1、29.1 29.1 幾何問題的處理方法幾何問題的處理方法邏輯推理是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的邏輯推理是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本方法基本方法。幾何學(xué)幾何學(xué)的研究充分運(yùn)用了這的研究充分運(yùn)用了這一方法。一方法。這就是中國(guó)明代偉大的科學(xué)家徐這就是中國(guó)明代偉大的科學(xué)家徐光啟與他翻譯的光啟與他翻譯的幾何原本幾何原本。哥白尼哥白尼地球是運(yùn)動(dòng)的地球是運(yùn)動(dòng)的缺乏依據(jù)缺乏依據(jù),無(wú)法證明無(wú)法證明探索幾何圖形性質(zhì)的探索幾何圖形性質(zhì)的常用的兩種方法常用的兩種方法? （1）通過看一看、畫一畫、比一）通過看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、想一想、猜比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得出結(jié)論，并在實(shí)驗(yàn)、操作中一猜得出結(jié)論，并

2、在實(shí)驗(yàn)、操作中對(duì)結(jié)論作出解釋的方法；對(duì)結(jié)論作出解釋的方法； （2）用邏輯推理的方法。）用邏輯推理的方法。 知識(shí)回顧做一張等腰三角形的半透明紙片，每個(gè)人做一張等腰三角形的半透明紙片，每個(gè)人的等腰三角形可以不一樣，如圖，把紙片的等腰三角形可以不一樣，如圖，把紙片對(duì)折，讓兩腰對(duì)折，讓兩腰ab、ac重疊在一起，折痕為重疊在一起，折痕為ad. .你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？abcdabcd想一想：想一想：可以發(fā)現(xiàn)折疊的兩個(gè)部分是互相重合的，所以可以發(fā)現(xiàn)折疊的兩個(gè)部分是互相重合的，所以等腰三角形是一個(gè)等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形，折痕，折痕ad的在的直線的在的直線就是它的就是它的對(duì)稱軸

3、對(duì)稱軸。這種這種合情推理合情推理的方法是的方法是研究幾何圖形屬性研究幾何圖形屬性的的一種一種基本方法基本方法。同時(shí)也學(xué)習(xí)了。同時(shí)也學(xué)習(xí)了用用邏輯推理邏輯推理的方法的方法去去探索探索一些幾何圖形所具有的一些幾何圖形所具有的屬性屬性。由于由于ab與與ac重合，因此點(diǎn)重合，因此點(diǎn)b與點(diǎn)與點(diǎn)c重合，這樣重合，這樣線段線段bd與與cd也重合。所以也重合。所以b c。等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫成等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角” 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 b=c 等腰三角形兩個(gè)底角相等簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角” bd=cd，ad為底邊上的中線 adb=adc ，ad為底邊

4、上的高線 bad=cad，ad為頂角平分線abcd等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合 簡(jiǎn)稱“三線合一三線合一”例例1已知：在已知：在abc中，中，abac， b80，求，求 c和和a的度數(shù)。的度數(shù)。用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有的屬性的屬性這種合情推理的方法是研究問題的這種合情推理的方法是研究問題的又一種基本方法。又一種基本方法。解：解：abac（已知），（已知）， c b 80（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） a b c180 （三角形內(nèi)角和等于180 ）a180 b c（等式的性質(zhì)）（等式的性質(zhì)）180 80 80 20

5、。邏輯推理的方法是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)邏輯推理的方法是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本方法重要的基本方法. 邏輯推理需要依據(jù)邏輯推理需要依據(jù),我們?cè)噲D用最少的幾條基本我們?cè)噲D用最少的幾條基本事實(shí)作為邏輯推理的事實(shí)作為邏輯推理的,最原始的依據(jù)最原始的依據(jù),因此在第因此在第19章中章中,給出了如下的公理給出了如下的公理:(1)(1)一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等. . (2)(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相 等，那么這兩條直線等，那么這兩條直線平行。平行。(3)(3)如果兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其如果兩個(gè)三

6、角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分夾邊，或三邊）分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。形全等。(4)(4)全等腰三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。全等腰三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。 你還記得嗎？你還記得嗎？回憶回憶1等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及選等等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及選等量代換也是推理的依據(jù)。也將量代換也是推理的依據(jù)。也將“經(jīng)過兩經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線點(diǎn)有且只有一條直線”以及以及“經(jīng)過直線經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行行”（平行公理）作為添加輔助線的依（平行公理）作為添加輔助線的依據(jù)。據(jù)。 有了上述推理

