1、實驗三電力系統暫態穩定分析電力系統暫態穩定計算實際上就是求解發電機轉子運動方程的初值問題，從而得出 -t和 -t 的關系曲線。每臺發電機的轉子運動方程是兩個一階非線性的常微分方程。因此，首先介紹常微分方程的初值問題的數值解法。一、 常微分方程的初值問題（一）問題及求解公式的構造方法我們討論形如式（3-1）的一階微分方程的初值問題y (x)f ( x, y), a x by( x0 )（ 3-1）y0設初值問題（ 3-1）的解為 y( x) ，為了求其數值解而采取離散化方法，在求解區間 a, b 上取一組節點ax0x1xixi 1xnb稱 hixi 1xi （ i0,1, n1 ）為步長。在等步

2、長的情況下，步長為hban用 yi 表示在節點 xi 處解的準確值 y( xi ) 的近似值。設法構造序列 yi 所滿足的一個方程（稱為差分方程）yi 1yi h (xi , yi , h)（ 3-2）作為求解公式，這是一個遞推公式，從（x0 ， y0）出發，采用步進方式，自左相右逐步算出 y( x) 在所有節點 xi 上的近似值 yi （ i1,2, , n ）。在公式（3-2）中，為求 yi 1 只用到前面一步的值yi，這種方法稱為單步法。在公式（ 3-2）中的 yi 1 由 yi 明顯表示出，稱為顯式公式。而形如（3-3）yi 1yi h (xi , yi , yi 1 , h)（ 3-

3、3）的公式稱為隱式公式，因為其右端中還包括 yi1 。如果由公式求yi 1 時，不止用到前一個節點的值，則稱為多步法。由式（ 3-1）可得dy = f (x, y)dx（ 3-4）兩邊在 xi ， xi 1 上積分，得xi1（3-5）y (xi 1 ) y (xi )f ( x, y( x) dxxi由此可以看出， 如果想構造求解公式， 就要對右端的積分項作某種數值處理。 這種求解公式的構造方法叫做數值積分法。（二）一般的初值問題的解法1 歐拉法和改進歐拉法對于初值問題（ 3-1），采用數值積分法，從而得到（ 3-5）。對于（ 3-5）右端的積分用矩形公式 (取左端點 )，則得到xi1f (

4、x, y( x) dxhf (xi , y( xi )xi進而得到（ 3-1）的求解公式（3-2）yi 1yih f ( xi , yi ) （ i =0， 1，2， n-1）（ 3-6）此公式稱為歐拉（Euler）格式。如果對式（ 3-5）右端的積分用梯形公式xi 1hf (x, y(x)dx( f ( xi , y(xi )f ( xi 1 , y(xi 1 )xi2則可以得到初值問題（3-1）的梯形求解公式如式（3-7）y i 1y ihf (xi , yi )f (xi 1 , yi 1 )（ i=0， 1， 2，n-1） （ 3-7）2式（ 3-7）是個隱式公式?？梢圆扇∠扔脷W拉格式

5、求一個y( xi 1 ) 的初步近似值，記作yi 1 ，稱之為預報值，然后用預報值yi 1 替代式（ 3-7）右端的yi 1 ，再計算得到 yi 1 ，稱之為校正值，這樣建立起來的預報校正方法稱為改進歐拉格式y i 1y ihf ( xi , y i )hf (xi , yi ) f (xi 1 , y i 1 )（ 3-8）y i 1 y i22 龍格庫塔方法在單步法中，應用最廣泛的是龍格庫塔（Runge-kutta ）法，簡稱R K 法。下面直接給出一種四階的龍格庫塔法的計算公式（3-9）yi 1yi1 (K12K2 2K 3K 4 )K 1h6f (xi , yi )K 2h f (xi

6、h1（3-9）, yiK1 )22K 3h f (xih , yi1K2)K 4h f (xi22h, yiK 3 )它也稱為標準（古典）龍格庫塔法。例 3-1研究下列微分方程的初值問題y12 2 y 21xy (0)0解：這是一個特殊的微分方程，其解的解析式可以給出，為yxx 21應用龍格庫塔法， 取 h=0.25 ，根據式（ 3-9）編寫一段程序， 由零開始自左相右逐步算出y( x)在所有節點xi 上的近似值yi 。計算結果見表3-1。計算結果表明，四階龍格庫塔方法的精度是較高的。表 3-1xnyny( xn ) yn2.00.399956994.3e-54.00.235291592.5e

