1、學號：哈爾濱師范大學學士學位論文題 目 淺談有限覆蓋定理的若干應用學 生 指導教師 年 級 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學系 別 數(shù)學系學 院 哈 爾 濱 師 范 大 學學士學位論文開題報告論文題目：淺談有限覆蓋定理的若干應用學生姓名：指導教師：年 級：專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學2011年3月說 明本表需在指導教師和有關領導審查批準的情況下，要求學生認真填寫。說明課題的來源（自擬題目或指導教師承擔的科研任務）、課題研究的目的和意義、課題在國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢。若課題因故變動時，應向指導教師提出申請，提交題目變動論證報告。課題來源： 由指導教師提供選題課題研究的目的和意義：一元微積分學中最基本的公式 牛

2、頓,萊布尼茲公式 表明:函數(shù)在區(qū)間上的定積分可通過原函數(shù)在這個區(qū)間的兩個端點處的值來表示. 無獨有偶,在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過沿區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式. 1,單連通區(qū)域的概念2,區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定 此定理在數(shù)學的許多領域中都有廣泛的應用，在科學研究及日常生活中也有廣泛的應用，從而推動了科學的發(fā)展，給人們的生活帶來很多便利。 國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢： 有限覆蓋定理是實數(shù)完備性定理中唯一一個反映整體性質(zhì)的定理，在數(shù)學分析中占有重要的地位，在過去的幾十年里關于它的研究已經(jīng)取得了很大的進展，例如天津工程師范學院理學院雷超，從拓撲的觀點出發(fā)，

3、把有限覆蓋定理進行了加強，使得它在證明聚點定理時更加方便，也使其應用起來更加便利。目前，數(shù)學界的幾個著名專家正在從不同的角度致力于探討這一課題，相信這個領域在未來幾年里會有一個快速發(fā)展。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：內(nèi)容：介紹適用有限覆蓋定理的題目類型以及怎樣在證明中應用有限覆蓋定理。方法：收集資料，上網(wǎng)查詢，與指導老師探討。主要問題：怎樣構造一個與欲證結論有關的覆蓋，有限覆蓋定理與其它實數(shù)基本定理的區(qū)別及聯(lián)系。 解決辦法：請求老師幫助，查閱資料。課題研究起止時間和進度安排：1：選題 2011年11月9日11月10日2：收集資料 2011年11月11日11月24日3

4、：開題 2011年11月25日12月9日4：形成初稿 2011年12月10日2012年3月30日5：完成論文 2012年4月1日4月30日指導教師審查意見：指導教師 （簽字） 年 月 教研室（研究室）評審意見：_教研室（研究室）主任 （簽字） 年 月院（系）審查意見：_院（系）主任 （簽字） 年 月學 士 學 位 論 文題 目 淺談有限覆蓋定理的若干應用學 生 指導教師 年 級 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學系 別 數(shù)學系學 院 哈爾濱師范大學2011年4月目 錄摘要1關鍵詞1一、預備知識1二、有限覆蓋定理的若干應用2應用1、證明半連續(xù)及絕對連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)2應用2、證明級數(shù)在閉區(qū)間上的有關性質(zhì)5應

5、用3、證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)7應用4、運用反證法利用有限覆蓋定理證明問題9應用5、證明實數(shù)連續(xù)性的其它性質(zhì)10應用6、證明含參變量積分問題13參考文獻：14英文摘要15淺談有限覆蓋定理的若干應用摘要：本文通過半連續(xù)函數(shù)及函數(shù)項級數(shù)等有關性質(zhì)的證明，以及該定理在函數(shù)的連續(xù)及函數(shù)級數(shù)中一致收斂證明的實例，介紹了有限覆蓋定理的使用方法，并具體列舉了幾種不同的命題，體現(xiàn)了它在證明命題中的若干技巧。關鍵詞：有限覆蓋定理；半連續(xù)；函數(shù)項級數(shù)英文摘要LIMITED NUMBER OF APPLICATIONS COVERING THEOREMWANG XinAbstract: In this pap

