1、學 士 學 位 論 文論 文 題 目： 數學模型在人口預測中的應用 年 級 專 業： 統計學 學 生 姓 名： 學 號： 指 導 教 師： 評 閱 教 師： 完 成 日 期： 數學模型在人口預測中的應用學 生: 專 業: 統計學指導教師: 摘要 人口問題是我國發展的關鍵因素之一。無論是對我國目前經濟發展狀況的認識，還是對未來經濟發展的預測，人口問題的研究都具有十分重要的意義。人口規劃是城市和土地利用總體規劃的一項重要的控制性指標，人口模型是否合理，將對未來的地區經濟和社會發展造成影響，影響各方面的協調可持續發展，因此準確的預測未來人口發展的趨勢，制定合理的人口規劃和人口布局方案具有重大的理論意

2、義和現實意義。運用馬爾薩斯人口模型、logistic 增長模型和線性回歸分析方法 ,利用吉林市統計年鑒人口數據對磐石市20102020 年的人口發展規模做出預測。預測結果顯示3種模型均取得了良好的模擬效果，但馬爾薩斯模型和logistic模型的模擬精度比線性回歸更理想，在模型驗證過程中，前兩者的平均先對誤差較小。故采用馬爾薩斯模型和logistic模型的平均模型對人口進行預測，結果為2010年達到人口549055人，至2020年磐石市人口人數達到563320人。關鍵詞：人口預測；馬爾薩斯模型；logistic增長模型；擬合檢驗，application of mathematical model

3、s in predication of the popilation name: hongjian xu major:statistictutor: yujing duabstract population is one of the key factors of our countrys development. population studies are of great significance both for our understanding of current economic development situation and forecast of future econ

4、omic development. the population planning is an important controlling indicator for urban and land use planning. demographic model is important for future regional economy, social development and all-round sustainable development, so accurate prediction the future trend of population development, ma

5、king reasonable population planning and population distribution program is of great theoretical and practical significance. the scale of population development of panshi city of 2010-2020 is predicted with help of malthusian population model, logistic growth model, linear regression analysis and sta

6、tistical yearbook of jilin city. prediction shows that three models were achieved good simulation results, but the malthusian models and the logistic models simulation accuracy is better than linear regression. during the model verification process, the first two models average error is smaller. the

7、refore the average model of the malthusian model and logistic model has been used to predict the population, the result for the population of panshi city is 549,055 by 2010, and 563,320 by 2020key words：population prediction, the malthusian model, logistic growth model, fitting testing目 錄摘要iabstract

8、ii前言11 磐石市理念人口變化趨勢分析21.1 總人口及其增長率的變化趨勢21.2 人口指標的變化趨勢42 模型預測42.1 馬爾薩斯人口模型52.2 logistic 增長模型72.2.1 模型介紹72.2.2 模型參數求解82.2.3 人口預測92.3 線性回歸分析112.3.1 回歸模型122.3.2 結果預測142.4 模型驗證情況143 未來人口規模的預測結果15結論16參考文獻17致謝18前言人口問題是制約我國經濟發展的一個重要問題之一。無論是對我國目前經濟發展狀況的認識，還是對未來經濟發展的預測，人口問題都具有十分重要的意義。振興東北老工業基地的建設發展是加快全國經濟發展的一項

9、重要措施，磐石市地區位于東北地區的吉林省，正處在經濟快速增長的過程中，同時也面臨著人口、資源和環境的壓力。不論人口問題、資源問題，還是環境與發展問題，最終都是因為人口數量失控而引起的，所以適度的人口規模是經濟、社會、資源和環境保護協調發展的強有力保證。人口預測是指以規劃區域或單位現有人口現狀為基礎，并對未來人口發展趨勢提出合理的控制要求和嘉定條件即參數條件，來獲得對未來人口數據提出預報的技術或方法。一般對于人口預測，我們需要充分采集資料、確定預測參數，通過建立預測模型來進行，包括數量、性別、年齡等。人口預測方法有很多，比如：馬爾薩斯模型、logistic增長模型、gm（1,1）灰色模型法、時間

10、序列法、回歸分析預測法、勞動平衡法、帶眷系數法等。本文運用馬爾薩斯人口模型、logistic增長模型和線性回歸分析的方法，對磐石市人口規模在未來10年的發展做預測。1 磐石市理念人口變化趨勢分析磐石市幅員面積3960平方公里，耕地9.2萬公頃，全市總人口54萬，城鎮人口20萬。該城市在吉林中南部，地理條件優越，交通便捷。隨著經濟的發展，人口數量在不斷增長，這是中國城市的共同特點。選擇磐石市作為本文人口預測的對象，具有一定的針對性和代表性。1.1 總人口及其增長率的變化趨勢磐石市人口從1949年的22.2977萬人增長到2009年的54.1395萬人，見下表一。建國50年時間增加了31.8418