7、-66.00.162161793.7e-78.00.123076839.2e-8實際上， MATLAB為常微分方程提供了很好的解題指令，使得求解常微分方程變得很容易，并且能將問題及解答表現在圖形上。因此，我們可以不用根據式（3-9）編寫較復雜的程序， 而只需應用MATLAB提供的常微分方程解題器來解決問題。下面給出用MATLAB編寫的解題程序。首先編寫描述常微分方程的ODE 文件，文件名為myfun ，便于解題器調用它。functiondy = myfun(x,y)dy = zeros(1,1);dy=1/(1+x2)-2*y2;再編寫利用解題器指令求解y 的程序。clearx0=0;fori

8、=1:4xm=2*i;y0=0;x,y = ode45(myfun,x0 xm,y0);format longy(length(y)endplot(x,y,-)運行上述程序，在得到幾個點的函數值的同時，也得到函數y 的曲線，如圖3-1所示。0.50.40.3y0.20.1002468x圖 3-1根據運算結果畫出y 的曲線二、 簡單電力系統的暫態穩定性（一）物理過程分析某簡單電力系統如圖 3-2(a)所示，正常運行時發電機經過變壓器和雙回線路向無限大系統供電。發電機用電勢 E 作為其等值電勢，則電勢 E 與無限大系統間的電抗為xxdxT 1x LxT 2（ 3-10）2這時發電機發出的電磁功率可

9、表示為PE U sinP M sin（ 3-11）x如果突然在一回輸電線路始端發生不對稱短路，如圖3-2(b) 所示。故障期間發電機電勢E 與無限大系統之間的聯系電抗為x L( xdxT 1 )( x LxT 2 )xxT 2)2（ 3-12）(xd xT 1 ) (x2在故障情況下發電機輸出的電磁功率為PE U sinP M sin（ 3-13）x在短路故障發生之后， 線路繼電保護裝置將迅速斷開故障線路兩端的斷路器，如圖 3-2(c)所示。此時發電機電勢E 與無限大系統間的聯系電抗為xxdxT1 xLxT 2（ 3-14 ）發電機輸出的功率為PE U sinP M sin（ 3-15）xGT

10、1LT2U = cEj xdjx T 1jx LjxT 2UEjxdjxT 1jx Ljx T 2 Ujx Ljx Ljx( a)( b)Ej xdjx T 1jx LjxT 2U( c)圖 3-2 簡單電力系統及其等值電路（ a）正常運行方式及其等值電路； （ b）故障情況及其等值電路； （c）故障切除后及其等值電路如果正常時發電機向無限大系統輸送的有功功率為P0 ，則原動機輸出的機械功率PT 等于 P0 。假定不計故障后幾秒種之調速器的作用，即認為機械功率始終保持P0 。因此，可以得到此簡單電力系統正常運行、故障期間及故障切除后的功率特性曲線如圖3-3 所示。PPPakhPTP0P0kcm

11、h圖 3-3 簡單系統正常運行、故障期間及故障切除后的功率特性曲線對于上述簡單電力系統， 我們可以根據等面積定則求得極限切除角。但是，實際工作需要知道在多少時間之切除故障線路，也就是要知道與極限切除角對應的極限切除時間。要解決這個問題，必須求解發電機的轉子運動方程。（二）求解發電機的轉子運動方程求解發電機轉子運動方程可以得出-t和 -t 的關系曲線。 其中 -t曲線一般稱為搖擺曲線。在上述簡單電力系統中故障期間的轉子運動方程為d(1)1dt（ 3-16）d1(PTP M sin )dtT J式中，功率角，其單位為弧度；轉子角速度，標幺值；1 轉子的同步角速度，即1 = 2 f =314.16，