7、依據(jù)。我們就能用邏輯推理有了上述推理依據(jù)。我們就能用邏輯推理的方法證明本教材中出現(xiàn)地的所有的幾何圖的方法證明本教材中出現(xiàn)地的所有的幾何圖形的屬性。形的屬性。abcd24ef13平行線的性質(zhì)如圖ab/cd, 同位角關(guān)于同位角，關(guān)于同位角，哈哈，看我小哈哈，看我小兔的！兔的！平行線的性質(zhì)abcdc21結(jié)論：結(jié)論：如果如果兩條平行直線兩條平行直線被第三條直線所截，被第三條直線所截，同位角相等同位角相等簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記：兩直線平行同位角相等如圖 若ab/cd 則則 討論:在這個(gè)特征中,條件是什么?結(jié)論是什么? 它與”同位角相等,兩直線平行”有什么不同?abcd24ef13平行線的性質(zhì)如圖ab/cd, 內(nèi)錯(cuò)角關(guān)

8、于內(nèi)錯(cuò)角，關(guān)于內(nèi)錯(cuò)角，看我小熊的！看我小熊的！如果兩條平行直線被第三條直如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。我們可以猜想得到我們可以猜想得到:同學(xué)們，幫幫忙，請(qǐng)你們利用小兔同學(xué)們，幫幫忙，請(qǐng)你們利用小兔的結(jié)論來證明一下我的結(jié)論，好嗎？的結(jié)論來證明一下我的結(jié)論，好嗎？243abc1小兔：小兔：兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，同位角相等。小熊：小熊：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。證明：證明： a / b ( 已 知 )（兩直線平行，同位角相等）又 1= 2（對(duì)頂角相等） 2= 3（等量代換） 1= 3平行線的性質(zhì)abcd24ef13如圖ab/cd

9、, 內(nèi)錯(cuò)角看完我的演看完我的演示示,得到什么得到什么結(jié)論呢結(jié)論呢?結(jié)論：如果兩條平行直線被第如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記：兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等若若ab/cd則則abcd24ef13平行線的性質(zhì)如圖ab/cd, 同旁內(nèi)角關(guān)于同旁內(nèi)角，關(guān)于同旁內(nèi)角，呵呵，看我小呵呵，看我小猴的！猴的！猜想:兩條平行直線被第三條直線兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)同學(xué)們，請(qǐng)你們幫忙證明我的結(jié)論吧！呵呵小猴：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。小猴：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。243abc1 a / b ( 已 知 ) 2= 3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

10、角相等）證明：證明：小熊：小熊：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。又 3 + 4 = 180 （鄰補(bǔ)角的定義） 2 + 4 = 180 小兔：小兔：兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，同位角相等。abcd24ef13平行線的性質(zhì)如圖ab/cd, 同旁內(nèi)角結(jié)論：兩條平行直線被第三兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)若ab/cd則則2 + 4 = 180 平 行 線 的 性質(zhì)1. 1. 兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，同位角相等。2. 2. 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3. 3. 兩直線平行，同旁

11、內(nèi)角互補(bǔ)。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。243abc1（若a / b ，則1=3 ）（若a / b ，則2=3 ）（若ab ，則2+4=180） 如圖,三根木條相交成1與2,固定木條b b,c c，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a a。并猜想: 1與2滿足什么條件時(shí), a/ba/b? ?12abc做一做：做一做：b回憶回憶: :我們以前是怎樣過已知直線我們以前是怎樣過已知直線a a外一點(diǎn)外一點(diǎn)p p畫畫a a的平行線的平行線b b的的? ?45cap45兩條直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行.平行線的判定方法平行線的判定方法1:同位角相等同位

12、角相等,兩直線平行兩直線平行.abc321如圖如圖:如何判斷這塊玻璃板的上、下兩邊平行？如何判斷這塊玻璃板的上、下兩邊平行？解：解：如果如果1 =3，又又2=3,ab1=2，(等量代換等量代換)（對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等）(同位角相等同位角相等,兩直線平行兩直線平行)已知已知1 =3，直線，直線a、b會(huì)平行嗎？會(huì)平行嗎？?jī)蓷l直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行.平行線的判定方法平行線的判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。想一想想一想:解：解：兩條直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截,如果

13、同旁內(nèi)角互補(bǔ)如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行.平行線的判定方法平行線的判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。 1+4=180（已知）（已知）又2+4=180（平角的定義）（平角的定義）1=2（同角的補(bǔ)角相等）（同角的補(bǔ)角相等）a/b（同位角相等，兩直線平行）（同位角相等，兩直線平行）abc仿照上例仿照上例,如果如果ab嗎嗎?142想一想想一想:求證求證：三角形的內(nèi)角和為：三角形的內(nèi)角和為180 感受證明感受證明abc已知已知：abcabc求證求證： a+a+ b +b + c=180c=180由此我們知道，邏由此我們知道，邏輯推理是最終確認(rèn)幾何輯

