102.3系統的跟蹤性能和擾動性能112.3.1 跟蹤性能112.3.2擾動性能113 仿真程序及波形123.1由輸入決定的系統響應123.2由擾動決定的系統響應20總結參考文獻摘要比例（P）控制：單獨的比例控制也稱“有差控制”，輸出的變化與輸入控制器的偏差成比例關系，偏差越大輸出越大。比例控制器對偏差反應較快。實際應用中，比例度的大小應視具體情況而定。比例積分（PI）控制：比例控制不能最終消除余差的缺點限制了它的單獨使用。克服余差的辦法是在比例控制的基礎上加上積分控制作用。積分控制器的輸出與輸入偏差對時間的積分成正比。只要偏差存在，輸出就會不斷累積（輸出值越來越大或越來越小），一直到偏差為零

4、，累積才會停止。所以，積分控制可以消除余差。兩者結合，既有比例控制作用的迅速及時，又有積分控制作用消除余差的能力。比例積分微分（PID）控制：最為理想的控制當屬比例-積分-微分控制規律。它集三者之長：既有比例作用的及時迅速，又有積分作用的消除余差的能力，還有微分作用的超前控制功能。本次課程設計分別敘述了系統在系統輸入和擾動輸入作用下的傳遞函數，通過傳遞函數反映系統類型和系統的穩態誤差。本次課程設計也充分利用了MATLAB的強大功能，分別對系統的跟蹤性能和擾動性能進行了曲線描述。 本次課程設計最大的收獲就是運用MATLAB直觀地對P、PI、PID三種控制器的控制性能進行了研究。【關鍵詞】 比例

5、積分 微分 穩態性能 系統類型 擾動 跟蹤1 設計任務及要求本次課程設計要求對3種控制器在參考輸入和擾動輸入兩種情況下的性能進行研究，并通過MATLAB仿真功能進行驗證，主要完成以下3個要求：（1）在參考輸入的情況下，分別輸出在3種控制器作用下的系統在階躍、斜坡和加速度3種輸入信號作用下的不同響應曲線，同時分析系統類型，求解各個誤差系數。（2）在擾動輸入的情況下，分別輸出在3種控制器作用下的系統在階躍、斜坡和加速度3種輸入信號作用下的不同響應曲線，同時分析系統類型，求解各個誤差系數。（3）通過不同響應曲線分析系統的跟蹤性能和擾動性能。本次課程設計先確定每個控制器下的傳遞函數，再通過軟件仿真得到

6、響應曲線并進行分析，從而得到系統的性能。2 設計分析與計算2.1參考輸入決定的系統類型及誤差常數如圖2-1所示，當參考輸入決定系統類型及誤差常數時，Ws=0。RYe+-+W-圖2-1 二階系統方框圖由系統方框圖可以知道，此二階系統的誤差信號Es=Rs-Y(s) 誤差傳遞函數為：(2-1)es=EsRs =11+D(s)G(s)2.1.1 系統類型（1）比例(P)控制器當傳遞函數D1=KP=19 時，系統的開環傳遞函數為： (2-2)D1 sGs=19s+15s+1故此時系統類型為0型系統。(2)比例積分(PI)控制器當傳遞函數 D2s=KP+K1s=19+0.5s 時，系統的開環傳遞函數為：(

7、2-3)D2sGs=19s+0.5ss+15s+1故此時系統類型為1型系統。 (3)比例積分微分(PID)控制器當傳遞函數D3s=KP+KIs+KDs=19+0.5s+419 s 時，系統的開環傳遞函數為：D3sGs=4s2+361s+9.519ss+1(5s+1)(2-4)故此時系統類型為1型系統。2.1.2 誤差常數下面求解在3種控制器作用下的系統在階躍信號、斜坡信號和加速度信號三種常見的輸入信號函數下的誤差常數。2.1.2.1 階躍信號輸入階躍信號為r（t）=R1（t）,其中R為輸入階躍函數的幅值，取拉氏變換可得Rs=R/s，則有(2-5)Es=11+DsG(s)Rs所以(2-6)ess