12、其單位為弧度/秒； TJ 發電機的慣性時間常數，其單位為秒；PT 、 P M 分別為機械和電磁功率，標幺值。這是兩個一階的非線性常微分方程，它的起始條件是已知的，即t = t 0 =0 ；= 0 =1.0； =0 = sin 1 PTP M故障切除后， 由于系統參數改變，以致發電機功率特性發生變化，必須開始求解另一組微分方程：d1)(1dt（3-17）d1(PT P M sin )dtT J式中變量含義同前述，其中P M也為標幺值。這組方程的起始條件為t = t c ；=c ；= c其中 t c 為給定的切除時間；c 、c 為與 t c 時刻對應的和 ，它們可由故障期間的 -t和-t 的關系曲

13、線求得（和都是不突變的） 。一般來說，在計算故障發生后幾秒種的過程中，如果始終不超過180o，而且振蕩幅值越來越小，則系統是暫態穩定的。當發電機與無限大系統之間發生振蕩或失去同步時，在發電機的轉子回路中， 特別是阻尼繞組中將有感應電流而形成阻尼轉矩（也稱為異步轉矩）。當作微小振蕩時，阻尼功率可表達為：PD=D=D( 1)（3-18）式中， D 稱為阻尼功率系數；為轉子角速度的偏移量，標幺值；為轉子角速度，標幺值。阻尼功率系數 D 除了與發電機的參數有關外，還和原始功角、的振蕩頻率有關。在一般情況下它是正數。在原始功角較小， 或者定子回路中有串聯電容使定子回路總電阻相對于總電抗較大時， D 可能

14、為負數。 如果考慮阻尼功率的影響， 則故障后的轉子運動方程又可表達為d(1)1dt（3-19）d1 PTD ( 1) P M sin dtT J電力系統暫態穩定計算包括兩類問題，一類是應用數值計算法得出故障期間的曲線后，根據曲線找到與極限切除角對應的極限切除時間，此時只需要求解微分方程（3-16 ）；另一類是已知故障切除時間， 需要求出搖擺曲線來判斷系統的穩定性， 此時需要分段分別求解微分方程（ 3-16）和（ 3-17）。如果考慮阻尼轉矩的影響，則此時需要分段分別求解微分方程（ 3-16 ）和（ 3-19）。三、 例題例 3-2 某簡單電力系統如圖3-4 所示， 取基準值 SB =220MV

15、 A ，U B =209KV 。換算后的參數已經標在圖中，其中一回線的電抗xL =0.486， TJ =8.18 秒。設電力線路某一回的始端發生兩相接地短路。假定E =常數。（ 1）計算保持暫態穩定而要求的極限切除角。（2）計算極限切除時間，并且作出在0.15 秒切除故障時的 -t曲線。GT1LT2U =1.0kx2=0.432xL =0.486xT 2 =0.122xdxT 1 =0.1384xL=0.295xL 0=1.0=0.2P0Q0圖 3-4某簡單電力系統的接線圖解：計算系統正常運行方式，決定E和 0 。由 3-3(a) 的正序網絡可得，此時系統的總電抗為x =0.295+0.138

16、+0.243+0.122=0.798發電機的暫態電勢為：E = (1.00.2 0.798 ) 2(1.0 0.798 )2 =1.411.01.010.798=34.53o0 = tg0.20.7981.0（2）故障后的功率特性又由 3-3(b) 的負序、零序網絡可得故障點的負序、零序等值電抗為(0.4320.138)(0.2430.122)x2 =0.138)(0.243=0.222(0.4320.122)x0 = 0.138(0.9720.122)=0.1230.138(0.9720.122)所以在正序網絡故障點上的附加電抗為：x0.2220.1230.2220.0790.123于是故障

17、時等值電路如圖3-3(c) 所示，則x0.4330.4330.3650.3652.800.079因此，故障期間發電機的最大功率為：E U1.41 1.0P M0.504x2.8（ 3）故障切除后的功率特性故障切除后的等值電路如圖3-3(d) 所示x 0.295 0.138 0.486 0.122 1.041此時最大功率為E U1.41 1.0P M1.35x1.041h 1800 sin 1 1.0 132.2 01.35E1.41j0.295j0.138j0.243j0.122U =1.0034.530f(1 )P01.0( a)Q00.2j0.432j0.138j0.243j0.122f(