11、萬人，平均年增長率為1.82%。在這一過程中，人口增長率總體趨勢是在下降，但也有些年份增長變動比較大。磐石市1949年至今總人口的變化趨勢主要變現為：總人口數逐年增長；隔年之間的人口增長相對平穩。其中，從1952年1980年，年增長幅度比較大，年增長速度也比較迅速，年平均增長率為3.332%。但1990年比1989年相對增長比較大，年增長率為1.5569%，這是由于人口普查造成的數據異常；1991年2009年，年增長速度比較緩慢，且增長速度下降，年平均增長率0.061%。新世紀以來，磐石市總人口在原有基礎上，進入了一個更低的增長期，期間還出現了負增長，其中2003年，2005年，2009年的增

12、長率分別為-0.015%，-0.03%和-0.059%，21世紀的年平均增長率0.3018%。下表1是考慮到數據的系列性，本文數據采用吉林市統計年鑒，圖1是年增長率的散點圖。今年來，磐石是人口增長速度比較緩慢，但是每年出生人口的絕對數還是在增加，未來人口數量龐大和人口持續增長將在相當一段時間內并存。表一 磐石市1949年-2009年的總人口表年份總人口年份總人口年份總人口19492229771970483523199153555319502262601971497538199253416419512226011972501938199353382019522373641973506329199

13、452967319532436971974509314199553500719542525141975515822199653083719552587561976523776199752773819562599791977528071199852521719572614321978531317199952677219582690851979533858200052700119592742091980538212200152701119603033031981534275200252777619613315001982536308200352769819623614811983535758200

14、45385331963375962198453032820055383711964393967198552397220065390311965395058198652238020075407511966411046198752079620085417151967419586198852238320095413951968428126198952746519694568311990535677(詳見參考文獻1、7、8、10)1.2 人口指標的變化趨勢1995年人口自然增長率1.007%，出生率1.34%，死亡率0.44%,比1994年的年增長率提升了1.784個百分點，成為在20世紀90年代后唯

15、一一次人口的快速增長，但是相對與2004年相比，仍然低1.046個百分點。總之，從人口走勢圖2看，從1990年后，磐石市的人口自然增長率與出生率呈降低趨勢，其降低幅度較小，而人口死亡率變化較小，呈穩定狀態。這表明磐石市人口指標基本處于穩定的現代人口在生產類型，主要得益于振興老東北工業基地的經濟政策，以及人們在思想觀念、經濟、生活方式上發生的深刻變化，從而影響到全民婚育觀的轉變，這更容易地促進了東北經濟的可持續性發展。2 模型預測磐石市的人口統計資料比較完整，為人口預測提供了較為充分的依據。本文選擇總人口指標，并以建國以來的人口歷史數據為依據進行人口預測，因為總人口受外界因素及政策的影響較小。本

16、文選擇磐石市19492004年的統計數據來建立模型，選用20052009年的數據來驗證模型，采用馬爾薩斯人口模型、logistic模型和線性回歸分析4種方法來預測磐石市未來規劃期內的總人口數。2.1 馬爾薩斯人口模型英國人口學家馬爾薩斯根據百余年的人口統計資料，于1978年提出著名的人口模型，是基于指數增長的模型。這個模型的基本假設是：人口的增長率是常數，即隨著時間的增加，人口按指數規律無限增長。模型如下：，其中，為最初年人口數，r為年增長率，k為規劃年限，y為規劃年限為k的總人口數。磐石市從1949年到2004年的平均人口增長率為1.65%，設定20012020年人口的自然增長率做高、中、低

17、3個方案預測。其中，高方案認為20012020年的磐石市人口自然增長率保持現有水平1.65%；低方案認為20012020年人口的自然增長率為19492004年的正最小值0.002%，中方案取其平均值0.826%，則按照低、中、高方案得到20012020年人口自然增長率的三種方案表二： 磐石市2001年2020年平均人口增長率預測表年份低方案中方案高方案200120200.002%0.83%1.65%對應上述3組年平均人口自然增長率的方案，以2000年為基礎年，根據馬爾薩斯人口模型，可以得到20012020年磐石市總人口的高、中、低3種不同方案的預測值，見圖3，橫坐標表示規劃年限k，縱坐標表示總

