1、數學實驗向量與矩陣運算向量與矩陣運算主要內容主要內容nMatlab能處理數、向量和矩陣能處理數、向量和矩陣.數實際上是數實際上是一個一個11維矩陣維矩陣.n這節的主要內容：這節的主要內容：矩陣的生成、操作；矩陣的生成、操作；矩陣的基本運算；矩陣的基本運算；矩陣的函數矩陣的函數.q 向量與矩陣的生成向量與矩陣的生成一一 向量與矩陣運算向量與矩陣運算u 向量的生成向量的生成 直接輸入直接輸入: a=1,2,3,4 冒號冒號運運算符算符a=1:4 = = a=1, 2, 3, 4b=0:pi/3:pi = b=0, 1.0472, 2.0944, 3.1416c=6:-2:0 = c = 6, 4,

2、 2, 0例例： 從矩陣中抽取行或列從矩陣中抽取行或列q 向量與矩陣的生成（續）向量與矩陣的生成（續）向量與矩陣運算向量與矩陣運算u 矩陣的生成矩陣的生成 直接輸入直接輸入: A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 由向量生成由向量生成 由函數生成由函數生成 通過編寫通過編寫m文件生成文件生成例例： x=1,2,3;y=2,3,4; A=x,y, B=x;y例例： C=magic(3)自動動手自動動手1、使用函數生成、使用函數生成810零矩陣、零矩陣、 55元素都元素都為為1的矩陣、的矩陣、 55單位矩陣、單位矩陣、 44魔術方陣。魔術方陣。常見矩陣生成函數常見矩陣生成函數ze

3、ros(m,n)生成一個生成一個 m 行行 n 列的零矩陣，列的零矩陣，m=n 時可簡寫為時可簡寫為 zeros(n)ones(m,n)生成一個生成一個 m 行行 n 列的元素全為列的元素全為 1 的矩陣的矩陣, m=n 時可寫為時可寫為 ones(n)eye(m,n)生成一個主對角線全為生成一個主對角線全為 1 的的 m 行行 n 列矩陣列矩陣, m=n 時可簡寫為時可簡寫為 eye(n)，即為即為 n 維單位矩陣維單位矩陣diag(X)若若 X 是矩陣，則是矩陣，則 diag(X) 為為 X 的主對角線向量的主對角線向量若若 X 是向量，是向量，diag(X) 產生以產生以 X 為主對角線

4、的對角矩陣為主對角線的對角矩陣tril(A)提取一個矩陣的下三角部分提取一個矩陣的下三角部分triu(A)提取一個矩陣的上三角部分提取一個矩陣的上三角部分rand(m,n)產生產生 01 間均勻分布的隨機矩陣間均勻分布的隨機矩陣 m=n 時簡寫為時簡寫為 rand(n)randn(m,n)產生均值為產生均值為0，方差為，方差為1的標準正態分布隨機矩陣的標準正態分布隨機矩陣m=n 時簡寫為時簡寫為 randn(n)矩陣操作矩陣操作q 提取矩陣的部分元素：提取矩陣的部分元素： 冒號運算符冒號運算符u A(:) A的所有元素的所有元素u A(:,:) 二維矩陣二維矩陣A的所有元素的所有元素u A(:

5、,k) A的第的第 k 列，列， A(k,:) A的第的第 k 行行 u A(k:m) A的第的第 k 到第到第 m 個元素個元素u A(:,k:m) A的第的第 k 到第到第 m 列組成的子矩陣列組成的子矩陣A(:) 與與 A(:,:) 的區別的區別 ?如何獲得由如何獲得由 A 的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？自己動手矩陣操作矩陣操作q 矩陣的旋轉矩陣的旋轉u fliplr(A) 左右旋轉左右旋轉u flipud(A) 上下旋轉上下旋轉u rot90(A) 逆時針旋轉逆時針旋轉 90 度；度； rot90(A,k) 逆時針旋轉逆時針旋轉 k90 度