18、2 )j0.138j0.2434 j0.122f(0 )( b)U =1.0E1.41j0.295j0.138j0.243j0.122j 0.079( c)U =1.0E1.41 j0.295j 0.138j 0.486j 0.122(d)圖 3-5 例題 7-12 的等值電路（ a）正常運行等值電路； （ b）負序和零序等值電路； （ c）故障時等值電路； （ d）故障切除后等值電路（4）計算極限切除角cosPT (0h )P McoshP M cos 0cmP MP M1.0180(132.2 34.53)1.35 cos132.2 00.504 cos34.53 0=1.350.504=

19、0.458cm62.740（5）找出極限切除時間t cm根據（ 3-16），首先計算初值34.530.6027 ， 01.00180令 y(1)=， y(2)=。編寫描述故障期間轉子運動方程的ODE 文件，文件名為 myequ。functiondy = myequ(t,y)dy = zeros(2,1);f=50;w1=2*pi*f;dy(1) = (y(2)-1)*w1;dy(2) = (1/8.18)*(1.0-0.504*sin(y(1);再編寫利用解題器指令求解y 的程序。cleart0=0;tm=0.25;d0=(34.53/180)*pi;w0=1;T,Y = ode45(myeq

20、u,t0 tm,d0 w0);plot(T,(Y(:,1)/pi)*180,-,0.194,62.76,*)text(0.194,60,delta_cmax=62.76circ, FontSize,10)text(0.194,56,t_cmax=0.194s, FontSize,10)9080cmax =62.74 ?70tcmax =0.194s6050403000.050.10.150.20.25t圖 3-6例題 7-12 的 -t曲線圖 3-6 給出短路發生后0 秒到0.25 秒期間的-t計算曲線，根據最大切除角cm（62.740 ）找到極限切除時間tcm 為0.194秒。由圖3-6可見

21、，如果故障切除時間大于0.194秒，則發電機的功角將不斷地增大，最終失去暫態穩定。在極限切除時間之前切除故障，發電機的搖擺曲線的狀況將在下面作計算、分析。（6）不考慮阻尼轉矩的影響，當故障切除時間為首先編寫描述故障期間轉子運動方程的ODE0.15 秒時通過計算得出文件，文件名為 ”myfun01 ”。-t曲線functiondy = myfun01(t,y)f=50; w1=2*pi*f;TJ=8.18; Pt=1.0; P2m=0.504;dy = zeros(2,1);dy(1) = (y(2)-1)*w1;dy(2) = (1/TJ)*(Pt-P2m*sin(y(1);再編寫描述故障切除

22、后轉子運動方程的ODE 文件，文件名為 ”。myfun02functiondy = myfun02(t,y)f=50; w1=2*pi*f;TJ=8.18;Pt=1.0; P3m=1.35;dy = zeros(2,1);dy(1) = (y(2)-1)*w1;dy(2) = (1/TJ)*(Pt-P3m*sin(y(1);編寫利用解題器指令求解y 的小程序。cleart0=0; tc=0.15; tm=2.0;d0=(34.53/180)*pi;w0=1.0;T1,Y1 = ode45(myfun01,t0 tc,d0 w0);dc=Y1(length(Y1),1);wc=Y1(length

23、(Y1),2);T2,Y2 = ode45(myfun02,tc tm,dc wc);plot(T1,(Y1(:,1)/pi)*180,-,T2,(Y2(:,1)/pi)*180,-,tc,(dc/pi)*180,* )text(0.28,50,itt_c=0.15s, FontSize,8)text(0.28,43,itdelta_c=51.71circ, FontSize,8)xlabel(itt)ylabel(itdelta)計算結果表明， 功角沿著故障切除后的功角特性曲線根據等面積定則作等幅振蕩，如圖 3-7 所示。實際上，由于阻尼轉矩的影響，振蕩的幅度是逐漸衰減的，功角最終運行在k =47.8o。 因此，發電機能夠保持暫態穩定。1008060t =0.15scc =51.71 ?402000.511.520tt 曲線圖 3-7 不考慮阻尼轉矩影響，當0.15 秒切除故障時發電機的