1、現代控制理論現代控制理論（第（第10講講 2007年年12月）月）狀態觀測器狀態觀測器帶觀測器的閉環系統帶觀測器的閉環系統分離原理分離原理自動化教研室自動化教研室 譚功全譚功全狀態反饋和輸出反饋狀態反饋和輸出反饋BCAx xuyvKxyvxxCBBKA)(xyuxxCBAReviewBCAx xuyvF()xABFC xBvyCx反饋對系統能控和能觀性的影響反饋對系統能控和能觀性的影響定理：狀態反饋不改變系統的能控性，但定理：狀態反饋不改變系統的能控性，但可能可能改改變系統的能觀性。變系統的能觀性。BCAx xuyvKxyvxxCBBKA)(定理：輸出反饋定理：輸出反饋不改變不改變系統的能控性

2、和能觀性。系統的能控性和能觀性。BCAx xuyvFxyvxxCBBFCA)(Review反饋系統極點配置定理反饋系統極點配置定理狀態反饋極點配置狀態反饋極點配置：用狀態反饋任意配：用狀態反饋任意配置閉環極點的充要條件是原系統能控。置閉環極點的充要條件是原系統能控。輸出反饋極點配置輸出反饋極點配置：對完全能控完全能：對完全能控完全能觀測觀測n維連續時間維連續時間LTI系統，設系統，設rank(B)=p和和rank(C)=q，采用輸出反饋，采用輸出反饋u=v-Fy可對數目為可對數目為Minn,p+q-1的閉環系統極點進行任意接近式配置。的閉環系統極點進行任意接近式配置。Review狀態反饋任意極

3、點配置狀態反饋任意極點配置原系統原系統化為能控標準型化為能控標準型能控型狀態反饋系統能控型狀態反饋系統最后再變換回去最后再變換回去xxIs1cAbuyxxPP1P1PvkbcAPkcxbxxyuAxcbxxyuAxcbxkbxyuA)(cxbxkbxyuPA)(1能控標準型系統能控標準型系統狀態反饋系統狀態反饋系統1PPkkkkReview用能觀標準型進行極點配置算法用能觀標準型進行極點配置算法Step 1：判斷系統：判斷系統(A,b)的能控性的能控性Step 2：計算矩陣：計算矩陣A的特征多項式的特征多項式Step 3：計算由期望閉環極點決定的特征多項式：計算由期望閉環極點決定的特征多項式S

4、tep 4：計算能控標準型狀態反饋增益陣：計算能控標準型狀態反饋增益陣Step 5：計算轉換到能控標準型的變換矩陣：計算轉換到能控標準型的變換矩陣Step 6：計算原系統等價的狀態反饋增益陣：計算原系統等價的狀態反饋增益陣0111)()det(ssssAsInnn1 Pkk*0*11*11*)()(sssssnnnnii)( ,),(),(1*11*10*0nnk1111111nnnAAPbbbReviewAgenda 全維狀態觀測器全維狀態觀測器 帶觀測器的閉環系統帶觀測器的閉環系統狀態重構和狀態觀測器概念狀態重構和狀態觀測器概念問題問題：狀態反饋在性能上的不可替代性和物理上：狀態反饋在性能

5、上的不可替代性和物理上的不能實現性這一矛盾如何解決？的不能實現性這一矛盾如何解決？途徑途徑：是否可以構造或估計出系統的狀態變量？：是否可以構造或估計出系統的狀態變量？狀態重構的狀態重構的實質實質：對給定被觀測：對給定被觀測LTILTI系統系統，構，構造與造與具有相同屬性的具有相同屬性的LTILTI系統系統，利用，利用中中可直接測量的輸出和輸入作為可直接測量的輸出和輸入作為的輸入，的輸入，并使并使的狀態在一定指標下等價于的狀態在一定指標下等價于的狀態的狀態。稱。稱為被觀測系統為被觀測系統的一個狀態觀測器，的一個狀態觀測器，稱為被觀測系統稱為被觀測系統狀態的重構狀態。狀態的重構狀態。x x 觀測被