6、度例例： A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A), E=rot90(A,-1)矩陣操作矩陣操作q 矩陣的轉置與共軛轉置矩陣的轉置與共軛轉置u 共軛轉置共軛轉置u . 轉置，矩陣元素不取共軛轉置，矩陣元素不取共軛例例： A=1 2;2i 3i（動手驗證）（動手驗證） B=A C=A.點與單引號之間不能有空格點與單引號之間不能有空格！矩陣操作矩陣操作q 改變矩陣的形狀：改變矩陣的形狀：reshapereshape(A,m,n): 將矩陣元素按將矩陣元素按 列方向列方向 進行重組進行重組重組后得到的新矩陣的元素個數重組后得到的新矩陣的元素個數

7、必須與原矩陣元素個數相等必須與原矩陣元素個數相等！ 矩陣操作矩陣操作q 查看矩陣的大小：查看矩陣的大小：sizeu size(A) 列出矩陣列出矩陣 A 的的行數和列數行數和列數u size(A,1) 返回矩陣返回矩陣 A 的的行數行數u size(A,2) 返回矩陣返回矩陣 A 的的列列數數例例： A=1 2 3; 4 5 6 size(A) size(A,1) size(A,2)u length(x) 返回返回向量向量 X 的的長度長度u length(A) 等價于等價于 max(size(A)自己動手自己動手1、用、用rand函數生成函數生成810矩陣矩陣A；2、用、用length、si

8、ze函數求出矩陣函數求出矩陣A的行數和的行數和列數；列數；矩陣基本運算矩陣基本運算q 矩陣的加減矩陣的加減：對應分量進行運算對應分量進行運算要求參與加減運算的矩陣具有要求參與加減運算的矩陣具有 相同的維數相同的維數例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4 C=A+B; D=A-B;q 矩陣的普通乘法矩陣的普通乘法要求參與運算的矩陣滿足線性代數中矩陣相乘要求參與運算的矩陣滿足線性代數中矩陣相乘的的原則原則例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=2 1; 3 4; C=A*B二二 矩陣基本運算矩陣基本運算q 矩陣的矩陣的除法除法：/、 右除和左除右除和左除 若 A

9、可逆方陣，則AB A 的逆左乘的逆左乘 B = inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=AB A*X=BX=B/A X*A=B 通常，矩陣除法可以理解為 當當 A 和和 B 行數相等行數相等時即可進行時即可進行左除左除 當當 A 和和 B 列數相等列數相等時即可進行時即可進行右除右除矩陣的乘方矩陣的乘方u A 是方陣，p 是正整數Ap 表示 A 的 p 次冪，即 p 個 A 相乘。 u 若 A 是方陣，p 不是正整數 Ap 的計算涉及到的計算涉及到 A 的特征值分解，即若的特征值分解，即若 A = V*D*V-1 則 Ap=V*(D.p)/V矩陣的乘方矩陣的乘方u

10、 若 a 是標量，A 是方陣，且 V,D = eig(A)，則 aA V*(aD)/Vu 若 A, P 均是矩陣，則 AP 無定義u 若 a 是標量， ndddD00000021ndadadaDa00000021則矩陣的矩陣的 Kronecker 乘乘積積q 矩陣矩陣 Kronecker 乘積乘積的定義的定義 設A是nm矩陣，B是pq矩陣，則A與B的kronecker乘積為：mmnnnma Ba BaBa Ba BaBCABa Ba BaB111212122212q Kronecker 乘積乘積的性質的性質u 是是 npmq 矩陣；矩陣；通常通常BAABBAu 任何兩個矩陣都有任何兩個矩陣都有

11、 Kronecker 乘積乘積 u Matlab 中實現兩個矩陣中實現兩個矩陣 Kronecker 相乘的函數為相乘的函數為kron(A,B)Kronecker乘積有時也稱張量積乘積有時也稱張量積矩陣的數組運算矩陣的數組運算q 數組運算：數組運算：對應元素進行運算點與算術運算符之間不能有空格！u 數組運算包括：數組運算包括：點乘點乘、點除點除、點冪點冪u 相應的數組運算符為：相應的數組運算符為： “.* ” ， “./ ” ， “. ” 和和“ . ”參與運算的對象必須具有相同的形狀！參與運算的對象必須具有相同的形狀！例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4; C=

