1、第二部分:衍生金融 工具定價2 一、遠期價值一、遠期價值 指遠期合約（約束力）價值。依賴于交割價指遠期合約（約束力）價值。依賴于交割價格與標的價格（變化），因此不同時刻合約有不格與標的價格（變化），因此不同時刻合約有不同價值。同價值。 在合約簽訂時在合約簽訂時，如果信息對稱的，而且合約，如果信息對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約（理論上的，實際難以實現），多空雙方所選擇（理論上的，實際難以實現），多空雙方所選擇的交割價格應的交割價格應使遠期價值在簽署合約時等于零使遠期價值在簽署合約時等于零。 在合約簽訂后在合約簽訂后，由于交割價格不

2、變，但標的，由于交割價格不變，但標的價格變，多空雙方的價格變，多空雙方的遠期價值隨標的資產價格的遠期價值隨標的資產價格的變化而變化變化而變化。 3 二、遠期價格二、遠期價格 它是指使遠期合約簽訂時價值為零的交割價它是指使遠期合約簽訂時價值為零的交割價格。遠期價格是理論上的交割價格。格。遠期價格是理論上的交割價格。 一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于多空雙方來說就都不為零多空雙方來說就都不

3、為零 ，實際上隱含了套利空，實際上隱含了套利空間。間。 在遠期合約簽訂之后，交割價格已經確定，在遠期合約簽訂之后，交割價格已經確定，遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定等于交割價格。等于交割價格。 4 三、遠期交易的損益曲線三、遠期交易的損益曲線 在遠期交易時應該取遠期價格作為交割價格，在遠期交易時應該取遠期價格作為交割價格，使使 合約雙方都處于公平合理，這時合約雙方的成合約雙方都處于公平合理，這時合約雙方的成本都是本都是0。所以在交易遠期合約時雙方都不必向對。所以在交易遠期合約時雙方都不必向對方支付任何費用，即方支付任何費用，即遠期交易具有遠期

4、交易具有0成本性成本性。 但是合約一經簽訂，由于標的價格的變化，但是合約一經簽訂，由于標的價格的變化，可使其中一方獲利，而另一方造成損失。可使其中一方獲利，而另一方造成損失。 如果標的價格上升，則多方獲得利益而空方如果標的價格上升，則多方獲得利益而空方受到損失；如果標的價格下跌，則空方獲得利益受到損失；如果標的價格下跌，則空方獲得利益而多方受到損失。而多方受到損失。56 這種獲利或損失對雙方是對稱的，即這種獲利或損失對雙方是對稱的，即遠期交易的損益具有對稱性。遠期交易的損益具有對稱性。 設合約在設合約在T時刻到期，此時標資產的價時刻到期，此時標資產的價格為格為ST，則合約多空雙方在，則合約多空

5、雙方在T時刻的回報分時刻的回報分別是別是 R=ST-X，R=X- ST 再根據再根據0成本性和對稱性，就得到遠期成本性和對稱性，就得到遠期交易的損益曲線：交易的損益曲線： 收益收益 多方損益多方損益 0 標的價格標的價格 空方損益空方損益 遠期交易多空雙方的損益曲線遠期交易多空雙方的損益曲線四、期貨價格（與習慣稱呼的期貨價格不四、期貨價格（與習慣稱呼的期貨價格不同，這里是指理論上合理的期貨價格）同，這里是指理論上合理的期貨價格） 在期貨合約中，我們定義在期貨合約中，我們定義期貨價格期貨價格（Futures Prices）為使期貨合約價值為零為使期貨合約價值為零的理論交割價格。的理論交割價格。

6、注意，在實際交易的期貨價格是向這個注意，在實際交易的期貨價格是向這個理論上的期貨價格靠攏，但不一定真正等理論上的期貨價格靠攏，但不一定真正等于這個理論價格。于這個理論價格。 8 因稅收、交易費用、保證金、違約風險、流因稅收、交易費用、保證金、違約風險、流動性等方面的差異，遠期價格與期貨價格是有差動性等方面的差異，遠期價格與期貨價格是有差異的。但是當有效期只有幾個月時，遠期價格與異的。但是當有效期只有幾個月時，遠期價格與期貨價格的差距通常很小。因此，常常假定遠期期貨價格的差距通常很小。因此，常常假定遠期價格與期貨價格相等。下面分析二者的異同價格與期貨價格相等。下面分析二者的異同 一、在一定條件下

