1、第十二章 全等三角形豐富的生活情境結構梳理全等圖形3 / 6二、知識梳理（一）1 .全等圖形定義：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同.例 如圖1中的兩個圖形形狀相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等圖形， 圖2中的兩個圖形面積相同，但形狀不同，也不是全等圖形.2 .全等三角形這是學好全等三角形的基礎.根據全等形定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等 三角形.完全重合有兩層含義：（1）圖形的形狀相同；（2）圖形的大小相等.符號“義” 也形象、直觀地反映了這一點.“s”表示圖形形狀相同，表示圖形大小相等.（二）性質與判定梳理1 .全等圖形性質：全等多邊形的對應邊、

2、對應角分別相等.全等三角形的對應邊、對應角分別相等.2 .全等三角形的判定這是學好全等三角形的關鍵,只給定一個條件或兩個條件畫三角形時，都不能保證所 畫出的三角形全等，只要有三個條件對應相等就可以，于是判定兩個三角形全等的方 法有：(1)三邊對應相等的兩個三角形全等，筒記為：sss ;(2)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，筒記為：asa;(3)兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，筒記為：aas;(4)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡記為：sas.若是直角三角形，則還有斜邊、直角邊公理(hl)。由此可以看出，判斷三角形全等, 無論用哪一條件，都要有三個元素對應相等

3、，且其中至少要有一對應邊相等.(5)注意判定三角形全等的基本思路從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形 分別有三個元素(其中至少一個元素是邊)對應相等，這樣就可以利用題目中的已知 邊(角)去迅速準確地確定要補充的邊(角)，不致盲目地而能有目標地完善三角形全 等的條件.從而得到判定兩個三角形全等的思路有：找夾角f sas口 而找另一邊-sss邊為角的對邊一找任一角f aas找這條邊上的另一角fasa口如一邊就是角的一條m找這條邊上的對角一45找該角的另一邊f sas找兩角的夾邊fasa已知兩角、劣 u找任一邊faas（6）學會辨認全等三角形的對應元素辨認全等三

4、角形的對應元素最有效的方法是，先找出全等三角形的對應頂點， 再確定對應角和對應邊，如巳知abc/efd,這種記法意味著a與e、b與f、c 與d對應，則三角形的邊ab與ef、bc與fd、ac與ed對應，對應邊所夾的角 就是對應角，此外，還有如下規律：（1）全等三角形的公共邊是對應邊，公共角是對 應角，對頂角是對應角；（2）全等三角形的兩個對應角所夾的邊是對應邊，兩條對應 邊所夾的角是對應角.（三）基本圖形梳理注意組成全等三角形的基本圖形，全等圖形都是由圖形的平移、旋轉、軸對稱等 圖形變換而得到的，所以全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：1 .平移型 如圖3,下面幾種圖形屬于平移型： 它們可看成有

5、對應邊在一直線上移動所構成的， 的相等關系一般可由同一直線上的線段和或差而得到.圖32 .對稱型 如圖4,下面幾種圖形屬于對稱型：它們的特征是可沿某一直線對折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對稱圖形），重合的頂點就是全等三角形的對應頂點.3 .旋轉型 如圖5,下面幾種圖形屬于旋轉型：7 / 會 圖5-它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉所構成的，故一般有一對相等的角隱含在對頂角、某些角的和或差中.a三、易混、易錯點剖析1 .探索兩個三角形全等時，要注意兩個特例(1)三邊對應相等的兩個三角形全等，但三角對應相等的兩個三角形不一定全等；如圖6 (1)中的兩個三角形的每個角都是60。，但這兩個三角

6、形顯然不全等；入(2)兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，如圖6 (2),中的aabc和命中,一cd圖 6 (2) 雖然有ab=ab, ac=ad, zb=zb,但它們顯然不全等.2 .在判定三角形全等時，還要注意的問題在判定三角形全等時，應做到以下幾點：(1)根據巳知條件與結論認真分析圖形；(2)準確無誤的確定每個三角形的六個元素；(3)根據巳知條件，確定對應元素，即找出相等的角或邊；(4)對照判定方法，看看還需什么條件兩個三角形就全等；(5)想辦法找出所需的條件來.四、例題：例1.如圖7 (1), e、f分別是四邊形abcd的邊ba、dc延長線上的點,ab/cd, ad/b

7、c,且 ae=cf, ef 交 ad 于 g,交 bc 于 h.(1)圖中的全等三角形有 對，它們分別是；(不添加任何輔助線)(2)請在(1)問中選出一對你認為全等的三角形進行證明.我選擇的是：.解：（1） 2, aeggacfh 和behdfg.(2)如求證明：aeggzxcfh.證明：在平行四邊形abcd中，有nbag=/hcd, a所以 neag=180/bag=180nhcd=nfch. 囪 7又因ba/dc,所以ne=/f.又因ae=cf,所以4aeg 點評：本題簡單地考察學生對圖形的識別能力以與證明l 、b 圖 7（2） c主要是根據全等三角形的判定條件去尋找，然后再作出例2.如圖

8、8,在4abd和aace中，有下列四個等式： （t）ab=ac ad=ae 1 = z 2（4）bd=ce.請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論， 寫出一個真命題（要求寫出巳知，求證與證明過程）.（提示：答案不唯一）.點評：本題是條件組裝題，答案不唯一，它重點考查學出創新意識和能力，四個命題進行組合，有六種情況，這六種情況中你得到的一對全等三角形是=a7 / 6d（提示：可選擇ce = o石、zcab=zdab. 8c=8。等條件匚 可得到aac石三a40碰14c3三aao8, 證明過程略）. 例 4.如圖 10, ab=cd=ed, ad=eb, be1de, （1）求證：abdgzedb只需添加一個條件，即,可使四邊形abcd為矩形.請加以證明.提示：(1)證明