12、A.*B; D=A./B; E=A.B; F=A.B;函數取值函數取值設設 x 是變量，是變量， f 是一個函數是一個函數u 當當 x = a 是標量時，是標量時，f(x) = f(a)也是一個標量也是一個標量u 當當 x = a, b, , c 是向量時，是向量時，f(x)= f(a), f(b), , f(c)q 函數作用在矩陣上的取值函數作用在矩陣上的取值u 若若 A 是矩陣，則是矩陣，則 f(A) 是一個與是一個與 A 同形狀的矩陣同形狀的矩陣 f 作用在作用在 x 的的每個分量上每個分量上函數取值函數取值怎樣計算怎樣計算 eA ? 例例： x=0:pi/4:pi; A=1 2 3;

13、4 5 6; y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A);)exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp(212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA例例：(exp(1).A矩陣的超越函數矩陣的超越函數q Matlab 提供了三種矩陣函數：expm、sqrtm、logm詳情參見聯機幫助（詳情參見聯機幫助（help expm / sqrtm / logm ）q 更一般的矩陣函數： funmu funm(A,fun)參數參數 fun 的可以是的可以是 exp,，log，cos，sin，cosh，sinh 數與數組

14、的點冪數與數組的點冪x.y =14,25,36=1,32,729 x.2 =12,22,32=1,4,9 2 .x = ? . 前面留個空格前面留個空格例例：x=1 2 3; y=4 5 6;2 .x;y= ?Matlab中的所有中的所有標點符號必須在標點符號必須在英文狀態下輸入英文狀態下輸入三三 矩陣函數矩陣函數n以三角分解函數以三角分解函數lu()和特征值分解函數和特征值分解函數eig()講述矩陣函數的使用。講述矩陣函數的使用。1、三角分解、三角分解 n最基本的分解最基本的分解“LU”分解，矩陣分解為兩個分解，矩陣分解為兩個基本三角矩陣形成的方陣，一個為上三角矩陣基本三角矩陣形成的方陣，一

15、個為上三角矩陣一個為下三角矩陣。計算的方法用高斯消去法。一個為下三角矩陣。計算的方法用高斯消去法。n函數格式函數格式L,U=lu(X) %L,U為輸出變量為輸出變量(返回值返回值)，A為輸入變量，為輸入變量，U為上三角陣，為上三角陣，L為下三角陣或其變換形式，為下三角陣或其變換形式，滿足滿足LU=Xn運行結果如下：運行結果如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;L,U=lu(A)運行結果：運行結果：2、特征值分解、特征值分解n如果如果A是是nn矩陣，若矩陣，若Ax =x則稱則稱為為A的特征的特征值，值，x為相應的特征向量。為相應的特征向量。n函數函數eig()為特征值分解函數，其調用格式

16、為：為特征值分解函數，其調用格式為： x,D=eig(A) %x、D為輸出變量為輸出變量(返回值返回值)，A為輸入變量為輸入變量.D的的對角元素是特征值，對角元素是特征值，x列是相應的特征向量列是相應的特征向量例例 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; x,D=eig(A)運行結果為：運行結果為：Matlab中常見數學函數中常見數學函數sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svdlog 是自然對數，即以是自然對數，即以 e 為底數為底數mod(x,y) 結果與結果與 y 同號，同號，rem(x,y) 則與則與 x 同號同號max 等函數的參數是矩陣時，是作用在矩陣各列上等函數的參數是矩陣時，是作用在矩陣各列上上機作業上機作業試分別生成試分別生成 5 階的單位陣、階的單位陣、8 階均勻分布的隨機矩陣及其階均勻分布的隨機矩陣及其下三角矩陣下三角矩陣生產列向量生產列向量 x=1, 3, 5, 7, 9, , 29生