6、控系統的全部（或部分）狀態時，稱為全維觀測被控系統的全部（或部分）狀態時，稱為全維（或降維）狀態觀測器。（或降維）狀態觀測器。開環狀態觀測器開環狀態觀測器BCAx xuyBA x x真實系統真實系統計算機模擬的系統計算機模擬的系統條件：模型已知條件：模型已知用模擬系統的狀態向量代替真實系統的狀態向量用模擬系統的狀態向量代替真實系統的狀態向量問：這樣可能出現什么問題？或者說有什么不同？問：這樣可能出現什么問題？或者說有什么不同？漸近狀態觀測器漸近狀態觀測器BCAx xuyBCA x x yHyyy途徑途徑：比較輸出，引反饋！：比較輸出，引反饋！xx limt漸進：漸近觀測器的另一種圖示漸近觀測器

7、的另一種圖示BCAx xuyBAHC x xH()xAHC xBuHy關于狀態估計誤差的方程關于狀態估計誤差的方程BCAx xuyBCA x x yHyyy漸進狀態估計應要漸進狀態估計應要求什么條件呢？求什么條件呢？0limetexxxx，則漸進性等價于定義誤差狀態：eeHCAHCAxxxxxx)(解為，則該齊次狀態方程的令HCAeAtAeeeet)0()(xx狀態觀測器存在的條件狀態觀測器存在的條件 觀測器要實用，必然要求觀測器要實用，必然要求 另外，狀態估計誤差應該以足夠快的速度趨另外，狀態估計誤差應該以足夠快的速度趨于零。于零。 但這些都取決于但這些都取決于H的選擇和的選擇和A-HC特征

8、值的配特征值的配置。這樣的置。這樣的H是否總是存在的呢？是否總是存在的呢？ 定理定理：如果系統的狀態完全能觀，存在矩陣：如果系統的狀態完全能觀，存在矩陣H，我們能夠任意配置，我們能夠任意配置A-HC的特征值。的特征值。lim ( )0ttx 狀態觀測器存在定理的證明狀態觀測器存在定理的證明定理：如果系統定理：如果系統(A, B, C)狀態完全能觀，則可以由狀態完全能觀，則可以由H任意配置矩陣任意配置矩陣A-HC的特征值。的特征值。THK1111(,) A B C從而，可以引狀態反饋，任意配置系統極點從而，可以引狀態反饋，任意配置系統極點引入狀態反饋后，系統特征多項式為引入狀態反饋后，系統特征多

9、項式為所以，只要取所以，只要取就有就有證明：考慮證明：考慮(A, B, C)的對偶系統的對偶系統1111(,) A B C根據對偶原理，根據對偶原理，能控能控11()()()TTTsssIAB KIAC KIAK C這就意味著觀測器的極點可以任意配置這就意味著觀測器的極點可以任意配置11()()ssIAB KIAHC狀態觀測器的直接設計步驟狀態觀測器的直接設計步驟 已知系統已知系統(A, B, C)，設計觀測器的步驟是：，設計觀測器的步驟是： 1、判斷系統的能觀性。能觀則一定可以設計、判斷系統的能觀性。能觀則一定可以設計全維狀態全維狀態觀測器。觀測器。 2、根據期望的觀測器極點位置，計算期望的

10、、根據期望的觀測器極點位置，計算期望的觀測器特征多項式觀測器特征多項式 3、計算觀測器的特征多項式、計算觀測器的特征多項式 detsI-(A-HC) 4、比較系數，得到增益矩陣、比較系數，得到增益矩陣H例題：觀測器設計例題：觀測器設計01023120uy xxx要求設計觀測器，觀要求設計觀測器，觀測器的極點為測器的極點為 -3, -3已知已知1、系統是否能觀？這需要計算、系統是否能觀？這需要計算2、計算期望的觀測器特征多項式、計算期望的觀測器特征多項式22(3)69sss 2002oCQCA滿秩，能觀滿秩，能觀3、計算觀測器特征多項式、計算觀測器特征多項式()s IAHC11122220,20

11、20 hhhhhhHHC例題例題（續（續1）：計算：計算01023120uy xxx要求設計觀測器，觀要求設計觀測器，觀測器的極點為測器的極點為 -3, -3已知已知4、比較系數即得反饋增益陣、比較系數即得反饋增益陣12112221()(32 )(622)223shssh shhhsIAHC2212(3)691.5,1 ssshh 最后得到觀測器的方程最后得到觀測器的方程()3101.50311 xAHC xBuHyxuy練習：觀測器設計練習：觀測器設計21001110uy xxx要求設計觀測器，觀要求設計觀測器，觀測器的極點為測器的極點為 -3, -3已知已知34 H答案答案 1、判斷系統的