8、=lims0sEs=lims0R1+DsGs=R1+lims0DsGs=R1+KP其中KP=lims0DsG(s)對0型系統(2-7)KP=lims0K1+T1s(1+T2s)1+Tas(1+Tbs)=Kess=R1+KP 對1型或高于1型的系統(2-8)KP=limsOK1+T1s(1+T2s)sv1+Tas(1+Tbs)= v1ess=R1+KP=02.1.2.2 斜坡信號輸入斜坡信號為rt=Rt,其中R為速度輸入函數的斜率，取拉氏變換可得Rs=R/s2,則有(2-9)ES=11+DsG(s)Rs2所以(2-10)ess=lims0sEs=lims0Rs+sDsGs=Rlims0sDsG(

9、s)=KKV其中KV=lims0sDsG(s)(2-11)對0型系統(2-12)KV=limS0sK1+T1s(1+T2s)1+Tas(1+Tbs)=0ess=RKV=對1型系統(2-13)KV=limsOsK1+T1s(1+T2s)s1+Tas(1+Tbs)=Kess=RKV=RK對2型或高于2型的系統(2-14)KV=limsOsK1+T1s(1+T2s)sN1+Tas(1+Tbs)= (N2)ess=RKV=02.1.2.3 加速度信號輸入加速度信號為rt=Rt2/2,其中R為加速度信號輸入函數的速度變換率，取拉氏變換可得Rs=R/s3,則有(2-15)Es=11+DsG(s)Rs3所以

10、(2-16)ess=lims0sEs=lims0Rs2+s2DsGs=Rlims0s2DsG(s)=RKa其中(2-17)Ka=lims0s2DsG(s)對0型系統(2-18)Ka=lims0s2K1+T1s(1+T2s)1+Tas(1+Tbs)=0ess=RKa=對1型系統Ka=lims0s2K1+T1s(1+T2s)s1+Tas(1+Tbs)=0(2-19)ess=RKa=對2型系統(2-20)Ka=lims0s2K1+T1s(1+T2s)s21+Tas(1+Tbs)=Kess=RKa=RK對3型或高于3型的系統Ka=lims0s2K1+T1s(1+T2s)sN1+Tas(1+Tbs)=

11、(N3)ess=RKa=0(2-21)綜上所述：(1)當控制器傳遞函數時，系統閉環特征方程(2-22) 該系統勞斯表為： s2 5 20 s1 6 s0 20根據勞斯判據第一列全為正，所以此系統穩定。 因為系統是0型系統，開環增益K=19，因此，系統的穩態誤差為：ess= 11+KP=R20 , 階躍輸入rt=R1t,斜坡輸 入rt=Rt ,加速度輸入rt=Rt22 (2)當控制器傳遞函數D2s=kP+kIs=19+12s(比例積分PI控制)時，系統特征方程為：(2-23)DS=10s3+12s2+40s+1=0該系統勞斯表為： s3 10 40 s2 12 1 s1 236 s0 1根據勞斯

12、判據第一列全為正，所以此系統穩定。因為系統是1型系統，系統開環增益K=12，所以系統穩態誤差為：ess()= 0， 階躍輸入 rt=R*1(t) R=2R， 斜坡輸入 rt=Rt ， 加速度輸入 rt=Rt22(3)當控制器傳遞函數為D3s=kP+kIs+kDs=19+12s+4s19(比例積分微分PID控制)時，系統特征方程為：(2-24)DS=190s3+236s2+60s+19=0該系統勞斯表為： s3 190 760 s2 236 19 s1 87875118 s0 19根據勞斯判據第一列全為正，所以此系統穩定。因為系統為1型系統,系統開環增益K=12，所以系統穩態誤差為：ess()=

13、 0, 階躍輸入 rt=R*1(t)Rk2R, 斜坡輸入 rt=Rt , 加速度輸入 rt=Rt22綜合上述可得到下表。表2-1 輸入信號作用下的穩態誤差控制器系統型別階躍輸入r(t)=R*1(t)斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入r(t)=Rt22P0R20PII02RPIDI02R2.2.擾動W（t）決定的系統類型與誤差常數由于輸入信號和擾動信號作用于系統的不同位置，因此即使系統對于某種形式 輸入信號作用的穩態誤差為零，但對于同一形式的擾動作用，其穩態誤差未必為零。控制系統如圖2-1所示，其中W（t）代表擾動信號的拉式變換式。由于在擾動信號W（s）作用下系統的理想輸出應為零，故該系統響應擾動

