1、數學模型課程論文 廣西大學男女生人均日用水量預測線性回歸模型廣西大學男女生人均日用水量預測的線性回歸模型摘要:本文就廣西大學隨機抽查男女生宿舍記錄每日用水情況，并發放調查問卷，調查男女生用水習慣，建立層次分析模型，分別計算出男女生的用水能力,分析影響人均日用水量大小的主要因素，建立具有普遍意義的人均日生活用水量預測多元線性回歸模型,利用最大似然估計法，最后通過matlab軟件解出相關系數，得出回歸模型。關鍵詞：層次分析，人均日用水量，最大似然估計法，多元線性回歸：引言高校用水量大、集中，引起了節水管理部門的關注。部分學者對高校用水及管理現狀進行了相關研究分析，認為建立水資源定額管理制度是完善我

2、國水資源管理體系，提高水資源管理水平的核心環節。在水資源規劃中,滿足生活用水量是首要目標。而科學的需水預測是水資源規劃的重要依據。過去，我國水資源規劃部門對需水量的預測普遍偏高，造成對水資源規劃在不同程度上的誤導。所以如何準確估計生活用水量大小,一直還是一個難題。目前,在水資源規劃中最常用的方法仍然是定額法,但在定額估計上存在很大的人為因素,甚至導致計算結果差異很大。因此,急需要從大量的變化規律中尋找可靠的生活用水量預測模型。關于生活用水量,已有大量的研究成果,也提出了很多種方法。比如,用水定額法、灰色預測法、人工神經網絡預測法4 ,5 以及指數平滑法、三角函數預測法、計量經濟學方法 等。這些

3、方法在實際應用上各有優缺點,在方法選擇上也存在很大隨意性。特別是針對水資源規劃工作,存在的人為因素很大。另外,在評價節水型社會時,人均生活用水量到底控制到多少才算是節約,也不能給出一個確定的統一標準。實際上,并不能僅用一個值或一個區間值來簡單表達,還需要考慮當地的自然條件、社會經濟發展水平等因素。 1 人均生活用水量影響因素分析一般來說, 宿舍日用水量受到學生活動(如節假日與平常日的區別)、氣象條件及突發事件等因素的影響, 并與這些因素間存在某種相關性,表現出一定的變化特征。日用水量的回歸預測模型正是基于這種相關性和變化特征建立起來的, 但由于個人用水結構差別，預測精度要求不一, 最終建立的回

4、歸模型就會有所差別。下面就影響宿舍日用水量變化的相關因素作一簡要分析:1.1氣象因素氣象因素是影響日用水量變化的諸因素中最主要的一個, 是影響日用水量變化的“控制”因素。氣象因素主要包括日最高溫度、日平均溫度及天氣陰晴狀況(特別是降雨情況) , 它們對日用水量變化都有極大影響。通常隨著日最高溫度、日平均溫度的升高, 日用水量明顯增大; 同時, 同一溫度下晴天用水明顯多于雨天。至于其它氣象影響因素, 如日最低溫度、空氣濕度、氣壓值等, 對日用水量的影響不是很顯著, 甚至包含或部分包含在上述因素中, 可不予考慮。本模型中主要考慮了每日的平均溫度及陰晴量。其中陰晴量根據天氣情況可將其分為5級,1為晴

5、、2為陰、3為小雨、4為中雨、5為暴雨；1. 2節假日從用水量歷史數據的對比分析和溫度用水量擬合分析中可以得出: 同條件下, 節假日用水比平常日用水低, 而且重大節假日(如五一、國慶等) 比一般節假日用水量低。因此, 節假日量(節假日重要性的量化) 與日用水量存在一定的相關性, 為簡便起見, 一般可當作線性相關考慮。本模型中,根據節假日影響程度可取 02,0為平常日、1為普通節假日、2 為重要節假日；1. 3特殊用水特殊用水目前主要是指校園綠化用水。這部分用水一般能較為準確地預測, 可當作常量考慮，在本模型中，考慮到是學生宿舍，短期內不考慮特殊用水情況。1. 4 男女生的節水意識和用水習慣差異