7、，期貨價格一、在一定條件下，期貨價格=遠期價格遠期價格 條件：期貨合約與遠期合約期限（條件：期貨合約與遠期合約期限（t=0交易，交易，T到期）相同，在合約期內無風險利率到期）相同，在合約期內無風險利率r不變，且遠不變，且遠期合約無違約風險。期合約無違約風險。 結論：結論：期貨價格期貨價格F0=遠期價格遠期價格G0。 9證：設證：設T時標的資產價格為時標的資產價格為ST，考慮兩個組合，考慮兩個組合 組合組合A（關于遠期）（關于遠期）金額金額G0投資無風險資產投資無風險資產+買入買入exp(rT)個遠期合約個遠期合約 A在時刻在時刻T價值價值G0exp(rT)+（ST-G0）exp(rT) =ST

8、exp(rT)， 組合組合B（關于期貨）（關于期貨）金額金額F0投資無風險資產投資無風險資產+在持有期每一天各買入在持有期每一天各買入一定的期貨合約，使第一定的期貨合約，使第i天末持有的期貨合約達天末持有的期貨合約達到到exp(ri)個個（逐步買進，到逐步買進，到T天持有量與遠期合約數相天持有量與遠期合約數相等等）。）。 。10設第設第t(0t遠期價格（遠期價格（ F0G0 ） 因為當標的價上漲時因為當標的價上漲時,期貨價漲，利率也漲，期貨價漲，利率也漲，期貨多頭期貨多頭賣期貨而進行高利率的投資賣期貨而進行高利率的投資。所以期貨。所以期貨比遠期有利；當標的價下跌時，期貨價跌，利率比遠期有利；當

9、標的價下跌時，期貨價跌，利率也跌。期貨多頭因此要追加保證金，但也跌。期貨多頭因此要追加保證金，但可按低利可按低利率融資率融資，所以期貨也是方便的。可見期貨多頭比，所以期貨也是方便的。可見期貨多頭比遠期多頭有利，期貨價高于遠期價。遠期多頭有利，期貨價高于遠期價。13 3、當標的價與利率負相關，則期貨價格、當標的價與利率負相關，則期貨價格遠期價格遠期價格(F0fsf時時，b0b0；當當sfsf時時，b0b 現貨價，則買入現貨，賣出期貨進行交現貨價，則買入現貨，賣出期貨進行交割獲利，從而使期貨價格下降，現貨價格上割獲利，從而使期貨價格下降，現貨價格上升，使二者相等。升，使二者相等。 為簡便，本章分析

10、是建立在如下假設前提下的：為簡便，本章分析是建立在如下假設前提下的：1沒有交易費用和稅收。沒有交易費用和稅收。2市場參與者能以相同的市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出無風險利率借入和貸出資金資金。3遠期合約遠期合約沒有違約風險沒有違約風險。4允許現貨賣空允許現貨賣空。5當套利機會出現時，市場參與者將參與套利活當套利機會出現時，市場參與者將參與套利活動，從而使動，從而使套利機會消失套利機會消失，我們得到的理論價格就，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。是在沒有套利機會下的均衡價格。 6期貨合約的期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任

11、何人均可不花成本地取得遠期和期貨的這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭或空頭地位。多頭或空頭地位。20本章將要用到的符號主要有：本章將要用到的符號主要有：T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現在的時間，單位為年。變量：現在的時間，單位為年。變量T 和和t 是從合約是從合約生效之前的某個日期開始計算的，生效之前的某個日期開始計算的，T-t 代表遠期和代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。間。S：遠期（期貨）標的資產在時間：遠期（期貨）標的資產在時間t時的價格。時的價格。ST：遠期

12、（期貨）標的資產在時間：遠期（期貨）標的資產在時間T時的價格時的價格（在（在T時刻這個值是個未知變量）。時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在：遠期合約多頭在t時刻的價值，即時刻的價值，即t時刻的遠期價時刻的遠期價值。值。21 F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的時刻的遠期合約和期貨合約中的理論理論遠期價格和理論期貨價格遠期價格和理論期貨價格，如無特別注明，分，如無特別注明，分別簡稱為遠期價格和期貨價格。別簡稱為遠期價格和期貨價格。 r：T時刻到期的以連續復利計算的時刻到期的以連續復利計算的t時刻的時刻的無風險利率無風險利率（年利率），如無

