1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應用三、微分在近似計算中的應用一、微分的概念一、微分的概念 函數的微分 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其目錄 上頁 下

2、頁 返回 結束 高等數學25函數的微分的微分微分,)(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數)則稱函數)(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(x

3、fy 在點 可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點 的可導,0 x則線性主部的此項為時yxf0)(0目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分0)(0 xf時 ,xxfy)

4、(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan當 很小時,xyyd時，當xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基

5、本初等函數的微分公式 (見 P116表)又如又如,目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分設 u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxdd( )( )dfuxxduuufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復合函數的微分則復合函數vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分, )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122

6、xxxxde1e2222ex目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當的函數使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的問題就是我們在不定積分要研究的內容.CC注意 數學中的反問題往往出現多值性.)( 為任意常數C高等數學25函數的微分)(22 44)(22)(4sin22

7、)sin(2k224數學中的反問題往往出現多值性 , 例如 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分)()(0 xoxxfy當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 (

8、)(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分180dx29sin的近似值 .解解: 設,sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin4848. 029sin目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3xx1)1 (004942. 32455目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分為了提高球面的光

9、潔度,解解: 已知球體體積為334RV 鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導2. 微分運算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應用近似計算估計誤差目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數

10、的微分1. 設函數)(xfy 的圖形如下, 試在圖中標出的點0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負 .yd0 xx00 xxyOy00yyd目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分xxed)d(arctane x2e11xd xx2e1exxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分)(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分, 得xx d32當0 x時,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設 ,0a且,nab 則nnba1nanba目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分P123 1 ; 3 (4) , (6) , (8) , (10) ; 4 ; 8(1) 習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學25函數的微分1. 已知,