6、生活用水量與人們的用水習慣、社會習俗、節水意識等有關。有些學生習慣多洗澡、洗衣等;有些學生因為水很珍貴而重復利用水、不浪費一點水,節水意識和用水習慣的差異,導致用水態度和用水量的不同。同時,學校采取必要的水價政策、建立完善的規章制度,也可以影響學生用水。1. 5其它因素除上述主要影響因素外, 其它因素如宿舍人數增長、突發事件(包括消防、管網維修) 等也會對日用水造成影響, 但它們對日用水量的影響要么是微弱的, 要么是暫時的, 在學生宿舍中都不具有顯著性, 在考慮影響因素時可忽略不計。2 模型建立 2.1 構建回歸模型從上述分析可以看出影響廣西大學男女生宿舍日用水量的因素主要包括日平均溫度、天氣

7、陰晴狀況及節假日等(特殊用水可單獨考慮) ,以及學生的節水意識和習慣，且它們與日用水量間均近似呈線性相關。因此, 可分別以上述各主要影響因素為解釋變量, 建立關于日用水量預測的回歸模型, 日實際用水量模型形式為:y=s+b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q。式中: y日實際用水；s特殊的大量集中用水量；taver日平均溫度；a用水能力;w 陰晴量,根據天氣情況可將其分為5級,1為晴、2為陰、3為小雨、4為中雨、5為暴雨；h 節假日量,根據影響程度可取h = 02,0為平常日、1為普通節假日、2 為重要節假日；b0.b6 回歸系數；q 回歸殘差項。2.2 收集相關數據模型就12月初

8、，以網絡為主要媒介的、得到有關平均溫度，陰晴量，節假日量的相關數據：日期號星期最高溫度()最低溫度()平均溫度()氣候氣候量節日量1星期四17712小雨302星期五16510.5陰203星期六21513晴114星期天22915.5晴115星期一231217.5陰206星期二1549.5小雨30同時我們以宿舍為單位一共調查了240名女生，96名男生每人每日的平均用水量，如下表：女生總人數240 12月初部分 部分女生宿舍用水情況統計表 宿舍號1234563010.6316 0.6083 0.3559 0.4626 1.3230 0.8917 3020.4437 0.7231 0.7530 1.0

9、492 1.3531 0.2114 3031.5364 1.6037 2.6352 1.2053 1.6192 4.6507 3040.4837 0.9936 0.9971 1.7187 0.4941 0.5620 3063.0614 1.1651 2.2434 1.1028 1.0138 1.0148 3070.3069 1.0540 0.9469 0.6124 0.6360 0.4722 3080.5488 0.2436 1.9087 0.6558 0.7683 0.8592 3090.6087 0.4052 1.6889 1.6089 2.4764 1.3721 3100.3083 0.

10、8593 0.9716 0.4207 0.4530 0.4607 3111.7456 1.9135 1.0076 2.0889 0.9737 0.8691 3120.5712 0.3906 0.5492 0.5102 0.5447 0.5030 2120.5810 0.4530 0.6420 0.5460 0.1090 0.6560 4010.3030 0.4760 0.4250 0.4000 0.6980 0.5320 4050.9290 0.6410 0.6490 0.6260 0.4740 0.6450 4080.3438 0.3625 0.2395 0.4102 0.6185 0.58

11、56 4091.3831 2.3473 3.1416 5.0261 5.5242 4.8280 4100.2412 0.6598 0.3606 0.5366 0.7741 0.3360 5020.3238 0.4408 0.5958 0.4673 0.6525 0.4901 5030.5710 0.3099 0.3928 0.4738 0.6086 0.4930 5040.5184 0.2951 0.4479 0.5464 0.6003 0.6165 5050.2881 0.4609 0.3319 0.4509 0.3411 0.4316 5070.4532 0.3167 0.5864 0.4

12、181 0.5096 0.4881 5100.9033 0.5016 2.7181 4.0016 0.9324 1.2313 5121.1582 0.5822 0.6049 0.5033 0.8966 0.4851 6010.6522 0.3786 0.3416 0.7792 0.1603 0.5127 6050.9393 0.8161 1.7725 0.5829 0.0713 0.7417 6061.0668 0.2858 1.1559 0.5345 1.8796 0.7770 6070.5281 0.4263 0.2297 0.4230 0.6504 0.4958 6101.3576 0.

13、1129 0.9697 0.8708 1.2207 0.4819 6111.1110 0.9723 0.8604 0.9448 1.1263 1.1865 總和23.8984 20.7988 30.5228 29.9770 29.5028 27.8808 人均日用水量0.0995766666670.0866616666670.127178333330.124904166670.122928333330.11617男生總人數96 12月初部分部分男生宿舍用水情況統計表1234561050.6570.7530.4150.4230.5710.4411061.230.8450.80070.64330.

