1、曲線積分與曲面積分(3)1第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分概念的引入概念的引入第一類曲面積分的定義第一類曲面積分的定義第一類曲面積分的計算法第一類曲面積分的計算法小結小結 思考題思考題 作業作業第四節第四節 第一類曲面積分第一類曲面積分曲線積分與曲面積分(3)2實例實例解解 第一步第一步: : 將將分為許多分為許多極其微小的子域極其微小的子域,以以dS為為代表代表, ,dS的質量為的質量為:MMd 第二步第二步: : 求和取極限求和取極限 SzyxMd),(則則Szyxd),( ,d),(Szyx 取取 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面

2、, ,且當點在且當點在曲面上連續移動時曲面上連續移動時, ,切平面也連續轉動切平面也連續轉動. .光滑光滑的的,是是若若曲曲面面 它的面密度為連續函數它的面密度為連續函數),(zyx 求它的質量求它的質量.第一類曲面積分第一類曲面積分一、概念的引入一、概念的引入曲線積分與曲面積分(3)31. 定義定義iS (上上為為設設點點iiiiS ),(,),(iiiiSf ,),(1iiiniiSf ,0時時 iS 函數函數 f(x, y, z)在在上上任意取定的點任意取定的點,并作和并作和如果當各小塊曲面的直徑如果當各小塊曲面的直徑這和式的極限存在這和式的極限存在,則則的最大值的最大值第一類曲面積分第

3、一類曲面積分二、第一類曲面積分的定義二、第一類曲面積分的定義 第第i 小塊曲面的面積小塊曲面的面積),作乘積作乘積設曲面設曲面是光滑的是光滑的,同時也表示同時也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小塊小塊xyOz ),(:yxzz ),(iii iS 曲線積分與曲面積分(3)4),(zyxf或或.d),( Szyxf記為記為即即如曲面是如曲面是 曲面面積元素曲面面積元素被積函數被積函數則積分號寫成則積分號寫成iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),(積分曲面積分曲面iiiniiSf ),(1稱稱極限為數量值函數極限為數量值函數上的曲面積分，在曲面對面積的曲面積分，對面積的曲面積分

4、，第一類曲面積分第一類曲面積分閉曲面閉曲面, ,第一類曲面積分第一類曲面積分也稱為也稱為曲線積分與曲面積分(3)5則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 2. 存在條件存在條件在光滑曲面在光滑曲面上上今后今后, ,假定假定 1d),( Szyxf Szyxfd),(曲面積分存在曲面積分存在. .第一類第一類連續連續, ,),(zyxf當當.),(上連續上連續在在 zyxf第一類曲面積分第一類曲面積分3. 第一類曲面積分的性質第一類曲面積分的性質2d),(Szyxf曲線積分與曲面積分(3)6 補充補充設分片光滑的設分片光滑的 Szyxfd),(x的奇函數的奇函數x的偶函數的偶

5、函數.d),(21 Szyxf. 0),(:1 zyxx 其中其中 , 0則則曲面曲面關于關于yOz面對稱面對稱, ,為為當當),(zyxf為為當當),(zyxf第一類的曲面積分第一類的曲面積分曲線積分與曲面積分(3)74. 第一類曲面積分的幾何意義第一類曲面積分的幾何意義空間曲面空間曲面的面積的面積: : SAd1 d122 Dyxzz5.第一類第一類曲面積分的物理意義曲面積分的物理意義面密度為連續函數面密度為連續函數;d),( SzyxM時時，當當1),( zyxf的質量的質量M為為: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx第一類曲面積分第一類曲面積分其重心坐標為其重心坐標為:,d),(1 Sz

6、yxxMx,d),(1 SzyxyMy.d),(1 SzyxzMz曲線積分與曲面積分(3)8, yxf Szyxfd),(: 若若曲曲面面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：思想思想:yxzzSyxdd1d22 化為二重積分計算化為二重積分計算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyD),(yxzz (1)第一類曲面積分第一類曲面積分三、三、第一類曲面積分的計算法第一類曲面積分的計算法曲線積分與曲面積分(3)9第一類曲面積分第一類曲面積分 Szyxfd),(, yxf),(yxzyxzzyxdd122 利用上述公式計算第一類曲面積分的步驟：利用上述公式計算