6、er, semi-continuous functions and functions related to the nature of such Series of proof, and the theorem in the function of the continuous and uniform convergence of function series instance proof, introduced the use of finite covering theorem, and several different specific examples proposition t

7、hat the question of its role in the proof.Key words: Finite covering theorem; Semi-continuous; Function progression 有限覆蓋定理是實數(shù)完備性定理中唯一一個反映整體性質(zhì)的定理，也是一個重要定理。它揭示了閉區(qū)間的一個本質(zhì)性質(zhì)：緊致性，它在極限理論中特別是連續(xù)性問題中起著重要作用。它的著眼點是閉區(qū)間的整體，而其它幾個等價定理著眼點是一點的局部，因為它們在形式上的這種區(qū)別，所以在證明問題中也就具有不同的用途。有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區(qū)間的無限個開區(qū)間中選有限個開區(qū)間也覆蓋這個閉區(qū)間，

8、由“無限轉(zhuǎn)化為有限”的質(zhì)的變化。它對證明函數(shù)的某些性質(zhì)提供了有效的方法。所以，凡是證明的結論涉及到閉區(qū)間的問題，可考慮使用有限覆蓋定理。但是，應用反證法，整體（即閉區(qū)間）與局部（即一點）又可以轉(zhuǎn)化，所以否定了局部又回到了閉區(qū)間整體，從而也能夠應用有限覆蓋定理。本文即從這些問題出發(fā)，給予詳細地敘述。一、預備知識定義1.1開覆蓋的定義：設為數(shù)軸上的點集，為開區(qū)間的集合，（即中每一個元素都是形如的開區(qū)間).若中的任何一點都含在至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱為的一個開覆蓋，或簡稱覆蓋.定義1.2 半連續(xù)函數(shù)的定義：有一類函數(shù)并不連續(xù)，卻具有一些連續(xù)函數(shù)相近的性質(zhì)，這類函數(shù)就是所謂的半連續(xù)函數(shù)。任給,總存在,只

9、要恒有，則稱在點處上半連續(xù)。相應地，若只要恒有，則稱在點處下半連續(xù)。定義1.3 絕對連續(xù)函數(shù)的定義：設是的函數(shù)，若對任意，存在，使得對于中的任意一組分點：，只要，便有，則稱是 上的絕對收斂函數(shù)，或稱在上絕對收斂。定理1.1 有限覆蓋定理：設為閉區(qū)間的一個（無限）開覆蓋，則從中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋. 中的開區(qū)間的個數(shù)是有限（無限）的，那么就稱為的一個有限（無限）覆蓋.二、有限覆蓋定理的若干應用應用1、證明半連續(xù)及絕對連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)利用有限覆蓋定理可以證明半連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)。定理2.1.1 若上半連續(xù)函數(shù)在中的每一點的均值為有限，則在上必為有上界的，即存在實數(shù)，使對任何有。證明：對每一個

10、， ，是包含的開集，因此，是的開覆蓋，由有限覆蓋定理知，存在有限個，不妨設為，使，令，所以，有。定理2.1.2 設，分別在上、下半連續(xù)，且，則對任給，存在（于無關），使對于，只要恒有。證明：有定義，對及任一點，存在，當，時，恒有，。由于，從而有，記。則覆蓋了閉區(qū)間，根據(jù)有限覆蓋定理，可選出有限個子區(qū)間覆蓋，設，對于，當時，必同屬于某一個，事實上，設，則，即，根據(jù)的性質(zhì)可知，。定理2.1.3 設、分別在閉區(qū)間上、下半連續(xù),且。則任給,存在(與無關),使對于，,只要,恒有證明：由半連續(xù)函數(shù)的定義,對,及對任意一點,存在,當,時恒有，由于,從而有 記，則覆蓋了閉區(qū)間,根據(jù)有限覆蓋定理,在中存在有限個

