1、專題八 數列2013年2月（2013普陀區期末）6. 若等差數列的前項和為，則數列的通項公式為 . 【答案】（）【Ks5U解析】在等差數列中，設公差為，則由，得，即，解得，所以。（2013閔行期末）18數列滿足，若數列的前項和為，則的值為 答 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【Ks5U解析】因為，所以，選D.（2013閔行期末）7無窮等比數列的各項和為，第2項為，則該數列的公比 .【答案】【Ks5U解析】由題意知且,，解得（舍去）或。（2013靜安區期末）16（理）等差數列中，已知，且，則數列前項和（）中最小的是（ ）(A) 或 (B) (C) (D)【答案】C【KS5U解析】由

2、得，解得。所以，由，即，解得，即當時，；當時，所以前13項和最小，所以選C.（2013靜安區期末）2等比數列（）中，若，則 .【答案】64【KS5U解析】在等比數列中，即，所以，。所以。（2013閔行期末）13如下圖，對大于或等于2的正整數的次冪進行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的數是，最大的數是；若的“分裂”中最小的數是，則 . 【答案】【Ks5U解析】解：由，分裂中的第一個數是：，分裂中的第一個數是：，分裂中的第一個數是：，發現奇數的個數與前面的底數相同，每一組分裂中的第一個數是底數（底數1）+1，分裂中的第一個數是：，若的“分裂”中最小的數是，則的值是 15（楊浦區20

3、13屆高三一模 理科）18. 已知數列是各項均為正數且公比不等于的等比數列（）. 對于函數，若數列為等差數列，則稱函數為“保比差數列函數”. 現有定義在上的如下函數：， ， ， ，則為“保比差數列函數”的所有序號為 （ ） 【答案】C【KS5U解析】對于，lnf(an)= ln=-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq為等差數列，故是，(B)、(D)均錯；對于，lnf(an)= ln=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq為等差數列，故是，(A)錯，故選(C).（2013靜安區期末）7（理）設數列滿足當（）成立時，總可以推出成立下列四個命題：（1）若，則（2）

4、若，則（3）若，則（4）若，則其中正確的命題是 .（填寫你認為正確的所有命題序號）【答案】（2）（3）（4）【KS5U解析】（1）的等價條件是若，則。由條件可知不成立。（2）若，則滿足，所以，成立。所以正確。（3）的等價條件是若，則。成立。（4）若，則滿足，所以，因為，所以成立。所以成立。所以正確的命題是為（2）（3）（4）。（黃浦區2013屆高三一模 理科）3. 若數列的通項公式為，則 【答案】【KS5U解析】因為，所以，所以。（虹口區2013屆高三一模）18、數列滿足，其中，設，則等于( ) 【答案】C【KS5U解析】 (都有項) =(=(,所以選C.（楊浦區2013屆高三一模 理科）8.

5、 設數列()是等差數列.若和是方程的兩根，則數列的前 項的和_ 【答案】【KS5U解析】由題意知，又，所以，所以。（奉賢區2013屆高三一模）17、（理）已知是等差數列的前n項和，且，有下列四個命題，假命題的是（ ）A公差； B在所有中，最大；C滿足的的個數有11個； D；【答案】C【Ks5U解析】由，得，即，所以公差，。，。所以滿足的的個數有12個，所以C為假命題，所以選C. （松江區2013屆高三一模 理科）5已知數列的前項和，則 【答案】5【Ks5U解析】因為，所以。 （奉賢區2013屆高三一模）14、（理）設函數，是公差為的等差數列，則 【答案】【Ks5U解析】,所以，所以，所以，因為

6、，即，所以必有且，即。所以，所以。（浦東新區2013屆高三一模 理科）7等差數列中，則該數列的前項和 .【答案】【KS5U解析】在等差數列，得，即.所以.（嘉定區2013屆高三一模 理科）13觀察下列算式：， 若某數按上述規律展開后，發現等式右邊含有“”這個數，則_ 【答案】【Ks5U解析】某數按上述規律展開后,則等式右邊為m個連續奇數的和，且每行的最后一個數為，所以的最后一個數為，因為當時，當時，所以要使當等式右面含有“”這個數，則。（嘉定區2013屆高三一模 理科）5在等差數列中，從第項開始為正數，則公差的取值范圍是_【答案】【Ks5U解析】由題意知，即，所以，解得，所以，即公差的取值范圍

7、是。（金山區2013屆高三一模）14若實數a、b、c成等差數列，點P(1, 0)在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點N(0, 3)，則線段MN長度的最小值是 【答案】【KS5U解析】a、b、c成等差數列a-2b+c=0 a1+b(-2)+c=0，直線l：ax+by+c=0過定點Q(1,-2)，又P(1, 0)在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，PMQ=90，M在以PQ為直徑的圓上,圓心為C(0, -1)，半徑r=，線段MN長度的最小值即是N(0, 3)與圓上動點M距離的最小值=|NC|-r=4-.（虹口區2013屆高三一模）9、在等比數列中，已知，則 【答案】 【KS5U解析