12、能觀性。能觀則一定可以設計全維、判斷系統的能觀性。能觀則一定可以設計全維觀測器觀測器 2、根據已知的觀測器極點位置，計算期望的觀測、根據已知的觀測器極點位置，計算期望的觀測器特征多項式器特征多項式 3、計算觀測器的特征多項式、計算觀測器的特征多項式 detsI-(A-HC) 4、比較系數，得到增益矩陣、比較系數，得到增益矩陣HAgenda 全維狀態觀測器全維狀態觀測器 帶觀測器的閉環系統帶觀測器的閉環系統帶狀態觀測器的閉環系統帶狀態觀測器的閉環系統BCAx xuyBAHC x xHKv帶觀測器的閉環系統方程帶觀測器的閉環系統方程()xAHC xBuHyxAxBuyCxuvKx原系統方程原系統方

13、程觀測器方程觀測器方程狀態反饋狀態反饋閉環系統方程為閉環系統方程為 xABKxBvHCAHCBKxBxxyC0 x數數維數吧！數數維數吧！BCAx xuyBAHC x xHKv引入狀態估計誤差，化簡閉環系統引入狀態估計誤差，化簡閉環系統閉環系統方程閉環系統方程 xABKxBvHCAHCBKxBxxyC0 x狀態變換后閉環系統方程狀態變換后閉環系統方程，則有狀態估計誤差：xxxexxxxxxxx00IIIIIIee，或eeeCBHCABKBKAxxyvxxxx000帶狀態觀測器閉環系統的特征多項式帶狀態觀測器閉環系統的特征多項式注意：狀態變換不改變系統矩陣的注意：狀態變換不改變系統矩陣的 閉環系

14、統方程的特征多項式為閉環系統方程的特征多項式為狀態反饋的極點狀態反饋的極點和和觀測器的極點觀測器的極點相互獨立相互獨立閉環極點由兩部分組成：直接狀態反饋閉環極點由兩部分組成：直接狀態反饋A-BK的極的極點，狀態觀測器點，狀態觀測器A-HC的極點。的極點。eeeCBHCABKBKAxxyvxxxx000)()()(0)(HCAsIBKAsIHCAsIBKBKAsI分離原理分離原理 觀測器的引入不影響狀態反饋增益矩陣觀測器的引入不影響狀態反饋增益矩陣K所所配置的系統極點；而狀態反饋的引入也不影配置的系統極點；而狀態反饋的引入也不影響反饋增益矩陣響反饋增益矩陣H所配置的觀測器的極點。所配置的觀測器的

15、極點。 這稱為控制器與觀測器的分離性，也叫分離這稱為控制器與觀測器的分離性，也叫分離原理。即狀態反饋控制律的綜合與觀測器的原理。即狀態反饋控制律的綜合與觀測器的綜合可以獨立進行。綜合可以獨立進行。 所以，只要系統是所以，只要系統是能控能觀能控能觀的，狀態反饋的的，狀態反饋的任意極點配置任意極點配置與觀測器的與觀測器的任意極點配置任意極點配置可以可以分別獨立進行。分別獨立進行。帶狀態觀測器閉環系統的其他屬性帶狀態觀測器閉環系統的其他屬性2、傳遞函數中發生了、傳遞函數中發生了零極點相消零極點相消。系統不再保持。系統不再保持完全能控，其能控部分為完全能控，其能控部分為A-BK，B，C。1、直接狀態反饋和觀測器狀態反饋閉環系統的、直接狀態反饋和觀測器狀態反饋閉環系統的傳遞函數（矩陣傳遞函數（矩陣) 相同相同。即：。即：GK(s)=GHK(s)4、觀測器觀測器綜合原則綜合原則：把觀測器特征值負實部取為：把觀測器特征值負實部取為（A-BK）特征值負實部的）特征值負實部的2-3倍。倍。3、HK的魯棒性的魯棒性：一般地，觀測器的引入會使狀：一般地，