11、區(qū)間覆蓋。設，對于當時，必同屬于某一個。事實上，設，則，即，根據(jù)的性質(zhì)可知，證畢。定理2.1.4 設是上的絕對連續(xù)函數(shù)，且a.e于，則為常值函數(shù)。 證明 我們把證明分成兩步：1、先證，對任意，由假設是上的絕對連續(xù)函數(shù)，所以，對任意有限數(shù)，當互不相交區(qū)間滿足：時，有 (1)記，從而，所以對上述，存在開集且.設為的構成區(qū)間族，則對任意，存在，使得時 (2)這時開區(qū)間族是的一個開覆蓋，根據(jù)有限覆蓋定理存在有限個開區(qū)間覆蓋有界閉集。設它們是對有限點集作適當?shù)脑鰟h處理，然后按大小順序排列，使之成為的一個分劃:，并且使得任何 必屬于以下兩種情形之一： (i)包含在某個之中； (ii)包含在某個之中，且有一

12、端點剛好是。由此其中和分別表示具有形式(i)和(ii)的求和，根據(jù)(1)有，根據(jù)(2)有，由的任意性, 即得。2、對任意的，用代替重復1的討論，便得到。證畢。應用2、證明級數(shù)在閉區(qū)間上的有關性質(zhì)利用有限覆蓋定理還可以證明級數(shù)在閉區(qū)間上的有關性質(zhì)。定理2.2.1 設函數(shù)項級數(shù)在上收斂，且存在常數(shù)，使對任何自然數(shù)及實數(shù)都有，試證在上一致收斂。證明：在上收斂， ，當時，對一切及任意的自然數(shù)均有。現(xiàn)取，則任何把中值公式應用于函數(shù)得到 其中。顯然開區(qū)間集，覆蓋，從而必有有限子覆蓋，取，則，于是，當時，對一切及任意的自然數(shù)均有，此即在上一致收斂。由此可見，有限覆蓋定理將無限轉(zhuǎn)化為有限，從而把函數(shù)在閉區(qū)間上

13、的局部性拓廣為閉區(qū)間上的整體性。定理2.2.2 （狄尼定理）設能取到適當，使由函數(shù)以及點所作出的，滿足條件：對某正數(shù)，使在上，為可積和絕對可積，那么的傅里葉級數(shù)在點收斂于。證明：任給，任取。由于收斂于，必有使，與都在點連續(xù)，必有，使當且時，有，。從而 由于是單調(diào)數(shù)列，所以當時，也有對于每個，都可以做出的一個滿足上述要求的鄰域。這些開區(qū)間的全體覆蓋了。據(jù)有限覆蓋定理知，從中必可選取有限個開區(qū)間，它們覆蓋了。取，那么當時，對任何必有，使，又，有。所以在上一致收斂于。定理2.2.3 設函數(shù)項級數(shù)在上收斂,且存在常數(shù)使得對任何自然數(shù)及實數(shù),恒有。試證在上一致收斂。證明：因為在上收斂,所以任給正數(shù),對于

14、中的任一點,必存在正整數(shù),使得，。 設，。對,總存在,對于任意,恒有 其中，。顯然,開區(qū)間族覆蓋了閉區(qū)間,由有限覆蓋定理知,必存在有限個開區(qū)間,它們覆蓋了。取,則時,對任意都有，于是,由柯西一致收斂準則知,函數(shù)級數(shù)在上一致收斂。注：在以上的證明中用了微分中值定理，其中在與之間。應用3、證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)定理2.3.1 （有界性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界注：該命題也是由函數(shù)在點的局部性質(zhì)推及到其在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)，所以適宜用有限覆蓋定理直接證明。證明：由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對每一點都存在鄰域及正數(shù)，使得，考慮開區(qū)間集顯然是的一個無限開覆蓋由有限覆蓋定理，存在的一個有限