8、】在等比數列中，所以。得，所以，所以。（青浦區2013屆高三一模）8若三個互不相等的實數成等差數列，適當交換這三個數的位置后變成一個等比數列，則此等比數列的公比為 （寫出一個即可）【答案】【KS5U解析】設三個互不相等的實數為。（d0）交換這三個數的位置后：若是等比中項，則，解得d=0，不符合；若是等比中項則，解得，此時三個數為，公比為2或三個數為，公比為若a+d是等比中項，則同理得到公比為，或公比為所以此等比數列的公比是或（奉賢區2013屆高三一模）6、設無窮等比數列的前n項和為Sn，首項是，若Sn，則公比的取值范圍是 【答案】【Ks5U解析】因為，所以，則，即，所以，因為，所以，所以，即，

9、所以公比的取值范圍是。（崇明縣2013屆高三一模）13、數列滿足，則的前60項和等于. 【答案】1830【KS5U解析】，n+1代n，得，當n為奇數時，a1+a3=a5+a7= a57+a59=2S奇=，由得：，以上各式相加，得S偶-S奇=S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.（虹口區2013屆高三一模）12、等差數列的前項和為，若，則 【答案】10【KS5U解析】由得，即（舍去）或又，所以解得。（長寧區2013屆高三一模）7、從數列中可以找出無限項構成一個新的等比數列，使得該新數列的各項和為，則此數列的通項公式為 【答案】【KS5U解析】設數列的首項為，公比因為，所以，即

10、，所以。因為，所以是偶數，則一定是奇數，所以必有，即。所以，即。所以，所以，即數列的通項公式為（寶山區2013屆期末）11.若數列的通項公式是，則 =_. 【答案】【KS5U解析】因為，所以。（崇明縣2013屆高三一模）9、數列的通項公式是，前項和為，則. 【答案】【KS5U解析】因為，所以。（青浦區2013屆高三一模）13正六邊形的邊長為1，它的6條對角線又圍成了一個正六邊形，如此繼續下去，則所有這些六邊形的面積和是 【答案】【KS5U解析】在RtA1B1A2中，A1B1A2=30，A1B1=1，A1A2= A2F2，又易知這些正六邊形的邊長組成等比數列，公比為，故所有所有這些六邊形的面積和

11、=。（松江區2013屆高三一模 理科）已知遞增的等差數列的首項，且、成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設數列對任意，都有成立，求的值（3）若，求證：數列中的任意一項總可以表示成其他兩項之積22解：（1）是遞增的等差數列，設公差為 1分、成等比數列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 對都成立當時，得 5分當時，由，及得，得 7分 8分 10分（3）對于給定的，若存在，使得 11分，只需， 12分即，即即， 取，則 14分對數列中的任意一項，都存在和使得 16分（浦東新區2013屆高三一模 理科）22（本小題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）定義數列，如果存

12、在常數，使對任意正整數，總有成立，那么我們稱數列為“擺動數列”（1）設，（），判斷數列、是否為“擺動數列”， 并說明理由；（2）已知“擺動數列”滿足，求常數的值；（3）設，且數列的前項和為，求證：數列是“擺動數列”， 并求出常數的取值范圍. 解：（1）假設數列是“擺動數列”，即存在常數，總有對任意成立，不妨取時則，取時則，顯然常數不存在，所以數列不是“擺動數列”； 2分由，于是對任意成立，其中.所以數列是“擺動數列”. 4分（2）由數列為“擺動數列”， ， 即存在常數，使對任意正整數，總有成立；即有成立.則，6分所以.7分同理.8分所以，解得即.9分同理，解得；即. 綜上.11分（3）證明：由

13、，13分顯然存在，使對任意正整數，總有成立，所以數列是“擺動數列”； 14分當為奇數時遞減，所以，只要即可當為偶數時遞增，只要即可綜上，的取值范圍是.16分（取中的任意一個值，并給予證明均給分）如取時，. 因為，存在，使成立.所以數列是“擺動數列”.（黃浦區2013屆高三一模 理科）20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分在ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c，且A, B, C成等差數列（1）若且，求的值；（2）若，求的取值范圍20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分解：（1）A、B、C成等差數列，又,， 2分

14、 由得， 4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2）由（1）得，即，故= 10分=， 12分由且，可得， 即，的取值范圍為 14分（青浦區2013屆高三一模）20(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知數列滿足 （1）設證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式； （2）求數列的前項和解：（1），2分 為等差數列又，4分6分（2）設，則310分 14分 （金山區2013屆高三一模）23（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數列an滿足，(其中0且1，nN*)，為數列an的前項和 (1) 若，求的值；(2) 求數列an的通項公式；