14、推理是最終確認(rèn)幾何圖形屬性的重要方法。圖形屬性的重要方法。 三角形的一個(gè)外角等于和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和 聯(lián)想聯(lián)想 直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余 邊形的內(nèi)角和等于邊形的內(nèi)角和等于（2 2）180。例例 求證求證：三角形的一個(gè)外角等于和它不：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和 已知：如圖，已知：如圖，cbd是是abc的一外角。的一外角。 求證：求證：cbd=a+c圖29.1.3dcbaw證明證明:a+abc+c=a+abc+c=1800(三角形三角形內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理),wa c1800 abc（等式的性質(zhì)）（等式

15、的性質(zhì)）w abc+cbd=abc+cbd=1800(平角的定義平角的定義),w cbd=180cbd=1800 0abcabc.(等量性質(zhì)等量性質(zhì)).w cbdcbdaac (c (等量代換等量代換).). 由于這里所證明為正確的命題也經(jīng)常需要用來作為判斷其他由于這里所證明為正確的命題也經(jīng)常需要用來作為判斷其他命題真假的命題真假的依據(jù)依據(jù)，因此我們把這一，因此我們把這一真命題真命題也作為也作為定理定理。w如圖如圖. 1. 1是是abc的一個(gè)外角的一個(gè)外角, 11與圖與圖中的其它角有什么關(guān)系中的其它角有什么關(guān)系? ?w1+4=1+4=1800 ;12;13;12;13;w1=2+3.1=2+3

16、.w證明證明:2+3+4=2+3+4=1800(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理),w 1+4= 1+4=1800(平角的意義平角的意義),w 1= 2+31= 2+3.(等量代換等量代換).w 12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).abcd1234w能證明你的結(jié)論嗎能證明你的結(jié)論嗎? ?w用文字表述為用文字表述為: :w三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. .w三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角. .w在這里在這里, ,我們通過三角形內(nèi)角和定理我們通過三角形內(nèi)角和定理直接

17、推導(dǎo)出兩個(gè)新定理直接推導(dǎo)出兩個(gè)新定理. .像這樣像這樣, ,由一由一個(gè)公理或定理直接推出的定理個(gè)公理或定理直接推出的定理, ,叫做叫做這個(gè)公理或定理的這個(gè)公理或定理的推論推論w推論可以當(dāng)作定理使用推論可以當(dāng)作定理使用. . w三角形內(nèi)角和定理的推論三角形內(nèi)角和定理的推論: :w推論推論1: 1: 三角形的一個(gè)外角三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和角的和. .w推論推論2:2: 三角形的一個(gè)外角三角形的一個(gè)外角w大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角. .abcd1234 有了有了“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于于180”這條定理后，

18、你能證這條定理后，你能證明直角三角形的兩個(gè)銳角之間明直角三角形的兩個(gè)銳角之間所具有的數(shù)量關(guān)系嗎？所具有的數(shù)量關(guān)系嗎？w例例2 已知已知:如圖如圖,在在abc中中,ad平分外角平分外角eac,b= c. w求證求證:adbc.w證明證明: eac=b+c (三角形的一個(gè)外角等于和它不三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),w ab(內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行兩直線平行).w b=c (已知已知),w dac=c(等量代換等量代換). ad平分平分 eac(已知已知).21c= eac(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).21dac= eac(角平分線的定義角平分線的定義).acd

19、beacdbe例例2 已知已知:如圖如圖,在在abc中中,ad平分外角平分外角eac,b= c. 求證求證:adbc. b=c (已知已知),21b= eac(等式性質(zhì)等式性質(zhì)). ad平分平分 eac(已知已知).21dae= eac(角平分線的定義角平分線的定義). dae=b(等量代換等量代換). ab(同位角相等同位角相等,兩直線平行兩直線平行).證明證明: eac=b+c (三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),acdbe例例2 已知已知:如圖如圖,在在abc中中,ad平分外角平分外角eac,b= c. 求證求證:adbc. da

20、c=c (已證已證), bac+b+c =1800 (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理). bac+b+dac =1800 (等量代換等量代換). ab(同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行兩直線平行).證明證明:由證法由證法1可得可得:w例例3 已知已知:如圖如圖,在在abc中中, 1是它是它的一個(gè)外角的一個(gè)外角, e為邊為邊ac上一點(diǎn)上一點(diǎn),延長(zhǎng)延長(zhǎng)bc到到d,連接連接de.w求證求證: 12.w證明證明: 1是是abc的一個(gè)外角的一個(gè)外角(已知已知),w 13(三角形的一個(gè)外角大三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和于任何一個(gè)和 它不相鄰的內(nèi)角它不相鄰的內(nèi)角).w 3是是cde的一個(gè)外角的一個(gè)外角 (外角定義外角定義).w 32(三角形的一個(gè)外角大于三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和任何一個(gè)和 它不相鄰的內(nèi)角它不相鄰的內(nèi)角).w 12(不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)).cabf1345ed2w例例4：已知已知:如圖所示如圖所示,在在abc中中,外角外角dca=100,a=45.w求求:b和和ac