18、人口數k 圖3： 20012020年磐石市三種方案預測曲線比較上述的3種方案，低方案比較保守，預測結果比較偏低，趨勢基本處于平緩狀態，高方案的預測結果偏大，基數過于龐大，對現實以后的人口政策不是很符合，中方案預測介于兩種方案之間，預測結果始終，基數基本處于一個平穩狀態。綜合磐石市人口發展趨勢和人口發展目標，研究認為中方案預測是比較符合磐石未來人口發展的動態趨勢，經過人口預測能協調可持續發展。所以到2010年，磐石市的總人口規模為，從而可以對磐石市20012020年的人口進行預測，到2020年為止，磐石市人口總數達到585190，見下表三。表三：20012020年磐石市人口預測年份總人口年份總人

19、口年份總人口年份總人口20015322802006545730201155951020165736302002534950200754845020125623002017576500200353762020085512002013565110201857938020045403102009553950201456794020195822802005543010201055672020155707802020585190（詳見參考文獻1、3、8）2.2 logistic 增長模型2.2.1 模型介紹人口問題是影響中國發展的重要因素，準確預測出未來人口的發展趨勢對區域的整體發展規劃有重要的指導意義

20、，考慮到中內對資源的競爭，可以假設人口增長率r是人口x（t）的函數r（x），即不同密度的人口有不同的凈增長率。logistic假設r（x）是x（t）的減函數，且是x的線性函數，這里的r相當于x（t=0）時的增長率，即人口不受環境和資源限制的固有（內稟）增長率，顯然實際增長率，為了明確參數s的物理意義，引入最大人口數量。則當x=時，人口的增長率為零，即，在logistic的線性假設下，有以下的logistic模型11： （1）logistic模型是1938年verhulst2pearl在修正非密度方程時提出的，他認為實際增長率不是內稟增長率，而是在一定的環境中種群的增長總存在一個上限，當種群的數

21、量逐漸向著上限上升時實際增長率就要逐漸地減少，因而也稱為verhulst2pearl方程。用變量分離法求得方程（1）：先由（1）求導得到，若要求此方程，先求其，得到方程組，通過方程組得到下面的解：=， （2）其中。 設初始人口,對（1）求導得，令=0，得到人口增長率的極值點是，即當時人口增長率最大，前一半為快速增長長期，后一半為慢速增長期。解曲線有三個顯著特征；一是單調遞增性；二是增長有限性；三是形狀為s形。(詳見參考文獻2、11)2.2.2 模型參數求解 從公式（2）可以看出想要預測人口數量，需求參數，r或a，b，對人口增長過程利用曲線擬合，實點到模型的垂直距離的平方和（即殘差平方和）是最小

22、值，即達到最佳擬合，采用最小二乘法求的最小值，其實就是通過求并令兩者為零，即：利用matlab軟件進行處理可以估算，r的值，對解進行倒數處理得到，利用等長度時間所對應的三個人口數量，利用時間的等差性求相關參數，則有： （3）； （4）；取倒數得到 ， 。相減有 （5）。 根據（5）得到 ，從而我們有： （6）。以下用數值微分對函數采用線性擬合化的技術來估計參數 由logistic模型可知只要對參數進行估計即可，主要方法和步驟如下：第一步，求參數，利用等時間長度的3個人口數量分別對應三個年份的人口總數，其中，則可以通過（5）得到的關系式求得r，通過關系式（6）求得； 第二步：求參數a，b，將的值

23、帶入（2）式并變形為，兩端取對數得，令，則較為繁瑣的指數形式的解就可變換為線性函數，利用matlab軟件可以擬合出a、b的值，從而求出的值，進而確定出人口模型解的具體形式。得出a=1.428，b=0.1536。(詳見參考文獻1、3、9)2.2.3 人口預測根據19492009年人口數據，從中抽取3個年份數據進行參數求解，根據3個等年間隔數據取，其中，取t=30，分別以1949年，1979年，2009年數據進行參數估計，其中使用matlab進行求解，得到r=0.1536,；通過r，求出=541460，把計算得到的帶入（2）采用第三部分的線性變換并擬合一步，估算a=1.428；b=-0.1536從

24、而求出人口預測的具體形式為 （7）可以直觀地看到數值變化情況，（見圖4）3）模型檢測：我們用2005年2009年的磐石市人口進行檢驗，詳見表四，表四：20012009年磐石市預測人口和實際人口的比較年份實際人口預測人口誤差百分比（%）2001527011541200141892.6922002527766541230134542.5492003527698541270135722.572200453853354129027570.512200553837154132029490.548200653903154134023090.42820075407515413606090.113200854

25、1715541370-345-0.0642009541395541380-15-0.003從表四看出此模型相比其他的模型有一定的優越性4)預測結果：從模型預測的數據分析看出，磐石市人口在長時間的發展過程后趨于穩定，人口波動幅度沒有與建國以后的人口基數那樣具有比較大的變化幅度。從此模型預測結果可以看出磐石市人口將在未來10年之內趨于一個穩定的狀態5455萬人口，能促進磐石市的可持續發展表五：20002020年磐石市人口logistic模型預測表年份預測人口年份預測人口年份預測人口年份預測人口20015412002006541340201154140020165414302002541230200

