1、機械振動機械振動 單自由度系統單自由度系統 多自由度系統多自由度系統 二自由度系統二自由度系統 定義 1、定義：需要用三個以上的獨立坐標(x1,x2, x3,x4, q1 , q2等)才能描述其運動的振動系統。 2、多自由度系統是單自由度系統的深化和拓 展。 3、多自由度系統能更好地反映系統結構的振 動特性，將系統作為單自由度系統只是忽 略了系統的其它自由度的振動，是一種近 似。 幾種常見的多自由度系統幾種常見的多自由度系統 圖 41 概述：概述： 桿、梁、板、殼，桿、梁、板、殼，無限多個自由度無限多個自由度（連續體）（連續體） 離散化離散化有限自由度系統有限自由度系統 n 個自由度的系統，個

2、自由度的系統，用用 n 個獨立的廣義坐標來描述。個獨立的廣義坐標來描述。 n 個固有頻率個固有頻率(有可能出現重復有可能出現重復) 主振動主振動:按任一固有頻率作自由振動按任一固有頻率作自由振動,是一種同步運動是一種同步運動 主振型主振型:系統作主振動時具有的振動形態系統作主振動時具有的振動形態,又叫模態，又叫模態， 主坐標主坐標:對于特殊的對于特殊的n個坐標個坐標,運動微分方程不出現坐標耦合運動微分方程不出現坐標耦合 振型疊加法振型疊加法:分分n個自由度的振動來考慮個自由度的振動來考慮,再疊加再疊加. 本章內容 1、多自由度系統振動的基本理論 ：運動微 分方程的建立(定義法)； 2、固有頻率

3、和振型(求法) ； 3、多自由度系統動力響應常用的振型迭加 方法 ； 4、用變換方法求多自由度系統動力響應 。 4.1 運動微分方程 n自由度振動系統的運動微分方程可寫成： )0(,)0( 00 xxxx fxKxCxM 1、M，C，K分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和 剛度矩陣。 2、x為n維位移向量，它的分量是各個自由度的廣義位 移，而 和 分別為速度向量和加速度向量，它們的 分量分別為各個自由度的廣義速度和廣義加速度。f是 廣義外力向量，它的分量是各個自由度所受到的廣義外 力。 x x 1、運動微分方程建立的關鍵：求得M， C，K中的各個元素。 2、求解微分方程的過程就是使M，C， K對角

4、化的過程，可求得固有頻率及其 振型。 )0(,)0( 00 xxxx fxKxCxM 1、多自由度的微分方程：、多自由度的微分方程： 例例4-1 試建立系統的運動微分方程。試建立系統的運動微分方程。 解：解： 兩自由度系統；兩自由度系統； )()( 12121111 tPxxkxkxm )()( 22312222 tPxkxxkxm )()( )()( 22321222 12212111 tPxkkxkxm tPxkxkkxm )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m 例例4-2 M1(t)，M2(t) I1 , I

5、2 1q k 2q k 3q k 試：建立系統的試：建立系統的 運動微分方程。運動微分方程。 解：解：受力分析受力分析 )()( 12121111 tMkkIqqqq qq )()( 22312222 tMkkIqqqq qq )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I q q q q qqq qqq 角振動與直線振動在數學描述上相同，角振動與直線振動在數學描述上相同， 在多自由度系統中也在多自由度系統中也 將質量、剛度、位移、加速度以及力都理解為廣義的。將質量、剛度、位移、加速度以及力都理解為廣義的。 )()( 12212111 t

6、MkkkIqqq qqq )()( 22321222 tMkkkIqqq qqq 例例4-1 試建立系統的運動微分方程。試建立系統的運動微分方程。 影響系數法影響系數法 運動微分方程的矩陣形式：運動微分方程的矩陣形式： )(tPxKxM 質量矩陣質量矩陣 剛度矩陣剛度矩陣 激振力向量激振力向量 作用力方程作用力方程 n 個自由度的系統：個自由度的系統： nnnn n n mmm mmm mmm 21 22221 11211 n x x x 2 1 nnnn n n kkk kkk kkk 21 22221 11211 n x x x 2 1 )( )( )( 2 1 tP tP tP n 0

7、x 若若 )(tPxK 靜力加載靜力加載 T njjj xxxxxx 111 T 00100 假定有這樣一組外力，使系統只在第假定有這樣一組外力，使系統只在第j個坐標上產生單位位移，個坐標上產生單位位移， 而在其他方向都不產生位移，即產生如下的單位向量：而在其他方向都不產生位移，即產生如下的單位向量： 影響系數法影響系數法 nj ij j j nnnj inij nn ii nj nj j k k k k kk kk kk kk kk kk kk kk eKxKtP 2 1 21 21 22 11 2221 1211 0 1 0 0 )( 可見所施加的這組外力數值上正是剛度矩陣可見所施加的這組

8、外力數值上正是剛度矩陣K K的第的第j j列，其中列，其中 K Kij ij(i=1,n) (i=1,n)是在第是在第i i個坐標上施加的力，個坐標上施加的力，K Kij ij是使系統僅在第 是使系統僅在第j j 個坐標上產生單元位移而相應于第個坐標上產生單元位移而相應于第i i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力 nnnn n n mmm mmm mmm 21 22221 11211 n x x x 2 1 nnnn n n kkk kkk kkk 21 22221 11211 n x x x 2 1 )( )( )( 2 1 tP tP tP n 0 x即即 )(tPxM 靜力加載靜力