15、子集覆蓋了，且存在正數(shù)，使得對一切有 令則對任何，必屬于某即證得在上有界定理2.3.2 （一致連續(xù)性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)注：一致連續(xù)性定理將每一個點的局部性質(zhì)推廣到函數(shù)在整個閉區(qū)間上的整體性質(zhì)，因此適合用有限覆蓋定理直接證明。證明：由在上的連續(xù)性，任給，對每一點，都存在，使得當時有。考慮開區(qū)間集合 顯然H是的一個開覆蓋。由有限覆蓋定理，存在H的一個有限子集覆蓋了。記。對任何,必屬于中某開區(qū)間,設，即。此時有故由，同時有和，由此得。所以在上一致連續(xù)。定理2.3.3 （最大(小)值定理）在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。下面只證明在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最大值，同理可證

16、明有最小值。證明：因為在上連續(xù)，所以有界。設（有界函數(shù)必有上確界），即對所有，有，因為在中任意一點連續(xù)，故。由于,故存在的鄰域,使對所有,有。當取遍的一切值時,組成了一個開區(qū)間集,覆蓋了閉區(qū)間。由有限覆蓋定理,存在有限個這樣的開區(qū)間覆蓋。令,由于屬于某個區(qū)間,所以,故是在的一個上界。但這是不可能的,因為,因此必有,使得。應用4、運用反證法利用有限覆蓋定理證明問題局部和整體是可以轉(zhuǎn)化的，在證明一些函數(shù)的性質(zhì)時，通過反證法可利用有限覆蓋定理推出矛盾，達到解決問題的目的。因為用反證法時，這些由整體到局部的命題又顛倒過來，變成由局部到整體以至推出矛盾，因此還是適合用有限覆蓋定理。定理2.4.1 （致密

17、性定理）若數(shù)列有界，則它存在收斂的子數(shù)列。證明：用反證法，由有限覆蓋定理推出矛盾。已知數(shù)列有界，即，有，假設數(shù)列不存在收斂的子列。（必是無限數(shù)級）。即，數(shù)列沒有收斂于的子列，即，在的鄰域內(nèi)只有數(shù)列的有限多項，已知，根據(jù)有限覆蓋定理有于是內(nèi)只有數(shù)列的有限多項，從而內(nèi)只有數(shù)列有限多項矛盾。定理2.4.2 （戴狄金定理）對于實數(shù)域內(nèi)的任一分劃，則或者中有最大數(shù)，或者中有最小數(shù)。證明：若不然，由、皆不空，可取，由與不交知，對，因中無罪大數(shù)，故存在，使。同理，對亦然，由有限覆蓋定理，必有有限個小區(qū)間覆蓋，從小到大依次為 ，設為中最后一個小區(qū)間，則因中無最大數(shù)知，存在使得因此，不屬于上述任一小區(qū)間，矛盾。

18、定理2.4.3 設在上無界，求證存在, 使得對任意,函數(shù) 在上無界。注：此命題也是由點集的整體性質(zhì)得出某一點的局部性質(zhì)，因此用有限覆蓋定理的反證法。證明：用反證法，設對任意，存在，使得在上有界。設,則是的一個覆蓋，則此時存在的一個有限覆蓋，設 , 。記,則有， (對任意)注意到 構成的一個有限覆蓋，故，這與在無界矛盾，故原命題成立。定理2.4.4 （根的存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間上，至少存在一點，使得。證明：設在上連續(xù)與異號，現(xiàn)證方程在內(nèi)至少有一實根，假設方程在內(nèi)無實根，則對每一點，有，據(jù)連續(xù)性，存在正數(shù)，使得在上與點的函數(shù)值同號。令，則是的一個開覆蓋。據(jù)有限覆蓋定理，中