14、W（t）的輸出端誤差信號為：(2-25)設sE（s）滿足終值定理條件，則(2-26)當擾動為階躍信號時，l=0,則當擾動信號為斜坡信號時，l=1，則當擾動信號為加速度信號時，l=2，則由于誤差傳遞函數所含s=0的零點數，等價于系統擾動作用點前向通道串聯積分環節與主反饋通道串聯積分環節之和，故對于響應擾動作用的系統有下列結論：（1） 擾動作用點之前的前向通道積分環節數與主反饋通道積分環節數之和決定系統響應擾動作用的型別，該型別與擾動作用點之后前向通道的積分環節數無關。（2） 如果在擾動作用點之前的前向通道或主反饋通道中設置個積分環節，必可消除系統在擾動信號作用下的穩態誤差。2.2.1 系統類型因

15、為擾動作用點之前的向前通道積分環節數與主反饋通道積分環節數之和決定系統相應擾動作用的型別，該型別與擾動作用點之后向前通道的積分環節數無關，所以（1）當控制器傳遞函數為D1s=kP=19(比例P控制)時，系統擾動作用點前的向前通道所含的積分環節數為0，系統主反饋通道所含的積分環節數為0，所以此系統為相應擾動信號的0型系統。（2）當控制器傳遞函數D2s=kP+kIs=19+12s(比例積分PI控制)時，系統擾動作用點前的向前通道所含的積分環節數為1，系統主反饋通道所含的積分環節數為0，所以此系統為相應擾動信號的I型系統。（3）當控制器傳遞函數為D3s=kP+kIs+kDs=19+12s+4s19(

16、比例積分微分PID控制)時，系統擾動作用點前的向前通道所含的積分環節數為1，系統主反饋通道所含的積分環節數為0，所以此系統為相應擾動信號的I型系統2.2.2 誤差常數控制系統如圖2-1所示 ，由于在擾動信號W(s)作用下系統理想輸出應為零，故該反饋系統擾動w(t)的輸出端誤差信號為(2-27)Ens=-Yns=GsW(s)1+DsG(s)下面考慮擾動輸入分別在階躍擾動轉矩、斜坡擾動轉矩和加速度擾動轉矩作用下的穩態誤差。（1）當控制器傳遞函數為D1s=kP=19(比例P控制)時，sEns在s右半平面及虛軸上解析。其中Ens=W(s)s+15s+1+19(2-28)所以系統穩態誤差為：ess()=

17、lims0sEn(s)=n020,Ws=n0s,Ws=n1s2,Ws=n2s3（2）當控制器傳遞函數D2s=kP+kIs=19+12s(比例積分PI控制)時，sEns在s右半平面及虛軸上解析。其中(2-29)Ens=sW(s)ss+15s+1+19s+0.5所以系統穩態誤差為：ess()=lims0sEn(s)=0,Ws=n0s2n1,Ws=n1s2,Ws=n2s3(2-30)（3）當控制器傳遞函數為D3s=kP+kIs+kDs=19+12s+4s19(比例積分微分PID控制)時sE_n (s)在s右半平面及虛軸上解析。其中Ens=sW(s)ss+15s+1+19s+0.5+4s219所以系統

18、穩態誤差為：ess()=lims0sEn(s)=0,Ws=n0s2n1,Ws=n1s2,Ws=n2s3綜上所述得下表。表2-2不同控制器和輸入下的穩態誤差和型別控制器階躍輸入W(s)=n0s斜坡輸入W(s)=n1s2加速度輸入W(s)=n2s3系統型別Pn0200PI02n1PID02n12.3系統的跟蹤性能和擾動性能2.3.1 跟蹤性能（1）在P控制器作用下能夠跟蹤階躍輸入，但存在一個穩態位置誤差R/20,不能跟蹤斜坡輸入與加速度輸入。（2）在PI控制器作用下系統能很好的跟蹤階躍輸入，跟蹤斜坡輸入存在穩態位置誤差2R，不能跟蹤加速度輸入。（3）在PID控制器作用下系統能很好的跟蹤階躍輸入，跟