13、特別說明，利率（年利率），如無特別說明，利率均為均為連續復利連續復利的年利率。的年利率。2223 （一（一) )問題問題： 遠期合約的情況遠期合約的情況：多頭持有：多頭持有t t時刻簽約，時刻簽約，T T時時刻到期的遠期合約，合約規定在刻到期的遠期合約，合約規定在T T以價格以價格K K買入買入1 1單位標的物。設合約多頭價值為單位標的物。設合約多頭價值為f f。 標的物情況標的物情況：在：在t t到到T T的期間內，標的物無收的期間內，標的物無收益益 （1 1）f=f=？ （2 2）遠期價格）遠期價格F=F=？（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題

14、組合組合A A： 一份遠期合約多頭（價值為一份遠期合約多頭（價值為f f）+ +現金現金KeKe-r-r（T-tT-t）； 組合組合B B：一單位標的物：一單位標的物 比較兩個組合比較兩個組合： 在在T T時，組合時，組合A A價值價值= =組合組合B B價值，價值，A A復制了復制了B B。 在在t t時，組合時，組合A A價值價值= =組合組合B B價值（？原理）。價值（？原理）。即：即： f+Kef+Ke-r-r（T-tT-t）=S=S（三）結果（三）結果 1 1、無收益資產的遠期合約價值公式、無收益資產的遠期合約價值公式： f=S-Kef=S-Ke-r-r（T-tT-t） 意義：在時刻

15、意義：在時刻t t，無收益資產的遠期合約多頭價，無收益資產的遠期合約多頭價值等于標的資產現貨價格與交割價格現值之差。值等于標的資產現貨價格與交割價格現值之差。 2 2、無收益資產的遠期價格公式：、無收益資產的遠期價格公式： 在遠期合約價值公式中，令在遠期合約價值公式中，令f=0f=0，解出，解出K K，這個，這個特殊的交割價格就是遠期價格，記特殊的交割價格就是遠期價格，記F F。遠期價格：。遠期價格： F=SeF=Ser r（T Tt t） 意義：在時刻意義：在時刻t t，無收益資產的遠期價格等于標，無收益資產的遠期價格等于標的資產現貨價格的終值。的資產現貨價格的終值。 當用遠期價格表示遠期合

16、約價值時：當用遠期價格表示遠期合約價值時： f=f=（F-KF-K）e e-r-r（T-tT-t） 這里這里F-KF-K表示合約在時刻表示合約在時刻t t的遠期與交割價之的遠期與交割價之差，當差，當F=KF=K時，合約價值為時，合約價值為0 0。 當無風險利率當無風險利率r r按按一年派息一次的復利一年派息一次的復利計算計算，且，且T-tT-t小于小于1 1年年時，時， （1 1）無收益資產的遠期價值公式：）無收益資產的遠期價值公式： f=S-K/1+rf=S-K/1+r（T-tT-t） （2 2）無收益資產的遠期價格公式：）無收益資產的遠期價格公式： F=S1+rF=S1+r（T-tT-t）

17、 五、現貨五、現貨- -遠期平價定理遠期平價定理1 1、遠期價格公式遠期價格公式： F=SeF=Ser r（T Tt t） 因為遠期價格是合約價值為因為遠期價格是合約價值為0 0的交割價格。所以令遠的交割價格。所以令遠期合約價值等于期合約價值等于0 0，遠期價格，遠期價格F F等于交割價格等于交割價格K K。由。由此，遠期價格為此，遠期價格為：F=SeF=Ser r（T Tt t）2 2、現貨現貨- -遠期平價定理（現貨遠期平價定理（現貨- -期貨平價定理）期貨平價定理）：無：無收益資產的遠期價格等于其標的資產現貨價格的終收益資產的遠期價格等于其標的資產現貨價格的終值。值。 3 3、可用遠期價

18、格公式、可用遠期價格公式F=SeF=Ser r（T-tT-t）確定遠期合約的交割價確定遠期合約的交割價格。否則就會出現無風險套利。格。否則就會出現無風險套利。 （1 1）若）若KF=SeKF=Ser r（T-tT-t），即交割價格大于現貨價格的終，即交割價格大于現貨價格的終值。值。交割價定高了交割價定高了，套利思路：套利思路：以以S S價格買入標的，持有空頭遠期合約價格買入標的，持有空頭遠期合約 t t時刻時刻 組合組合A A：按無風險利率按無風險利率r r借入借入S S現金，期限為現金，期限為T-tT-t，期末，期末本息為本息為Se Se r r（T-tT-t）；用用S S購買一單位標的資產