19、必存在有限個鄰域能覆蓋。設這有限個鄰域為：且。不妨設其中任意兩個鄰域無包含關系（否則，去掉被包含的鄰域仍能覆蓋），于是， ，。而在每個內(nèi)不變號，由此推得在內(nèi)不變號，故在上不變號，這與題設、異號矛盾。因此，方程在至少有一實根。應用5、證明實數(shù)連續(xù)性的其它性質(zhì)定理2.5.1 （聚點定理）直線上的任一有界無限點集至少有一個聚點，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有中無限多個點。（本身可以屬于，也可以不屬于）注：聚點定理是由點集的整體性質(zhì)得出某一點的局部性質(zhì)。 證明：設為直線上的有界無限點集，于是存在，使，用反證法，假設中任何點都不是的聚點，則對每一點存在相應的，使得內(nèi)至多包括的有限多個點，令，則是的一個開覆蓋，

20、由有限覆蓋定理，中存在有限個鄰域，它們構成了的有限覆蓋，從而也覆蓋了，由于每個鄰域至多含有的有限個點，故這個領域的并集也至多只含的有限個點，于是集也至多只為有限點集，這與題設為無限點集矛盾，故得證。定理2.5.2 （區(qū)間套定理）若是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的一點，使得，即 ,。證明：已知有一區(qū)間套， ，要證存在唯一的，且。用反證法：，、極限若存在則必在內(nèi)。若不存在，即，使。構造的一個開覆蓋，由有限開覆蓋定理知有的有限子覆蓋。，使，即，而由有限覆蓋定理的加強形式知，只要，則存在中的一個區(qū)間，覆蓋，。，時，而時，也即存在一開區(qū)間將，及后面的項全部覆蓋，這與中任一區(qū)間都不能覆蓋自某項后所有項

21、矛盾。存在，同理存在。由知。記。用反證法易推出，若，由單調(diào)遞減知使，令得，矛盾，同理知。，的唯一性顯然，由極限唯一性亦可得知。區(qū)間套定理得證。定理2.5.3 （柯西收斂準則）數(shù)列收斂對于任意，存在正整數(shù)，當時，有。證明：設數(shù)列滿足柯西條件，即對任意給定的，存在，使得當時，。另不妨設時，容易看到滿足柯西條件的數(shù)列是有界的。于是設，現(xiàn)正存在，假若不然，則按聚點的定義，任何都不是的聚點，因為若是的聚點，則按聚點的定義能從選一個子列使，從而由柯西條件推出原數(shù)列。既然任何都不是的聚點，所以對任何，存在正數(shù)，使不含異于的中的點，這些覆蓋了，由有限覆蓋定理，存在有限個就能覆蓋，設這有限個為，但每個不含異于的

22、中的點，所以這個并至多含中的個點，與這個開區(qū)間覆蓋矛盾。證畢。定理2.5.4 （確界存在性定理）若非空數(shù)集有上界（下界），則數(shù)集一定存在上確界（下確界）。證明：設是有上界的一個數(shù)集，假若無上確界，我們將引出矛盾。令，是的一個上界，即對任何，。對任何，則有三種可能：（i），（ii），是的一個上界，（iii）不是的上界。若，因中無最大數(shù)，所以有，使，取正數(shù)，則中的任何數(shù)都不是的上界。若是的一個上界，因它不是上確界，所以至少存在一個正數(shù)，使對一切都有。所以中的每個數(shù)都是的上界。若，不是的上界，則存在使，取正數(shù)，則中的數(shù)都不是的上界，所以對任何都存在正數(shù)使中的每個數(shù)都是的上界，或者中的每個數(shù)都不是的上界。顯然覆蓋了，由有限覆蓋定理，存在，使有限個開區(qū)間就已覆蓋了。把這個開區(qū)間分為兩組：第一組中的數(shù)都不是的上界。第二組中的數(shù)都是的上界。第一組的中心中的最大者記為。第二組的中心的最小者記為。與顯然不相交，且，所以，且中的數(shù)不屬于上述個開區(qū)間中的任何一個，這與上述個開區(qū)間覆蓋矛盾。證畢。應用6、證明含參變量積分問題定理2.6.1 已知非負函數(shù)在上連續(xù), 連續(xù),則在上一致收斂于。證明：令,