26、754136020125414102017541440200354127020085413702013541420201854144020045412902009541380201454142020195414402005541320201054139020155414302020541450 2.3 線性回歸分析回歸分析研究的主要對象是客觀事物變量間的統計關系，它是建立在對客觀事物進行大量試驗和觀察的基礎上，用來尋找隱藏在那些看上去是不確定的現象中的統計規律性的統計方法。回歸分析是通過建立統計模型研究變量間相互關系的密切程度、結構狀態、模型預測的一種有效工具。回歸分析方法在生產實踐中的廣泛應

27、用是它發展和完善的根本動力。回歸分析預測中常用的方法之一，是將已知的統計數據作為變量抽樣的觀察結果，通過考察這些數據之間存在的數量關系，設想出表達這種關系的方程時，然后通過最小二乘來估計方程中的參數，由此確定變量之間數學模式。由于客觀經濟現象是錯綜復雜的，一種經濟現象很難用有限個因素來準確說明，隨機誤差項可以概括表示由于人們的認識以及其他客觀原因的局限而沒有考慮的種種偶然因素。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1.由于人們認識的局限或時間、費用、數據質量等制約未引入回歸模型但又對回歸被解釋變量y有影響的因素；2、樣本數據的采集過程中變量觀測值的觀測誤差的影響；3、理論模型設定誤差的影響；4、其

28、他隨即因素的影響。(詳見參考文獻1、5、8)2.3.1 回歸模型采用線性回歸分析模型預測人口變化趨勢，首先根據畫散點圖5，根據散點圖知模型為：，其中y表示總人口數；x表示年份序號，1949年為1，1950年為2，以此類推，2004年為58；a和b為待定系數。19492004年的磐石市總人口數據帶入，進行線性擬合，求得模型的參數估計值為： a=5423，b=285870；因此回歸方程為：，模型檢驗：a的置信區間是2.5587,3.1586，b的置信區間是0.0458,0.0626；殘差圖為：表明模型建立結果相對比較理想。圖5：一次線性回歸曲線擬合圖2.3.2 結果預測將20012020年的序號5

29、574分別帶入方程，可以預測出20102020年各年份的總人口數（見表六）。表六：線性回歸模型預測20102020年磐石市人口數年份總人口年份總人口年份總人口20106329422014654634201867632620116383652015660057201968174920126437882016665480202068717220136492112017670903(詳見參考文獻3、4、8、9)2.4 模型驗證情況本文利用磐石市19492004年統計數據建立預測模型，預測20002020年的人口發展規模，通過20002009年的人口預測值與實際統計值之間的比較，得出預測誤差的大小。表

30、七：三種模型方案預測結果比較表馬爾薩斯模型logistic模型線性回歸模型年份實際人口預測人口相對誤差預測人口相對誤差預測人口相對誤差20015270115322801.000%5412002.692%5787129.810%20025277665349501.361%5412302.551%58413510.681%20035276985376201.880%5412702.572%58955811.723%20045385335403100.330%5412900.512%59498110.482%20055383715430100.862%5413200.548%60040411.522

31、%20065390315457301.243%5413400.428%60582712.392%20075407515484501.424%5413600.113%61125013.037%20085417155512001.751%541370-0.064%61667313.837%20095413955539502.319%541380-0.003%62209614.906% 通過誤差對比分析，得到線性回歸的平均相對誤差為12.043%，馬爾薩斯人口模型的平均相對誤差為1.352%，logistic模型的平均相對誤差為1.039%，從此看出，馬爾薩斯模型和logistic模型比較于線性回歸

32、模型還是有一定的優越度的，綜合考慮各方面因素，本文采用此兩種模型的均值來預測磐石市人口。3 未來人口規模的預測結果本文采用馬爾薩斯人口模型和logistic模型預測值的平均值作為預測結果，預測到在2010年磐石市人口將達到549055人，在2015年人口基數將達到556105，凈增長人數為1425人，在隨后的年份變化中，凈增長人數基本上趨于穩定，人口基數也逐漸穩定，這樣的人口更有利于磐石市的經濟，生活水平全方位的協調可持續發展。表八：模型對未來人口的預測結果年份馬爾薩斯預測人口logistic預測人口預測結果20105567205413905490552011559510541400550455201256230054141055185520135651105414205532652014567940541420554680201557078054143055610520165736305414305575302017576500541440558970201857938054144056041020195822805414405618602020585190541450563320結論總結本文