19、；購買一單位標的資產；同時賣同時賣出一份該資產的遠期合約，交割價格為出一份該資產的遠期合約，交割價格為K K。 t t時時A A價值價值=0=0 T T時刻時刻 可將一單位標的資產用于交割換來可將一單位標的資產用于交割換來K K金額，并歸還借款金額，并歸還借款本息本息Se Se r r（T-tT-t），所以，所以 A A的價值的價值=K-Se=K-Ser r（T-tT-t） 這是無風險利潤。這是無風險利潤。（2 2）若）若KF=Se KF=Se r r（T Tt t），即交割價值小于現貨價格，即交割價值小于現貨價格的終值。的終值。交割價定低了交割價定低了，套利過程如下：，套利過程如下：在在t

20、t時刻：時刻：（賣出標的得資金（賣出標的得資金S S，并且擁有多頭遠期，并且擁有多頭遠期合約，將來可買入）合約，將來可買入）借標的資產并且以價格借標的資產并且以價格S S賣賣出，將所得收入出，將所得收入S S以無風險利率進行投資，期限以無風險利率進行投資，期限為為T-tT-t，期末本息為，期末本息為SeSer r（T Tt t）。同時買進一份該。同時買進一份該標的資產的遠期合約，交割價為標的資產的遠期合約，交割價為K K。在在T T時刻：時刻：套利者收到投資本息套利者收到投資本息SeSer r（T Tt t），并以，并以F F現現金購買一單位標的資產，用于歸還賣空時借入的金購買一單位標的資產，

21、用于歸還賣空時借入的標的資產，從而實現標的資產，從而實現SeSer r（T Tt t）-K-K的無風險利潤。的無風險利潤。例例例：例： 假設某一種零息債券的遠期合約在假設某一種零息債券的遠期合約在6個月后到個月后到期，無風險利率為期，無風險利率為8%，債券的現價為，債券的現價為$90。 （1）求遠期價格。并指出當交割價格與遠期價）求遠期價格。并指出當交割價格與遠期價格不相符合時，可能存在的無風險套利機會。格不相符合時，可能存在的無風險套利機會。 （2）如果交割價格定為平價，即）如果交割價格定為平價，即K=$90，求遠，求遠期合約價值。期合約價值。 零息債券：零息債券：中途不付息的債券。中途不付

22、息的債券。六、遠期價格的期限結構六、遠期價格的期限結構 遠期價格的期限結構：遠期價格的期限結構：不同期限遠期價格之不同期限遠期價格之間的關系。間的關系。 設設F F為在為在T T時刻交割的遠期價格，時刻交割的遠期價格，F F* *為在為在T T* *時時刻交割的遠期價格刻交割的遠期價格, r, r為為T T時刻到期的無風險利率時刻到期的無風險利率,r,r* *為為T T* *時刻到期的無風險利率時刻到期的無風險利率, , 為為T T到到T T* *時時刻的無風險遠期利率。刻的無風險遠期利率。 F=SeF=Ser r（T Tt t） )(*tTrSeFr 兩式相除消掉兩式相除消掉S S后后, ,

23、 我們可以得到不同期限遠期價格之間的關系：我們可以得到不同期限遠期價格之間的關系： )()(*tTrtTrFeF)( *TTrFeF 其中用到連續復利率的即期利率與遠期利率關系，其中用到連續復利率的即期利率與遠期利率關系，公式（公式（3.9）。）。36一、支付已知現金收益一、支付已知現金收益I資產遠期合約定價資產遠期合約定價 （一）（一）問題問題： 遠期合約的情況遠期合約的情況：多頭持有：多頭持有t t簽約，簽約，T T到期的到期的遠期合約，必須在遠期合約，必須在T T以價格以價格K K買入買入1 1單位標的物。單位標的物。設合約多頭價值為設合約多頭價值為f f。 標的物情況標的物情況：在：在

24、t t到到T T的期間內，從標的獲得的期間內，從標的獲得收益，該收益用無風險利率收益，該收益用無風險利率r r折現到折現到t t，其金額為，其金額為I I。( (例如股票分紅、債券派息、黃金存儲費等例如股票分紅、債券派息、黃金存儲費等) ) 求：求：（1 1）f=f=？ （2 2）遠期價格）遠期價格F=F=？（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題 組合組合A A： 一份遠期合約多頭（價值為一份遠期合約多頭（價值為f f）+ +現金現金KeKe-r-r（T-tT-t）； 組合組合B B：一單位標的：一單位標的+ +一筆負債（其現值為一筆負債（其現值為I