15、(3) 當時，數列an中是否存在三項構成等差數列，若存在，請求出此三項；若不存在，請說明理由23解：(1) 令，得到，令，得到。2分由，計算得4分(2) 由題意，可得： ，所以有 ，又，5分得到：，故數列從第二項起是等比數列。7分又因為，所以n2時，8分所以數列an的通項10分(3) 因為 所以11分假設數列an中存在三項am、ak、ap成等差數列，不防設mkp2，因為當n2時，數列an單調遞增，所以2ak=am+ap即：2()4k2 = 4m2 + 4p2，化簡得：24k - p = 4mp+1即22k2p+1=22m2p+1，若此式成立，必有：2m2p=0且2k2p+1=1，故有：m=p=

16、k，和題設矛盾14分假設存在成等差數列的三項中包含a1時，不妨設m=1，kp2且akap，所以2ap = a1+ak ，2()4p2 = + ()4k2，所以24p2= 2+4k2，即22p4 = 22k5 1因為k p 2，所以當且僅當k=3且p=2時成立16分因此，數列an中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差數列18分（長寧區2013屆高三一模）23（本題滿分18分） （理） 已知函數時，的值域為，當時，的值域為，依次類推，一般地，當時，的值域為，其中k、m為常數，且（1）若k=1，求數列的通項公式；（2）若m=2，問是否存在常數，使得數列滿足若存在，求k的值；若不存在，請說明理

17、由；（3）若，設數列的前n項和分別為Sn，Tn，求（文）設，等差數列中，記=，令，數列的前n項和為.（1）求的通項公式和；（2）求證：；（3）是否存在正整數，且，使得成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.23、（理）解：（1）因為所以其值域為 2分于是 4分又6分（2）因為所以8分法一：假設存在常數，使得數列，10分得符合。12分法二：假設存在常數k0，使得數列滿足當k=1不符合。7分當，9分則當 12分（3）因為所以的值域為 13分于是則 14分因此是以為公比的等比數列，又則有 16分 進而有18分（文）解：（1）設數列的公差為，由,.解得，=3 ， 2分 4分， Sn=. 6分

18、（2） 8分 10分（3）由(2)知， ，成等比數列. 12分 即 當時，7，=1，不合題意；當時，=16，符合題意；當時，無正整數解；當時，無正整數解；當時，無正整數解；當時，無正整數解；15分當時， ，則，而，所以，此時不存在正整數m,n,且1mn,使得成等比數列. 17分綜上，存在正整數m=2,n=16,且1mn,使得成等比數列. 18分 另解： （3）由(2)知， ， 成等比數列. ， 12分取倒數再化簡得 當時，=16，符合題意； 14分， 而， 所以，此時不存在正整數m、n , 且1mn,使得成等比數列. 17分 綜上，存在正整數m=2,n=16,且1mn,使得成等比數列. 18分

19、（虹口區2013屆高三一模）22、（本題滿分16分）數列的前項和記為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）求和；（3）設有項的數列是連續的正整數數列，并且滿足：問數列最多有幾項？并求這些項的和22、（16分）解：（1）由得，相減得，即又，得，數列是以1為首項2為公比的等比數列，5分（2）由（1）知10分（3）由已知得又是連續的正整數數列，上式化為又，消得，由于，時，的最大值為9.此時數列的所有項的和為16分（崇明縣2013屆高三一模）21、（本題14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分） 已知數列，記, , ，并且對于任意，恒有成立（1）若，且對任意，三個數組成等差數列，求數列的通項公式；（

20、2）證明：數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數組成公比為的等比數列21、解：（1） ，所以為等差數列。 （2）（必要性）若數列是公比為q的等比數列，則，所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數列。（充分性）：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列，則，于是得即 由有即，從而.因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列。 綜上，數列是公比為q的等比數列的充要條件是對任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數列。（嘉定區2013屆高三一模 理科）22（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分設數列的前項

21、和為，已知（，、為常數），（1）求、的值；（2）求數列的通項公式；（3）是否存在正整數，使得成立？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對；若不存在，請說明理由22（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）（1）由題意，得，（2分）即 ，解得 （4分）（2）由（1）知， 當時， （1分），得（），又，（3分）所以數列是首項為，公比為的等比數列（4分）所以的通項公式為（）（6分）（3）由（2），得，（1分）由，得，即，即因為，所以，所以且， （*）因為，所以或或（2分）當時，由（*）得，所以； （3分）當時，由（*）得，所以或； （4分）當時，由（*）得，所以或或 （5分） 綜上

22、可知，存在符合條件的正整數、，所有符合條件的有序整數對為：， （6分）（寶山區2013屆期末）23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分已知定義域為R的二次函數的最小值為0，且有，直線被的圖像截得的弦長為，數列滿足， （1）求函數的解析式；（2）求數列的通項公式；（3）設，求數列的最值及相應的 23 解：（1）設，則直線與圖像的兩個交點為（1，0）， 2分 ， 4分 （2） 5分 6分 數列是首項為1，公比為的等比數列8分 10分 （3）令， 則12分，的值分別為，經比較距最近， 當時，有最小值是，15分當時，有最大值是0 18分（奉賢區2013屆高三一模）22、（文）等比數列滿足，數列滿足（1）求的通項公式；（5分）（2）數列滿足，為數列的前項和求；（5分）（3）是否存在正整數，使得成等比數列