7、第一類曲面積分的步驟：1. 求出曲面求出曲面;xyDxOy面上的投影區域在2. 將被積函數將被積函數);,(),(yxzzzyxf換為函數中的變量3. 將面積微元將面積微元dS換為換為yxzzyxdd122 xyD上計算二重積分。在xyD. 4曲線積分與曲面積分(3)10 ,zxf Szyxfd),(則則 ,zyf Szyxfd),(：若若曲曲面面 則則xzDyzD),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx ),(zxyy :若曲面),(zxyzxyyzxdd122第一類曲面積分第一類曲面積分曲線積分與曲面積分(3)11由參數方程如果曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx),

8、( ,),(),(),(給出，給出，此時曲面的面積微元為此時曲面的面積微元為dudvvuxzvuzyvuyxdS222),(),(),(),(),(),(于是，于是， Szyxfd),(uvDvuzvuyvuxf),(),(),(dudvvuxzvuzyvuyx222),(),(),(),(),(),(第一類曲面積分第一類曲面積分曲線積分與曲面積分(3)12xyzO例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxDxy5,d)( zySzyx為為平平面面其其中中計計算算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 Szyxd)(xyDy 52yxdd故故 )(y

9、xyxzzSyxdd1d22 第一類曲面積分第一類曲面積分 xyDyxxdd)5(2 2125 二重積分二重積分的對稱性的對稱性 xyDyxdd52yxdd2曲線積分與曲面積分(3)13解解 依依對稱性對稱性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.為為偶偶函函數數、關關于于xy ,d|Sxyz計計算算).10(22 zyxz為為拋拋物物面面其其中中 例例面面均均對對稱稱；面面、關關于于yOzxOz拋物面拋物面有有?第一類曲面積分第一類曲面積分被積函數被積函數1 為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面.xyzO曲線積分與曲面積分(3)14yxyxSdd)2()2(1d22 Sxyzd41 x

10、y4極坐標極坐標 d41sincosd41022220 xyD )(22yx yxyxdd)2()2(122 Sxyz d| 投影域：投影域：0, 0, 1| ),(22 yxyxyxDxy d41d2sin2210502 uuud)41(41251 42015125 u第一類曲面積分第一類曲面積分) 10(:22zyxz曲線積分與曲面積分(3)15例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dSx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 01zxz及平面第一類曲面積分第一類曲面積分zxyOzxyOzxyO曲線積分與曲面積分(3)16解解 2d Sx 1 2 3 1d Sx

11、Dyxxdd0 Dyxxdd110 0 z1 xz122 yx投影域投影域1:22 yxD第一類曲面積分第一類曲面積分例例所圍成的空間立體的表面所圍成的空間立體的表面. ,dSx計算計算, 122 yx是圓柱面是圓柱面其中其中 01zxz及平面對稱性對稱性zxyO曲線積分與曲面積分(3)17zxyO(左右兩片投影相同左右兩片投影相同)zxyySzxdd1d22 zxxdd112 Sxd1:223 yx 將將投影域投影域選在選在面上面上xOz注注21xy 分成左、右兩片分成左、右兩片 3d Sx Sxd31 Sxd32 31 2 x2xzDzxxdd112 第一類曲面積分第一類曲面積分 zxxx

12、dd122 01 1x11 xz Sxd 00對稱性對稱性xzO11 曲線積分與曲面積分(3)18計算計算,d)(23Szyxx 其中其中為球面為球面222yxaz 之位于平面之位于平面 練習)0(ahhz zxyO因曲面因曲面于是于是 Szd00 x3是是x的奇函數，的奇函數， x2y是是y的奇函數的奇函數.Szyxxd)(23 關于關于yOz面及面及xOz面對稱面對稱; 解解曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的投影域面上的投影域2222:hayxDxy 222yxaz 2222:hayxDxy 曲線積分與曲面積分(3)19zxyO2222:hayxDxy )(22haa Szd00 222yxa yxyxaadd222 Szyxxd)(23 222yxaz xyD第一類曲面積分第一類曲面積分xyDdxdya曲線積分與曲面積分(3)20 第一類曲面積分的計算第一類曲面積分的計算 第一類曲面積分的概念第一類曲面積分的概念第一類曲面積分第一類曲面積分四、小結四、小結四步四步:分割、取近似、求和、取極限分割、取近似、求和、取極限思想思想:化為化為二重積分計算二重積分計算;曲面方程三種形式的計算公式曲面方程三種形式的計算公式曲線積分與曲面積分(3)21思考題思考題 定積分、二重積分、三重