25、I） 比較兩個組合比較兩個組合： 在在T T時，時，A A的結果是獲的結果是獲1 1單位標的資產；而單位標的資產；而B B從標的資產獲從標的資產獲得收益剛好用來償還負債的本息。所以，在得收益剛好用來償還負債的本息。所以，在T T時，組合時，組合A A價價值值= =組合組合B B價值，價值，A A復制了復制了B B。 在在t t時，組合時，組合A A價值價值= =組合組合B B價值。即：價值。即： f+Kef+Ke-r-r（T-tT-t）=S-I=S-I另外處理：另外處理：1 1、取新資產資產有收益資產資產收益、取新資產資產有收益資產資產收益; ;2 2、用、用S-IS-I代替（一）的代替（一）

26、的S.S.（三）結果（三）結果 1 1、有現金、有現金I I收益資產的遠期合約價值公式收益資產的遠期合約價值公式： f=S-I-Kef=S-I-Ke-r-r（T-tT-t） 意義：有現金意義：有現金I I收益資產的遠期合約多頭價值收益資產的遠期合約多頭價值等于標的資產現貨價格扣除等于標的資產現貨價格扣除I I后的余額與交割價后的余額與交割價格現值之差。格現值之差。 2 2、有現金、有現金I I收益資產的遠期價格公式：收益資產的遠期價格公式： F=(S-I)eF=(S-I)er r（T Tt t） 意義：有現金意義：有現金I I收益資產的遠期價格等于標的收益資產的遠期價格等于標的資產價格與資產價

27、格與I I差額的終值。差額的終值。例例3.53.5 設黃金的現價為每盎司設黃金的現價為每盎司450450美元美元, ,其儲存成本為每其儲存成本為每年每盎司年每盎司2 2美元，在年底支付美元，在年底支付, ,無風險利率為無風險利率為7%7%。求一年期的黃金遠期價格。求一年期的黃金遠期價格。 解：黃金在合約期內收益的現值為解：黃金在合約期內收益的現值為 美元美元/ /盎司盎司 所以所求遠期價格為所以所求遠期價格為 美元美元/ /盎司盎司43一、支付已知收益率一、支付已知收益率q資產遠期合約定價資產遠期合約定價（一）（一）問題問題： 遠期合約的情況遠期合約的情況：多頭持有：多頭持有t t簽約，簽約，

28、T T到期到期的遠期合約，必須在的遠期合約，必須在T T以價格以價格K K買入買入1 1單位標的單位標的物。設合約多頭價值為物。設合約多頭價值為f f。 標的物情況標的物情況：在：在t t到到T T的期間內，從標的物的期間內，從標的物按收益率按收益率q q獲得收益。獲得收益。 求求： （1 1）f=f=？ （2 2）遠期價格）遠期價格F=F=？（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題（二）用復制技術和無套利定價方法求解問題 組合組合A A： 一份遠期合約多頭（價值為一份遠期合約多頭（價值為f f）+ +現金現金KeKe-r-r（T-tT-t）。）。 現考慮復制組合現考慮復制組合B B，到，到T

29、 T時與時與A A等效。等效。 到終點到終點T T時，組合時，組合B B持有持有1 1單位標的，但由于途中標單位標的，但由于途中標的按收益率的按收益率q q獲得收益，收益還可再投資，問獲得收益，收益還可再投資，問在起點在起點t t時應持有多少個單位標的資產？時應持有多少個單位標的資產？ 組合組合B B： e e-q-q（T-tT-t）單位標的單位標的+ +利息收入再投資于該資產。利息收入再投資于該資產。比較兩個組合比較兩個組合： 在在T T時，組合時，組合A A價值價值= =組合組合B B價值，價值，A A復制了復制了B B。 在在t t時，組合時，組合A A價值價值= =組合組合B B價值，價值， 根據無套利原理。即：根據無套利原理。即： f+Kef+Ke-r-r（T-tT-t）= Se= Se-q-q（T-tT-t）（三）結果（三）結果 1 1、有收益率、有收益率q q收益資產的遠期價值公式收益資產的遠期價值公式： f= Sef= Se-q-q（T-tT-t）-Ke-Ke-r-r（T-tT-t） 2 2、有收益率、有收益率q q收益資產的遠期價格公式：收益資產的遠期價格公式： F=SeF=Se（r-qr-q）（）（T Tt t） 這一