14、8340.7122020.65700.74600.42800.5760.8110.3242030.8340.7500.6600.8600.4210.3202040.8230.6540.9800.7810.7630.8422050.6770.7240.9600.7670.8080.8342060.8410.5300.6150.7700.9000.8852070.7470.8540.6530.9480.9210.7422080.8430.6460.860.4440.6110.2842090.7320.7220.8940.8650.7350.4272101.1711.0211.4021.3821.0

15、841.1124060.4070.6560.780.4440.4940.431日用水總量7.7327.3038.2327.8377.5486.201人均日用水量0.0805416666670.0760729166670.085750.0816354166670.0786250.06459375根據對數據的統計我們得到了有關男女生人均實際日用水量圖（橫坐標為日期，縱坐標為人均實際日用水量，以立方米為單位），如下圖同時，為了更準確的評估出男女生的用水能力的差異，我們用層次分析法量化一下男女生的用水能力：（1）、構建不完全層次結構模型根據層次結構圖確定每一層的各因素的相對重要性的權數，直至計算出措施

16、層各因素的相對權數。利用這些權數，計算男女生用水能力的大小。（2）、收集相關數據考慮到男女用水能力與是否有節水意識，和個人的生活用水習慣，為了得到有關男女生節水意識和用水能力的數據, 我們設計了如下調查問卷，并共發放及收集了100份問卷，其中女生60份，男生40份，進行了相關調查。1 您的性別 （ ）a 男 b 女2您是否關心關于節水方面的知識？（）是否3 您在日常生活中是否有采取節水措施？ （ ）a 是 b 否4 您在用水時是否有節水意識？（ ）a 是 b 否5 您每天的刷牙次數是 （ ）a 一次 b 至少兩次6 目前您的洗澡頻率是 （ ）a 每天一次 b 隔一天或幾天一次7 您目前洗衣服的

17、頻率是（ ）a 每天都洗 b 隔一天或幾天一次- 10 -經過對數據的收集和統計，我們得出了下表數據：男女關心節水知識60%80%采取節水措施50%78%有節水意識70%92%每天只刷一次牙43.3%14%隔天洗澡54.3%14%隔天洗衣服96.7%28%（3） 構建判斷矩陣我們采取對因子進行兩兩比較的辦法，建立成對比較矩陣。設aij表示因子pi 和pj對因素 o的影響大小之比，再設矩陣，建立正互反矩陣。通過判斷及問卷調查，根據層次結構圖以及saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數1,1/2, , 1/9尺度aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ci:cj的重要性

18、相同 稍強 強 明顯強 絕對強確定每一層的各因素的相對重要性的權數，直至計算出措施層各因素的相對權數。首先，構造o-c 層的判斷矩陣，沒有節水觀念，不可能很好地減少用水量，但光有觀念，沒有一定的生活用水習慣，也達不到影響用水量的目的。c2比c1略重要，為2:1。則有下面判斷矩陣.oc1c2c112c21/21對應下面的矩陣類似的，可構造c-p層的判斷陣對應下面的矩陣,（4）判斷矩陣的一致性檢驗：根據一致性指標和隨機一致性指標表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ri 0 0 0.580.90 1.12 1.24 1.321.411.451.491.51利用matlab求解正互

19、反矩陣a,a1，a2的特征值d和特征向量v a=1,2;1/2,1;a1=1,5,3;1/5,1,1/4;1/3,4,1;a2=1,7,3,7;1/7,1,1/3,1;1/3,3,1,3;1/7,1,1/3,1;v,d=eig(a);v1,d1=eig(a1);v2,d2=eig(a2);dvd1v1d2v2d = 2 0 0 0v = 0.8944 -0.8944 0.4472 0.4472d1 = 3.0858 0 0 0 -0.0429 + 0.5127i 0 0 0 -0.0429 - 0.5127iv1 =0.9048 -0.9048 -0.9048 0.1352 0.0676 +

20、0.1171i 0.0676 - 0.1171i 0.4038 0.2019 - 0.3497i 0.2019 + 0.3497id2 = 4.0079 0 0 0 0 -0.0040 + 0.1780i 0 0 0 0 -0.0040 - 0.1780i 0 0 0 0 0.0000 v2 =-0.9211 -0.9330 -0.9330 0.0000 -0.1233 0.0422 + 0.0579i 0.0422 - 0.0579i -0.7071 -0.3481 0.1154 - 0.3254i 0.1154 + 0.3254i -0.0000 -0.1233 0.0422 + 0.05

