1、數學數學m m 單元單元推理與證明推理與證明m1合情推理與演繹推理16 ，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三個關系：a2；b2；c0 有且只有一個正確，則 100a10bc 等于_16201解析 (i)若正確，則不正確，由不正確得 c0，由正確得 a1，所以 b2，與不正確矛盾，故不正確(ii)若正確，則不正確，由不正確得 a2，與正確矛盾，故不正確(iii)若正確， 則不正確， 由不正確得 a2， 由不正確及正確得 b0， c1，故正確則 100a10bc10021001201.142014全國新課標卷 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過 a，b，c 三個城市時，甲說：我去

2、過的城市比乙多，但沒去過 b 城市乙說：我沒去過 c 城市丙說：我們三人去過同一城市由此可判斷乙去過的城市為_14a解析由甲沒去過 b 城市，乙沒去過 c 城市，而三人去過同一城市，可知三人去過城市 a，又由甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙只去過 a 城市142014陜西卷 已知 f(x)x1x，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn，則f2014(x)的表達式為_14.x12014x解析由題意，得 f1(x)f(x)x1x，f2(x)x1x1x1xx12x，f3(x)x13x，由此歸納推理可得 f2014(x)x12014x.m2直接證明與間接證明21 、

3、2014湖南卷 已知函數 f(x)xcosxsinx1(x0)(1)求 f(x)的單調區間；(2)記 xi為 f(x)的從小到大的第 i(in*)個零點， 證明： 對一切 nn*， 有1x211x221x2n23.21解： (1)f(x)cosxxsinxcosxxsinx.令 f(x)0，得 xk(kn*)當 x(2k，(2k1)(kn)時，sinx0，此時 f(x)0;當 x(2k1)，(2k2)(kn)時，sinx0.故 f(x)的單調遞減區間為(2k，(2k1)(kn)，單調遞增區間為(2k1)，(2k2)(kn)(2)由(1)知，f(x)在區間(0，)上單調遞減又 f2 0，故 x1

4、2.當 nn*時，因為f(n)f（n1）(1)nn1(1)n1(n1)10，且函數 f(x)的圖像是連續不斷的， 所以 f(x)在區間(n， (n1)內至少存在一個零點 又f(x)在區間(n，(n1)上是單調的，故nxn1(n1).因此，當 n1 時，1x214223；當 n2 時，1x211x2212(41)23；當 n3 時，1x211x221x2n0)，設 fn(x)為 fn1(x)的導數，nn*.(1)求 2f12 2f22 的值；(2)證明：對任意的 nn*，等式|nfn14 4fn4|22都成立23解： (1)由已知，得 f1(x)f0(x)sinxxcosxxsinxx2，于是

5、f2(x)f1(x)cosxxsinxx2sinxx2cosxx22sinxx3，所以 f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)證明：由已知得，xf0(x)sinx，等式兩邊分別對 x 求導，得 f0(x)xf0(x)cosx，即 f0(x)xf1(x)cosxsinx2 .類似可得2f1(x)xf2(x)sinxsin(x)，3f2(x)xf3(x)cosxsinx32，4f3(x)xf4(x)sinxsin(x2)下面用數學歸納法證明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對所有的 nn*都成立(i)當 n1 時，由上可知等式成立(ii)假設當 nk 時等式成

6、立，即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因為kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx（k1）2，因此當 nk1 時，等式也成立綜合(i)(ii)可知，等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對所有的 nn*都成立令 x4，可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nn*)，所以|nfn14 4fn4|(nn*)m4單元綜合52014湖南長郡中學月考記 sk1k2k3knk，當 k1，2，3，時，觀察下列等式：s112n212n，s21

7、3n312n216n，s314n412n314n2，s415n512n413n3130n，s516n612n5512n4an2，由此可以推測 a_5112解析 根據所給等式可知，各等式右邊的各項系數之和為 1，所以1612512a1，解得 a112.62014日照一中月考二維空間中圓的一維測度(周長)l2r，二維測度(面積)sr2，觀察發現 sl；三維空間中球的二維測度(表面積)s4r2，三維測度(體積)v43r3，觀察發現 vs.已知四維空間中“超球”的三維測度 v8r3，猜想其四維測度 w_.62r4解析 因為 w8r3，所以 w2r4.72014甘肅天水一中期末觀察下列等式：(11)21

8、；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此規律，第n個等式為_7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解析 觀察等式規律可知第 n 個等式為(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌調研已知整數對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第 57 個數對是_8(2，10)解析 由題意，發現所給序數列有如下規律：(1，1)的和為 2，共 1 個；(1，2)，(2，1)的和為 3，共 2 個；(1，3)，(2，2)，(3，1

9、)的和為 4，共 3 個；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為 5，共 4 個；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為 6，共 5 個由此可知，當數對中兩個數字之和為 n 時，有 n1 個數對易知第 57 個數對中兩數之和為 12，且是兩數之和為 12 的數對中的第 2 個數對，故為(2，10)92014福州模擬已知點 a(x1，ax1)，b(x2，ax2)是函數 yax(a1)的圖像上任意不同的兩點，依據圖像可知，線段 ab 總是位于 a，b 兩點之間函數圖像的上方，因此有結論ax1ax22ax1x22成立運用類比的思想方法可知，若點 a(x1，sinx1)，