19、蹤斜坡輸入存在穩態位置誤差2R，不能跟蹤加速度輸入。2.3.2擾動性能（1）在P控制器作用下系統對階躍擾動的抵抗性比較好但存在一個擾動誤差n019，對斜坡和加速度擾動抵抗能力很差。（2）在PI控制器作用下系統對階躍和斜坡擾動抵抗力較強，但對加速度擾動抵抗力很差。（3）在PID控制器作用下系統對階躍和斜坡擾動抵抗力較強，但對加速度擾動抵抗力很差。3 仿真程序及波形3.1由輸入決定的系統響應(1) 當控制器傳遞函數時，系統的開環傳遞函數為：(3-1)D1 sGs=19s+15s+1系統的閉環傳遞函數為：(3-2)(s)=19s+15s+1單位階躍響應的MATLAB程序命令如下：num=19; %分

20、子多項式den=5,6,20; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-1所示。圖3-1單位階躍相應單位斜坡響應的MATLAB程序命令如下：num=19; %分子多項式den=5,6,20,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %繪制橫坐標ylab

21、el(y); %繪制縱坐標系統響應曲線圖如圖3-2所示。圖3-2單位斜坡響應單位加速度響應的MATLAB程序命令如下：num=19; %分子多項式den=5,6,20,0,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %繪制橫坐標ylabel(y); %繪制縱坐標系統響應曲線圖如圖3-3所示。圖3-3單位加速度響應(3-3)(2)當控制器傳遞函數D2s=kP+kIs=19+12s(比例積分PI控制)時，系統閉環傳遞函數為：s=38s+110s3+12s240

22、s+1單位階躍響應的MATLAB程序命令如下：num=38,1; %分子多項式den=10,12,40,1; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-4所示。圖3-4單位階躍響應單位斜坡響應的MATLAB程序命令如下：num=38,1; %分子多項式den=10,12,40,1,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plo

23、t(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-5所示。圖3-5單位斜坡響應單位加速度響應的MATLAB程序命令如下：num=38,1; %分子多項式den=10,12,40,1,0,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-6所示。圖3-6單位加速度響應(3-4)（3)當控制器傳遞函數為D3s=k

24、P+kIs+kDs=19+12s+4s19(比例積分微分PID控制)時，系統閉環傳遞函數為：s=8s2+722s+19190s3+236s2+760s+19單位階躍響應的MATLAB程序命令如下：num=8,342,19; %分子多項式den=190,236,760,19; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-7所示。圖3-7單位階躍響應單位斜坡響應的MATLAB程序命令如下：num=8

25、,342,19; %分子多項式den=190,236,760,19,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-8所示。圖3-8單位斜坡響應單位加速度響應的MATLAB程序命令如下：num=8,342,19; %分子多項式den=190,236,760,19,0,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y);

26、 %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-9所示。圖3-9單位加速度響應綜上分析：對于比例控制系統、比例積分控制系統不能跟蹤斜坡輸入，對于比例積分微分控制系統能夠跟蹤斜坡輸入；對于比例、比例積分、比例積分微分控制系統都不能跟蹤加速度輸入。3.2由擾動決定的系統響應(3-5)（1）當控制器傳遞函數為D1s=kP=19(比例P控制)時，擾動系統閉環傳遞函數為：s=-G(s)1+GsD(s)=-15s2+6s+20單位階躍響應的MATLAB程序命令如下：num=-1; %分子多項式den=5,6,20; %分母多項式t

27、=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-10所示。圖3-10單位階躍響應單位斜坡響應的MATLAB程序命令如下：num=-1; %分子多項式den=5,6,20,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如

28、圖3-11所示。圖3-11單位斜坡響應單位加速度響應的MATLAB程序命令如下：num=-1; %分子多項式den=5,6,20,0,0; %分母多項式t=0:0.1:10; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-12所示。圖3-12單位加速度響應(3-6)(2)當控制器傳遞函數D2s=kP+kIs=19+12s(比例積分PI控制)時，擾動系統閉環傳遞函數為：s=-2s10s3+12s2+40s+1單位階躍響應的MATLAB程序命令如下：num=-2,0; %分子多項式den=10,12,40,1; %分母多項式t=0:0.1:20; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應plot(t,y); %繪制曲線grid; %繪制網格xlabel(t); %設置橫坐標ylabel(y); %設置縱坐標系統響應曲線圖如圖3-13所示。圖3-13單位階躍響應單位斜坡響應的MATLAB程序命令如下：num=-2,0; %分子多項式den=10,12,40,1,0; %分母多項式t=0:0.1:20; %時間矢量y,x,t=step(num,den,t); %階躍響應