21、79i 0.0422 - 0.0579i 0.7071 根據所得到的特征值，先進行一致性和檢驗，判斷a，a1，a2的不一致范圍是否在允許范圍之內所以 通過計算可以得出a,a1，a2一致性檢驗通過，v,v1，v2的歸一化權向量可以使用。（5）求權向量通過權向量的計算我們可以的到組合權向量表c層p層p1p2p3p4p5p6c10.66670.62670.09360.2797000c20.3333000.60770.08130.22960.0813p層對于目標的權重0.41380.06240.38900.02710.07650.0271由上表我們可以得出男女生用水能力的計算公式為o = 0.4183

22、 p 1+ 0.0624 p 2+ 0.3890 p 3+ 0.0271 p 4+ 0.0765p 5+0.0271 p6o男女生用水能力p1關心用水知識p2采取節水措施p3有節水習慣p4隔天洗澡p5每天只刷一次牙p6隔天洗衣服結合我們的調查問卷調查的數據我們可以得到男生o = 0.4183 p 1+ 0.0624 p 2+ 0.3890 p 3+ 0.0271 p 4+ 0.0765p 5+0.0271 p6 =0.41830.6+ 0.06240.5+ 0.38900.7+ 0.02710.433+ 0.07650.543+0.02710.967 =0.6368女生 o = 0.4183

23、p 1+ 0.0624 p 2+ 0.3890 p 3+ 0.0271 p 4+ 0.0765p 5+0.0271 p6 =0.41830.8+ 0.06240.78+ 0.38900.92+ 0.02710.14+ 0.07650.14+0.02710.28 =0.82792.3模型的求解多元線性回歸模型為 y=s+b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q其中b0，b1，b2，b3，b4是未知參數，y，s，taver，a，w，h 是6個可測量并可控制的非隨機變量，r 是隨機誤差。不考慮特殊用水情況，則s=0。設（taver1，a1，w1，h1，y1）,.,(tavern，an，wn

24、，hn，yn）是一個樣本,我們用最大似然數估計法來估計參數即取,使當時， 達到最小，求q分別關于b0，b1，b2，b3，b4的偏導數，并令它們等于零，得 化簡得為了求解方便，可以寫成矩陣的形式，為此引人矩陣，所以 等式兩邊同時乘以，可得2.4 將數據代入回歸模型求出回歸系數為了估計模型參數,對變量進行了觀測,得到了6組觀測數據,令s=0，則有 y1=b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q y2=b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q y3=b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q y4=b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q y5=b0+b1tav

25、er+b2a+b3w+b4h +q y6=b0+b1taver+b2a+b3w+b4h +q用matlab來進行計算女生：x=1 12 0.8279 3 0;1 10.5 0.8279 2 0;1 13 0.8279 1 1;1 15.5 0.8279 1 1;1 17.5 0.8279 2 0;1 9.5 0.8279 3 0;y=0.099576666667;0.086661666667;0.12717833333;0.12490416667;0.12292833333;0.11617;t=x;b=inv(t*x)*t*y;bb = -0.0747 -0.0092 0.0136 0.021

26、0 0.0173男生 x=1 12 0.6368 3 0;1 10.5 0.6368 2 0;1 13 0.6368 1 1;1 15.5 0.6368 1 1;1 17.5 0.6368 2 0;1 9.5 0.6368 3 0;y=0.080541666667;0.076072916667;0.08575;0.081635416667;0.078625;0.0645935;t=x;b=inv(t*x)*t*y;b由matlab的數據我們可以得到下表：女生：日期實際用水量用水能力平均溫度氣候量節日量回歸預測量回歸殘差量10.0995760.827912300.1091-0.00952420.

27、0866610.827910.5200.0883-0.00163930.1271780.827913110.1296-0.00242240.1249040.827915.5110.12020.00470450.1229280.827917.5200.11910.00382860.116170.82799.5300.10490.01127男生：日期號實際用水量用水能力平均溫度氣候量節日量回歸預測量回歸殘差量10.08054160.636812300.07900.001541620.07607290.636810.5200.07340.002672930.085750.636813110.08410.0016540.08163540.636815.5110.0831-0.001464650.0786250.636817.5200.0792-0.00057560.06459370.63689.5300.0655-0.0009063最后我們可以得到男女生人均日用水量的回歸模型女生：y=-0.0747+-0.0092taver+