9、加載 現假設系統受到外力瞬間，只產生加速度而不產生任何位移現假設系統受到外力瞬間，只產生加速度而不產生任何位移 同樣推導可知，所施加的這組外力數值上正是質量矩陣的第同樣推導可知，所施加的這組外力數值上正是質量矩陣的第j j 列，其中列，其中M Mij ij(i=1,n) (i=1,n)是在第是在第i i個坐標上施加的力，個坐標上施加的力，m mij ij是使系 是使系 統僅在第統僅在第j j個坐標上產生單元加速度而相應于第個坐標上產生單元加速度而相應于第i i個坐標上所需個坐標上所需 施加的力施加的力 (1) 影響系數法 設各個自由度的位移為 x x 和系統的剛度矩 陣為 K K ，則各個自由

10、度上所受到的外力為： )(xKtP 定義剛度矩陣K的元素kij：如果系統的第j個 自由度沿其坐標正方向有一個單位位移，其余 各個自由度的位移保持為零，為保持系統這種 變形狀態需要在各個自由度施加外力，其中在 第i個自由度上施加的外力就是kij。 K Kij ij是使系統僅在第 是使系統僅在第j j個坐標上產生單元位移而個坐標上產生單元位移而 相應于第相應于第i i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力 (1) 影響系數法 設各個自由度的加速度為 和系統的質量 矩陣為M，則各個自由度上所受到的外力 為： xMf 定義質量矩陣M的元素Mij：如果系統的第j個 自由度沿其坐標正方向有一個單位加速度

11、，其 余各個自由度的加速度保持為零，為保持系統 這種變形狀態需要在各個自由度施加外力，其 中在第i個自由度上施加的外力就是Mij。 m mij ij是使系統僅在第 是使系統僅在第j j個坐標上產生單元加速度個坐標上產生單元加速度 而相應于第而相應于第i i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力 x 例例4-4 用影響系數法用影響系數法 求：求：M K運動微分方程運動微分方程 例例4-4 用影響系數法用影響系數法 求：求：M K運動微分方程運動微分方程 解：解：建立坐標系建立坐標系 T xxxx 321 求：剛度矩陣求：剛度矩陣 K T x001 令：令： , 2111 kkk , 221 k

12、k0 31 k 同樣：同樣： T x010 3323222212 ,kkkkkkk T x100 再令：再令： , 0 32313 kkk 333 kk 剛度矩陣為：剛度矩陣為： 33 3322 221 0 0 kk kkkk kkk K 求：質量矩陣求：質量矩陣M 令：令： T x001 0, 0 , 3121 111 mm mm 再令：再令： T x010 0, , 0 32222 12 mmm m 令：令： T x100 33323 13 , 0 , 0 mmm m 質量矩陣：質量矩陣： 3 2 1 00 00 00 m m m M 例 4.4: 求四自由度模型的剛度矩陣 取yA，yB，

13、y1，y2為描述系統運動的廣義坐標，即 x=yx=yA A，y yB B，y y1 1，y y2 2 T T 各個自由度的原點均取靜平衡位置，以向上為坐標正 方向。 圖 41 求K中的子元素 (1)求K的第一列。設y yA A沿坐標正方向有一 個單位位移，其余廣義坐標位移為零， 則只有k2被伸長，因此有 k11=k2， k21=0， k3l=-k2， k41=0 nj ij j j nnnj inij nn ii nj nj j k k k k kk kk kk kk kk kk kk kk eKf 2 1 21 21 22 11 2221 1211 0 1 0 0 (2)求K的第二列。設yB

14、沿坐標正方向有一 個單位位移，其余廣義坐標位移為零，則 只有k4被伸長，因此有 k120， k22k4， k32=0， k42=-k4 nj ij j j nnnj inij nn ii nj nj j k k k k kk kk kk kk kk kk kk kk eKf 2 1 21 21 22 11 2221 1211 0 1 0 0 (3)求K的第三列。設yl沿坐標正方向有一個單位位移， 其余廣義坐標位移為零，則只有k1被伸長，k2被壓 縮，因此有 k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 nj ij j j nnnj inij nn ii nj nj j k k

15、k k kk kk kk kk kk kk kk kk eKf 2 1 21 21 22 11 2221 1211 0 1 0 0 (4)求K的第四列。設y2沿坐標正方向有一個單位 位移，其余廣義坐標位移為零，則只有k3被伸 長，k4被壓縮，因此有 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k3+k4 nj ij j j nnnj inij nn ii nj nj j k k k k kk kk kk kk kk kk kk kk eKf 2 1 21 21 22 11 2221 1211 0 1 0 0 系統在廣義坐標x=yA，yB，yl，y2T下的剛 度矩陣為： 434 212 44 22 00 00 00 00 kkk kkk kk kk K 系統的質量矩陣、阻尼矩陣也有類似的定 義，并可以仿照上面方法來求。 例例4-3 汽車振動的力學模型。汽車振動的力學模型。 以 以D點的垂直位移點的垂直位移 xD 及桿及桿AB繞繞 點點D的角位移為坐標，列出車體的角