1、韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根，則，。這兩個(gè)式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c 的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點(diǎn)介紹它在五個(gè)方面的應(yīng)用。【要點(diǎn)講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱式的值。 例1 若a，b 為實(shí)數(shù)，且，求的值。思路注意 a，b 為方程解（ 1）當(dāng) a=b 時(shí)，的二實(shí)根；（隱含）。；（2）當(dāng)時(shí)，由已知及根的定義可知，a，b 分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得， ab=1.說明此題易漏解a=b 的情況。根的對(duì)稱多

2、項(xiàng)式，等都可以用方程的系數(shù)表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，則有遞推關(guān)系。其中 n 為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競(jìng)賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出 a， b 值進(jìn)而求出所求多項(xiàng)式值，但計(jì)算量較大。 例 2 若，且，試求代數(shù)式的值。思路此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因?yàn)?，由根的定義知 m，n 為方程的二不等實(shí)根，再由韋達(dá)定理，得，2構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個(gè)字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一元二次方程。 例 3 設(shè)一元二次方程的二實(shí)根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為。

3、求所有這樣的一元二次方程。解（ 1）由韋達(dá)定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得解之可得由得，分別討論（p,q ）=(0,0) ，(1,0)，(1,0)， (0,1) ，(2,1)，(2,1) 或 (0,1) 。于是，得以下七個(gè)方程，x 22x 1 0 ， x 21 0 ，其中 x 210 無實(shí)數(shù)根，舍去。其余六個(gè)方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a，b，c 為實(shí)數(shù)，且滿足條件：，求證 a=b。證明由已知得，。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以a，b 為根的關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)一元二次方程為由 a，b 為實(shí)數(shù)知此方

4、程有實(shí)根。 c 20，故 c=0，從而。這表明有兩個(gè)相等實(shí)根，即有a=b。說明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)特的解題技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得，即 a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號(hào)、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程的實(shí)根符號(hào)判定有下述定理：方程有二正根，ab0；方程有二負(fù)根，ab0，ac0；方程有異號(hào)二根， ac0；方程兩根均為“ 0”， b=c=0，； 例 5 設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實(shí)數(shù)a 的范圍。二根均大于 1；一根大于 1，另一根小于 1。思路設(shè)方程二根分別為，則二根均大于

5、1 等價(jià)于和同時(shí)為正；一根大于 1，另一根小于是等價(jià)于和異號(hào)。解設(shè)此方程的二根為，則，。方程二根均大于1 的條件為解之得7a3方程二根中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于 1 的條件為4a 24(6a)0,( x1 1)(x 2 1)6a ( 2a) 1 0.解之得。a7 。說明此例屬于二次方程實(shí)根的分布問題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價(jià)性；解題過程中涉及二次不等式的解法，請(qǐng)參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識(shí)求解，則解題過程極為簡(jiǎn)便。5求參數(shù)的值與解方程韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。例 6解方程。解：原方程可變形為。令，。則,。由韋達(dá)定理逆定理知，以a，b 為根的一元二次

6、方程是。解得，。即 a= 8 或 a=9。或通過求解 x 結(jié)果相同，且嚴(yán)謹(jǐn)。，（舍去）。解之得，。此種方法應(yīng)檢驗(yàn)：是或否成立強(qiáng)化訓(xùn)練A 級(jí) 1. 若 k 為正整數(shù)，且方程有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，則k 的值為_ 。 2. 若，則_ 。 3. 已知和是方程的二實(shí)根，則_。 4. 已知方程（ m為整數(shù)）有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，求m的值。級(jí) 5. 已知：和為方程及方程的實(shí)根， 其中 n 為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實(shí)根。 6. 已知關(guān)于 x 的方程的二實(shí)根和滿足，試求 k 的值。參考答案1 2提示：原方程即5，11；由知 k=2，3，4，7。所以，所以k=2，3，但 k=3，由時(shí)原方程有二相等正整數(shù)根，知 k=1， 2， 3，不合題意。 故 k=2。2提示：由x， y 為方程的二根，知，。于。3 21提示：由，知，4設(shè)二個(gè)不等的正整數(shù)根為，由韋達(dá)定理，有消去 m，得。即。則且。，。故。5由韋達(dá)定理有，。又，